O’zbеkistоn rеspublikasi aхbоrоt tехnоlоgiyalari va kоmmunikatsiyalarini rivоjlantirish

2.5. Vektor maydondagi chiziqli integral. Kuch maydoni bajargan ish. Vektor maydon sirkulyatsiyasi

Faraz qilaylik, 0xyz fazoning ω sohasida
   
a(M )  P(x, y, z) i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z) k
vektor maydon berilgan bo’lsin. Bu sohada biror L egri chiziq olib unga ma’lum yo’nalish tayinlaymiz.

4. 
   ta’rif. Yo’nalgan L chiziq bo’yicha olingan ushbu
   

_ P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz
L
ikkinchi tur egri chiziqli integral yoki vektor shaklidagi
 

integral


a(M )

_ a d r
L

vektorning L chiziq bo’yicha olingan chiziqli integrali deyiladi, bunda

   
d r  dx i  dy j  dz k.
 

Agar
a(M ) kuch maydonni ifodalasa, a vektorning L chiziq bo’yicha chiziqli

integrali ma’lum yo’nalishda L chiziq bo’yicha bajarilgan ishni ifodalaydi.

4. 
   ta’rif. Yopiq L kontur bo’yicha chiziqli integral vektor sirkulyatsiyasi deyiladi va Ц bilan belgilanadi, ya’ni
   

 
∐  _ a d r.
L

Vektor maydon uyurmasi (rotori).

Охуz fazoning ω sohasida
a(μ )  Р(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k

vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda differensiallanuvchi.
P, Q, R
funksiyalar ω sohada

1-ta‘rif.

Ох, Оу, Оz
o’qlarda mos ravishda
дR _ дQ _, дР _ дR _, дQ _ дР

ду дz дz дx дх ду

proeksiyalarga ega bo’lgan vektor


а(μ )
vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb

ataladi va hisoblanadi.



rot a(μ )
bilan belgilanadi, bunda xususiy hosilalar
μ (x, y, z)
nuqtada

Demak ta‘rifga binoan:
^ дR



^{дQ }  ^{дР дR}  ^{ дQ}


дР ^

rot a(μ )   
ду
i  _  _ j  
дz дz дx дх
 k . (3.1)
ду

  ^{ }  
Uyurma tushunchasidan foydalanib Stoks formulasini vektor shaklida

kabi yozish mumkin.



_ a  dr  _n  rota dσ
τ σ
(3.2)

Uyurma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   rot(a  b)  rota  rotb ;
   
2. 
   rot(Сa)  Сrota, bunda C-o’zgarmas son.
   

3. 
   rot(ua)  urota  (gradu)  a
   

bunda u  u(μ )
skalyar maydon funksiyasi.

1. 
   
   
   
   misol. Ushbu
   

а(μ )  z ⁴ i  x ⁴ j  y ⁴ k
vektor maydonning uyurmasi topilsin.

Yechish.

Р  z ⁴ , Q  x ⁴ , R  y ⁴
ga egamiz. Hususiy hosilalarni topamiz.

^дR  ^дQ  4 y ³ , ^дР  ^дR  4z ³ , ^дQ  ^др  4х³.

дy дz
дz дх
дх ду

Demak, (3.1) ga asosan rota  4 y ³ i  4z ³ j  4x³ k .

Chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi shartlari

Faraz qilaylik Охуz fazodagi ω sohada
а  P(х, у, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k

vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda differensiallanuvchi.
P, Q, R
funksiyalar ω sohada

A va B nuqtalar ω sohaning ikkita ixtiyoriy har xil nuqtalari bo’lsin. Bu
nuqtalarni tutashtiruvchi turli egri chiziqlarni qarab chiqamiz (8-chizma) Agar

_ P(х, у, z)dx  Q(х, у, z)dy  R(х, у, z)dz
l
(3.2)

chiziqli integral bu yo’llarning barchasi bo’yicha aynan bir xil qiymatlar qabul qilsa, u integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi deyiladi.
3.1-teorema. (3.2) chiziqli integral ω sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun bu sohada yotgan istalgan yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.


Isboti. Faraz qilaylik, ω sohada yotuvchi istalgan L yopiq kontur uchun

_ Pdx  Qdy  Rdz  0
L
bo’lsin. Bu holda chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq

bo’lmasligini ko’rsatamiz.
ω sohaga tegishli А va В nuqtalarni olib ularni shu soqada yotuvchi ikkita АmВ va АnВ egri chiziqlar bilan tutashtiramiz (9-chizma) .
АmВ va АnВ yoylar АmВ nВ yopiq konturni hosil

qiladi.
Shartga ko’ra



Pdx  Qdy  Rdz  0 .

АтВnА
Buni egri chiziqli integralning xossalaridan foydalanib

yoki


АтВ



АтВ
Pdx  Qdy  Rdz 
Pdx  Qdy  Rdz 

ВnA



ВnА
Pdx  Qdy  Rdz  0
Pdx  Qdy  Rdz  0

ko’rinishda yozamiz. Oxirgi tenglikdan



АтВ
Pdx  Qdy  Rdz 

АnВ
Pdx  Qdy  Rdz

ekani, ya‘ni chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi kelib chiqadi.
Zarurligi. Faraz qilaylik ω fazoda chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasin, ya‘ni

bo’lsin. U holda


АтВ
Pdx  Qdy  Rdz 

АnВ
Pdx  Qdy  Rdz



АтВ



АтВ
Pdx  Qdy  Rdz 


Pdx  Qdy  Rdz 

АnВ



ВnA
Pdx  Qdy  Rdz  0 ,


Pdx  Qdy  Rdz  0 ,

_ Pdx  Qdy  Rdz  0
АmВnА
tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglik istalgan yopiq АmВ nА yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga tengligini ko’rsatadi.
Endi chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini tekshirishni osonlashtiruvchi teoremani isbotsiz keltiramiz.


3.2-teorema. Ushbu
_ Pdx  Qdy  Rdz
L
chiziqli integral bir bog’lamli (ichida bo’shliq bo’lmagan) sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun shu sohaning har bir nuqtasida

дR _ дQ _, дP _ дR _, дQ _ дP
(3.3)

ду дz дz дx дx ду
munosabat bajarilishi zarur va yetarli.

2. 
   misol. Ushbu
   

_ (2xy  z ² )dx  (x ²  z)dy  ( y  2xz)dz
L

chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini aniqlang.

Yechish.

P  2xy  z ² ,
Q  x ²  z,
R  y  2xz
ga egamiz.

(3.3) shartlarni bajarilish-bajarilmasligini aniqlash uchun xususiy hosilalarni topamiz:
^дR  1, ^дQ  1, ^дP  2z, ^дR  2z, ^дQ  2x, ^дP  2x .
ду дz дz дx дx ду
(3.3) shartlarning bajarilishi ko’rinib turibdi. Demak berilgan chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi.

Asоsiy darsliklar va o’quv qo’llanmalar:

1. 
   Claudio Caruto, Anita Tabecco “Mathematical Analysis”. Italy, Springer, I-part, 2008, II-part, 2010.
   
2. 
   Sоatоv YO. “Оliy matеmatika” T. O’qituvchi, 1-5 qismlar.
   
3. 
   Azlarov T.A., Mansurov X.T. “Matematik analiz” Toshkent o’qituvchi 2-qism 1989y.
   
4. 
   Vensel E.S. “Teoriya sluchaynix prosessov i ee injenernie”
   
5. 
   Vensel E.S. Ovcharov L.A. “Прикладные задача теории вероятностей”. “Родио и связь” 1991.
   
6. 
   Badalov F.B. “Optimallash nazariyasi va matematik programmalashtirish” Toshkent O’qituvchi 1989.
   
7. 
   Babadjonov SH.SH. “Математическое программирование” Tashkent Iqtisod – moliya 2006
   
8. 
   Safaeva Q. Matematik dasturlash Toshkent Ibn Sino 2004.
   

Qo’shimcha

1. 
   Abdalimоv B. “Оliy matеmatika”. T. “O’qituvchi” 1994 y.
   
2. 
   Fadееv D.K., Sоminskiy I.S. “Sbоrnik zadach pо visshеy algеbrе”. M. “Nauka” 1977 y.
   
3. 
   TSubеrbillеr О.N. «Zadachi i uprajnеniya pо analitichеskоy gеоmеtrii». M. “Nauka” 1966 y.
   
4. 
   Sadullaеv A., Хudоybеrganоv G., Mansurоv SH., Vоrisоv A., G’ulоmоv R. “Matеmatik analizdan misоl va masalalar to’plami” T. “O’zbеkistоn” 1992 y.
   
5. 
   Filippоv L.B. «Sbоrnik zadach pо diffеrеntsialnоm uravnеniyam» M. «Nauka» 1979 y.
   
6. 
   Sirajiddinоv S.Х., Mamatоv M.M. “Eхtimоllar nazariyasi va matеmatik statistika” T. “O’qituvchi” 1980 y.
   
7. 
   Kurganоv K.A. va bоshqalar “Tabiiy fakultеtlar uchun оliy matеmatika” O’zMU 2003 y.
   
8. 
   Jabbоrоv N. “Оliy matеmatika”. Хimiya va biоlоgiya fakultеtlari uchun o’quv qo’llanma. O’zMU 2005 y.
   
9. 
   Piskunоv N.S. «Diffеrеntsial va intеgral hisоb» T. “O’qituvchi nashriyoti” 1972 y.