O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasi V. I. Romanovskiy nomidagi Matematika Institutida bajargan ilmiy amaliyot ishi

Teorema 3.2.1.([2]) Faraz qilaylik, ushbu
,
shart bajarilsin. U holda uchun MLT o’rinli bo’ladi.
Lemma 3.2.1.
(a) Aytaylik, komleks sonlar quyidagi shartni qanoatlantirsin:
.
U holda
.
(b) Faraz qilaylik, lar sof mavhum kompleks sonlar bo’lib,
,
bo’lsin. U holda
.
Isbot. , deb olamiz. Ixtiyoriy kompleks son uchun o’rinli bo’lgan ushbu
,
tengsizlikdan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:
.
Natijada, , va
,
munosabat o’rinli. Bundan (a) tasdiq kelib chiqadi.
Endi (b) tasdiqni isbotlaymiz. Ta’kidlaymizki,
,
o’rinli va natijada bo’lishini hosil qilamiz. (a) tasdiq shartidagi tengsizlikning ikkala tomonini ga ko’paytirib, quyidagini olamiz:
.

Teorema 3.2.1 ning isboti. Ta’kidlaymizki,
.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: ixtiyoriy , va uchun
,
, (3.2.5)
, ,
, , .
Bundan kelib chiqadiki,
,
, .
Bundan, da
.
Shu bilan birga, uchburchak tengsizligidan
.
Ushbu elementar tengsizlikdan foydalanib, da quyidaglarni hosil qilamiz:

Aytalik, akslantirish ushbu , shartni qanoatlantiruvchi biror o’suvchi akslantirish bo’lsin va , , deb olamiz. U holda, da
.
Endi va uchun deb olamiz. U holda shartga ko’ra uchun
.
Aytaylik, bo’lsin. U holda faqatgina ga bog’liq bo’lgan biror chekli butun uchun
.
Lemma 3.2.1 da hosil bo’ladigan miqdor quyidagicha baholanadi:
,
hamda da nolga intiladi. Kerak bo’lgan hollarda ni qayta aniqlash orqali, barcha va lar uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

.
Oxirgi munosabatning ikkala tomonini to’plamda integrallab, uchun
,
bo’lishini hosil qilamiz.
Endi, ixtiyoriy butun uchun
, ,
deb olamiz. U holda
,
ga ega bo’lamiz. Haqiqatan ham,
,
ko’paytma 1 va yoki larning yig’indisi ko’rinishida ifodalanadi. Farazimizga ko’ra, ketma-ketlik --lukunar ketma-ketlik( ) edi. U holda son uchun ko’rinishdagi yoyilmaning yagonaligidan bo’lishini hosil qilamiz.
Quyidagi ko’paytmalarni yozishimiz mumkin:

.
Shuning uchun,
.
Natijada,

Biroq
,
yoyilma o’rinli. Endi
,
deb belgilasak, ekanligidan
.
Endi, shartga ko’ra cheksizlikka intilgani uchun,
,
munosabat o’rinli bo’lishini tekshirishimiz kerak. Barcha baholarni jamlasak, va , uchun cheksizlikka intilganda
,
bo’lishi kelib chiqadi. Bundan va (3.2.3) xossadan Teorema 3.2.1ning isboti kelib chiqadi.
2. Aylanadagi burish akslantirishining ixtiyoriy tartibli o’suvchi iteratsiyalari ketma-ketligi yordamida hosil qilingan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema.
Aytaylik, birlik aylana va aylanadagi Lebeg o’lchovli. irratsional son bo’lsin va akslantirish quyidagicha aniqlangan bo’lsin, ya’ni aylanadagi burish bo’lsin.
Endi yuqoridagilardan farqli bo’lgan yig’indini quyidagicha tuzamiz. Berilgan , sonlar ketma-ketligi uchun ushbu funksiyalarni aniqlaymiz va yig’indini qaraymiz.