O`zbekiston respublikasi oliy ta'lim, fan va innovatsiyalar vazirligi islom karimov nomidagi toshkent davlat texnika universiteti olmaliq filiali

Teorema 1. Funktsiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin va chekli hosilaga ega bo'lsin. Funktsiya qavariq (botiq) bo'lishi uchun uning hosilasi shu oraliqda kamayishi (ko'payishi) zarur va etarli.
Teorema 2. Funktsiya hosilasi bilan birga aniqlangan va uzluksiz bo'lsin va ichida uzluksiz ikkinchi hosila bo'lsin. Undagi funktsiyaning qavariqligi (qavariqligi) uchun ichki qismi zarur va yetarli
Funksiyaning qavariqlik holati uchun 2-teoremani isbotlaylik.
Kerak. Keling, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani olaylik. Teylor qatoridagi nuqta yaqinidagi funksiyani kengaytiramiz
Abtsissaga ega nuqtadagi egri chiziqqa teginish tenglamasi:
Keyin egri chiziqning nuqtadagi unga tegib turgan ortiqcha qismi teng bo'ladi
Shunday qilib, qolgan qismi egri chiziqning nuqtada unga tegib turgan ortiqcha qismiga teng bo'ladi. Davomiylik tufayli, agar  , keyin ham uchun , nuqtaning yetarlicha kichik mahallasiga mansub va shuning uchun, aniqki, qiymatidan har qanday farqli uchun, belgilangan mahallaga tegishli.
Bu funksiya grafigi tangens ustida yotadi va egri chiziq ixtiyoriy nuqtada qavariq ekanligini bildiradi.
Adekvatlik. Egri chiziq oraliqda konveks bo'lsin. Keling, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani olaylik.
Avvalgisiga o'xshab, biz Teylor seriyasidagi nuqta yaqinidagi funksiyani kengaytiramiz
Ifodasi bilan aniqlangan abscissaga ega bo'lgan nuqtada egri chiziqning unga tegish ustidagi ortiqcha qismi tengdir.
Ortiqcha nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisi uchun ijobiy bo'lganligi sababli, ikkinchi hosila ham ijobiydir. Harakat qilsak, biz buni ixtiyoriy nuqta uchun olamiz  .
Funksiya grafigining asimptotalari
Ta'rif. Asimptot funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziq deb ataladi, bu xususiyatga ega bo'lgan nuqtadan () bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa 0 ga intiladi, bu esa grafik nuqtasini boshdan cheksiz ravishda olib tashlashdir.
Funktsiyani chizganimizda, qavariq intervallarni va burilish nuqtalarini aniqlash muhimdir. Funktsiyani grafik ko'rinishda aniq ko'rsatish uchun bizga kamaytirish va oshirish oraliqlari bilan bir qatorda kerak.
Ushbu mavzuni tushunish uchun funktsiyaning hosilasi nima ekanligini va uni qandaydir tartib bo'yicha qanday baholashni bilish, shuningdek, hal qila olish kerak. turli xil turlari tengsizliklar.
Maqolaning boshida asosiy tushunchalar aniqlanadi. Keyin ma'lum bir oraliqda qavariqning yo'nalishi va ikkinchi hosilaning qiymati o'rtasida qanday bog'liqlik mavjudligini ko'rsatamiz. Keyinchalik, grafikning burilish nuqtalarini aniqlash mumkin bo'lgan shartlarni ko'rsatamiz. Barcha mulohazalar muammoni hal qilish misollari bilan tasvirlanadi.
Ta'rif 1
Ma'lum bir oraliqda pastga yo'nalishda, agar uning grafigi ushbu intervalning istalgan nuqtasida unga teginishdan past bo'lmaganda joylashgan bo'lsa.
Ta'rif 2