O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

a2 = b3 = e, b • a = a • b2, b2 • a = a • b.

Shunday qilib, biz ixtiyoriy oltinchi tartibli siklik bo'lmagan gruppa yagona gruppaga izomorf bo'lishini, xususan S3 ga izomorf bo'lishini ko'rsatdik.

Quyidagi misolda ikkita hosil qiluvchi elementga ega bo'lgan n-darajali diedr gruppasini keltiramiz.

2.2.1- misol. Ikkita a,b hosil qiluvchi elementlarga ega bo'lib,

ord(a) = 2, ord(b) = n, b • a = a • b~1

bo'lgan Dn = (a,b) gruppa n-darajali diedr gruppasi deyiladi, bu yerda n > 3. Ta'kidlashjoizki, Dn gruppa tartibi 2n ga teng bo'lgan nokommutativ gruppa bo'lib, uning elementlari quyidagilardan iborat

Dn = {e, b, b2,..., bn~1,a, a • b,a • b2,... ,a • bn~1}. 

Ma'lumki, D3 oltinchi tartibli gruppa bo'lib, D3 = S3 bo'ladi. D4 esa sakkisinchi tartibli nokommutativ gruppa hamda D4 gruppaning elementlari

{e, b, b2, b3, a, ab, ab2, ab3}

bo'lib, a2 = b4 = e, ba = ab3, b2a = ab2, b3a = ab. Demak,

ord(a) = ord(b2) = ord(ab) = ord(ab2) = ord(ab3) = 2, ord(b) = ord(b3) = 4.

Quyidagi misolda GL2(R) ikkinchi tartibli teskarilanuvchi kvadrat mat- ritsalar gruppasining D4 gruppaga izomorf bo'lgan qism gruppasi mavjudligini ko'rsatamiz.

2.2.2-misol. Aytaylik, G C GL2(R) gruppa bo'lsin.

U holda ord(A) = 2 va ord(B) = 4. Bundan tashqari

Demak, BA = AB3, bundan esa, G gruppa 4-tartibli diedr gruppasi bo'lishi kelib chiqadi.

Endi S4 o'rin almashtirishlar gruppasining 4-tartibli diedr qism gruppasini ko'rsatamiz.

2.2.3- misol. S4 gruppaning a = (24) va b = (1234) elementlarini qaraylik. Ma'lumki,

a2 = e, b2 = (13) o (24), b3 = (1432), b4 = e, b o a = a o b3.

Bundan esa, G = (a, b) gruppa 4-tartibli diedr gruppasi ekanligi kelib chiqadi.

Endi D4 diedr gruppasining barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Lagranj teoremasiga ko'ra, D4 ning xos qism gruppalarining tartibi faqat 2 va 4 ga teng bo'lishi mumkin. Tekshirish qiyin emaski,