O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

Bundan tashqari

a • c = c • a = b, b • c = c • b = a

tengliklar ham shu usul bilan ko'rsatiladi. Bu esa, to'rtinchi tartibli ixtiyoriy siklik bo'lmagan gruppa K4 ga izomorf ekanligini bildiradi.

Endi oltinchi tartibli gruppalarni o'rganamiz. Ma'lumki, Z6 siklik gruppa va S3 o'rin almashtirishlar gruppasi oltinchi tartibli gruppalar bo'ladi. Ta'kidlash joizki, S3 siklik bo'lmagan nokommutativ gruppadir, shuning uchun Z6 va S3 gruppalar izomorf emas. Bundan tashqari S3 eng kichik tartibli nokommutativ gruppadir. Quyidagi teoremada izomorhzm aniqligida faqat 2 ta oltinchi tartibli gruppa mavjud ekanligini ko'rsatamiz.

2.2.2- teorema. Ixtiyoriy oltinchi tartibli gruppa Z6 va S3 gruppalardan biriga izomorf.

Isbot. Aytaylik, G oltinchi tartibli siklik bo'lmagan gruppa bo'lsin. G ning tartibi juft son bo'lganligi uchun unda tartibi 2 ga teng bo'lgan a 2 G element mavjud, ya'ni a2 = e. Agar G gruppaning barcha elementlari ikkinchi tartibli bo'lsa, u holda G kommutativ gruppa bo'lib, uning turli a, b elementlari orqali hosil qilingan qism gruppa e, a, b, ab elementlardan iborat bo'ladi. Bu esa ziddiyat, chunki 6-tartibli gruppa 4-tartibli qism gruppaga ega emas. Demak, G gruppaning tartibi 2 dan farqli elementi mavjud. G siklik emasligini va barcha elementining tartibi 6 ning bo'luvchisi ekanligini hisobga olsak, tartibi 3 ga teng bo'lgan b 2 G element mavjudligini hosil qilamiz. Demak, ord(a) = 2 va ord(b) = 3. Ma'lumki, H = {e,b,b2} to'plam G gruppaning indeksi 2 ga teng bo'lgan qism gruppasi bo'lib, ixtiyoriy gruppaning indeksi 2 ga teng qism gruppasi normal bo'lganligi uchun H C G. Ikkinchi tomondan esa a 2 H ekanligidan G = H U aH kelib chiqadi, ya'ni G = {e, b, b2, a, a • b, a • b2}. Endi b • a va b2 • a elementlarni qaraymiz. Buning uchun H ning normal ekanligidan foydalansak, a~1 • b • a 2 H. Demak, a~1 • b • a element e, b va b2 elementlardan biriga teng bo'lishi kerak.

Agar a~1 • b • a = e bo'lsa, u holda b = a • e • a~1 = e. Bu esa ziddiyat. Agar a~1 • b • a = b bo'lsa, u holda b • a = a • b bo'lib, ord(a • b) = ord(a) • ord(b) = 6 kelib chiqadi. Bu ham G ning siklik emasligiga zid. Demak a~1 • b • a = b2, ya'ni b • a = a • b2 kelib chiqadi. Xuddi shunga o'xshab, b2 • a = a • b tenglikka ega bo'lamiz. Ya'ni G gruppa {e, b, b2, a, a • b,a • b2} elementlardan iborat bo'lib,