O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

1.2-§. Izomorfizm haqidagi teoremalar
Ushbu mavzuda gruppalarning izomorfizmlari bilan bo‘g‘liq bo‘lgan, izomorfizm
va moslik teoremalari deb nomlanuvchi natijalarni keltiramiz. Ushbu teoremalar
gruppaning gomomorfizmlari va faktor gruppalar orasidagi bo‘glanishlarni ifodalovchi teoremalar hisoblanadi.
2.3.1-teorema. Bizga G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi f : G ! G1 epimorfizm berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning H normal qism gruppasi uchun
H ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : G ! G=H syurektiv tabiiy gomomorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G=H ! G1
epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun H = Kerf tenglik
o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.



Isbot. h : G=H ! G1 akslantirishni ixtiyoriy aH 2 G=H uchun h(aH) = f(a)
ko‘rinishida aniqlaymiz. Dastlab, bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlangan ekanligini
ko‘rsatamiz. Ya’ni, aH = bH bo‘lsa, u holda b-1 ∗ a 2 H bo‘ladi. O‘z navbatida
H ⊆ Kerf ekanligidan,
f(b-1 ∗ a) = e1 ) f(a) = f(b) ) h(aH) = h(bH)
kelib chiqadi. Demak, h akslantirish to‘g‘ri aniqlangan.
Ixtiyoriy a element uchun (h ◦ g)(a) = h(g(a)) = h(aH) = f(a) tenglik o‘rinli
ekanligidan, h◦g = f tenglik kelib chiqadi. Endi, h : G=H ! G1 akslantirishning
epimorfizm bo‘lishini ko‘rsatamiz. f : G ! G1 akslantirish syurektiv bo‘lganligi
uchun h : G=H ! G1 ham syurektiv bo‘ladi. Shuningdek,
h((aH) ∗ (bH)) = h((a ∗ b)H) = f(a ∗ b) = f(a) ∗1 f(b) = h(aH) ∗1 h(bH):

Demak, h akslantirish epimorfizm ekan.
Endi bu shartlarni qanoatlartiruvchi epimorfizm yagona ekanligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, boshqa h1 : G=H ! G1 epimorfizm mavjud bo‘lib, f = h1 ◦ g
bo‘lsin. U holda, ixtiyoriy aH 2 G=H element uchun

h(aH) = f(a) = (h1 ◦ g)(a) = h1(g(a)) = h1(aH)

tenglik o‘rinli. Demak, h = h1.

Endi teoremaning ikkinchi qismini, ya’ni h inyektiv akslantirish bo‘lishi uchun H = Kerf bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, h inyektiv akslantirish bo‘lsin. U holda Kerf ⊆ H ekanligi quyidagi munosabatlardan
kelibchiqadi.
Kerf ) f(a) = e1 ) h(aH) = e1 = h(eH) ) aH = eH ) a 2 H:
Shuningdek, teorema shartiga ko‘ra H ⊆ Kerf bo‘lganligi uchun H = Kerf
tenglikni hosil qilamiz.
Endi H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lsa, h akslantirishning inyektiv bo‘lishini
ko‘rsatamiz. Agar h(aH) = h(bH) bo‘lsa, u holda
f(a) = f(b) ) f(b-1 ∗ a) = e1 ) b-1 ∗ a 2 Kerf = H ) aH = bH:
Demak, h inyektiv akslantirish.
Demak, 2.3.1-teoremada H = Kerf bo‘lsa, u holda h izomorfizm bo‘lar
ekan, ya’ni G=Kerf ∼= G1 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Ushbu natija gruppalar
nazariyasida muhim o‘rin egallab, uni gruppalar uchun gomomorfizmlarning
asosiy teoremasi yoki gruppalar uchun izomorfizm haqidagi birinchi teorema deb nomlanadi.