O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

Kurs ishining maqsadi: Tub modul bo’yicha indekslar mavzusini o‘rgatish.
Kurs ishining obyekti: oliy va o‘rta talim muassasalarida Algebra va sonlar nazariyasi fanini o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti:Algebra va sonlar nazariyasi fanining o‘qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1.Mavzuga doir ma’lumotlarini yig‘ish va rejani shakllantirish.
2. Diedr va Kvaternion gruppalari.
3.Misollar yechish.

I.BOB. D₄ VA Q₈ GRUPPALARI

1.1-§. Diedr va Kvaternion gruppalari.

Ma'lumki, tartibi tub songa teng bo'lgan ixtiyoriy gruppa siklik bo'lib, bunday gruppalar Zp gruppaga izomorf bo'ladi. Xususan, izomorfizm aniqligida tartibi 1, 2,3, 5 va 7 ga teng bo'lgan yagona gruppalar mavjud. Biz tartibi 4 va 6 ga teng bo'lgan gruppalarning tasnifini va tartibi 8 ga teng bo'lgan nokommutativ grup- palarni keltiramiz. Kichik tartibli gruppalarning to'liqroq tasnifini esa keyinroq keltiramiz.

Dastlab to'rtinchi tartibli gruppalarni keltiramiz. Bizga shu paytgacha ikkita to'rtinchi tartibli Z4 va K4 gruppalar ma'lum bo'lib, ularning biri siklik, ikkinchisi siklik emas, demak, ular izomorf emas. Quyidagi teoremada izomorfizm aniqligida Z4 va K4 gruppalardan boshqa to'rtinchi tartibli gruppa mavjud emasligini ko'rsatamiz.

2.2.1- teorema. Ixtiyoriy to'rtinchi tartibli gruppa Z4 va K4 gruppalardan biriga izomorf.

Isbot. Aytaylik, G = {e, a, b, cg to'rtinchi tartibli gruppa bo'lib, u siklik gruppa bo'lsin, u holda G = Z4. Demak, G siklik bo'lmagan holni qarash, ya'ni siklik bo'lmagan to'rtinchi tartibli gruppani K4 ga izomorf ekanligini ko'rsatish kifoya. G gruppa siklik bo'lmaganligi uchun uning to'rtinchi tar- tibli elementi mavjud emas. Ixtiyoriy elementning tartibi gruppaning tartibi bo'luvchisi bo'lganligi uchun a,b,c elementlarning tartiblari 2 ga teng bo'ladi, ya'ni a2 = b2 = c2 = e. Endi a · b elementning c ga tengligini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik a • b = e bo'lsin, u holda a = a · e = a · (a · b) = a2 · b = b tenglikdan a = b ekanligini hosil qilamiz, bu esa ziddiyat, demak a • b = e. Agar a • b = a bo'lsa ham e = a • a = a • (a • b) = a2 • b = b tenglikdan e = b ekanligini hosil qilib, yana ziddiyatga kelamiz, ya'ni a • b = a. Xuddi shunga o'xshab a • b = b ham kelib chiqadi, demak, a • b = c. Yuqoridagi kabi b • a = c tenglikni ham ko'rsatish mumkin.