Oʻzbеkistоn rеspublikasi оliy va oʻrta maхsus ta’lim vazirligi urganch davlat univеrsitеti fizika-matematika fakultеti ahmedova Nodira Ikrom qizining 5480100 – «Amaliy matematika va informatika»

Isbot. Grin ayniyatidagi ifodani kerakli koʻrinishda yozamiz. Buning uchun quyidagi sistemani tuzib olamiz:

va undan ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. Bularni Grin ayniyatiga qoʻysak, (1.3) tenglik hosil boʻladi.

Natija 1.1. Agar bo`lib, funksiya (1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, u holda

tenglik bajarilishi uchun funksiya ham (1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir.

Yuqoridagi natija, (1.1)+(1.2) chegaraviy masala yordamida aniqlangan chiziqli operator Gilbert fazosida oʻz-oʻziga qoʻshma operatorni ifodalashini koʻrsatadi.

5-xossa. (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymatlari haqiqiydir.

Isbot. son (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati boʻlsin deb faraz qilaylik va unga mos keluvchi xos funksiyani bilan belgilaylik. U holda son ham shu chegaraviy masalasining xos qiymati boʻladi va unga xos funksiya mos keladi. Quyidagi

tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid.

Natija.1.2. Xos funksiyani haqiqiy qilib tanlash mumkin. Chunki xos qiymat haqiqiy ekanligidan qaralayotgan tenglamaning haqiqiyligi kelib chiqadi. Chegaraviy shartlar esa hamisha haqiqiy.

6-xossa. (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill masalasining turli xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalari oʻzaro ortogonaldir, ya’ni xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalar uchun ushbu

tenglik oʻrinli boʻladi.

Isbot. Ushbu

ayniyatda boʻlgani uchun (1.4) tenglik oʻrinli boʻlishligi kelib chiqadi.

7-xossa. (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy (karrasiz), ya’ni bitta xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar bir-biriga proporsionaldir.

Isbot. xos qiymatga , chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda

boʻlgani uchun, chiziqli bogʻliq boʻladi. Bu esa farazimizga ziddir.

8-xossa. funksiya Shturm-Liuvill tenglamasining boʻyicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda

tenglik bajariladi. Bu yerda

Isbot. Ushbu

(1.5)

ayniyatdan boʻyicha hosila olsak,

(1.6)

tenglik kelib chiqadi. (1.5) va (1.6) tengliklarni mos ravishda va funksiyalarga koʻpaytirib, bir-biridan ayirsak, ushbu

ayniyat hosil boʻladi. Bu tenglikni kesmada integrallasak, ushbu

formula kelib chiqadi.

9-xossa. Agar quyidagi chegaraviy masalaning

xos qiymatlari va xos funksiyalari boʻlsa, u holda ushbu

(1.7)

chegaraviy masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari bo`ladi. Bu yerda oʻzgarmas son.

Isbot. Ushbu



chegaraviy masala noldan farqli yechimga ega boʻlishi uchun boʻlishi zarur va yetarli. Shartga koʻra, bu holda oxirgi chegaraviy masala yechimga ega. Demak, (1.7) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari boʻladi

(1.1) differensial tenglamaning quyidagi

boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz.

Xuddi shuningdek, (1.1) tenglamaning ushbu



Boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilab olamiz. Bu yerda yechim (1.2) chegaraviy shartlardan birinchisini, yechim esa ikkinchisini qanoatlantiradi. Bu va yechimlarni mos ravishda (1.2) chegaraviy shartlardan ikkinchisiga va birinchisiga qoʻyib, ushbu

tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarga (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik tenglamalari deyiladi. Shturm-Liuvill tenglamasining va yechimlaridan tuzilgan ushbu

Vronskiy determinantini qaraymiz. Biz yuqorida bu determinant oʻzgaruvchiga bog`liq emasligini ko`rsatgan edik. Shuning uchun ushbu

tengliklarni yozishimiz mumkin. Bu tengliklardan

kelib chiqadi. Bu yerdagi ,, funksiyalar oʻzgaruvchining butun funksiyalari boʻlib, sanoqlita nollarga ega ekanligini keyinchalik koʻrsatamiz.

xarakteristik tenglamaning ildizlari Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlaridan iborat boʻlib, va funksiyalar uchun xos funksiyalari boʻladi va ushbu

(1.8)

tenglik bajariladi. Haqiqatdan ham, soni tenglamaning ildizi boʻlsa, u holda boʻlgani uchun (1.8) tenglik oʻrinli boʻladi. va funksiyalar (1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bundan esa son xos qiymat hamda va funksiyalar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos funksiyalari ekanligi kelib chiqadi.

Izoh.1.2. Odatda, agar (1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi ushbu koʻrinishda boʻlsa, u holda yechim , boshlangʻich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi, agar (1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi koʻrinishda boʻlsa, u holda yechim boshlangʻich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi.

Agar soni Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati boʻlib, unga mos keluvchi xos funksiya boʻlsa, u holda va qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli boʻladi, aks holda yechimning yagonaligi haqidagi Koshi teoremasidan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa xos funksiya ta’rifiga ziddir. Xuddi shuningdek, va qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli boʻlishi koʻrsatiladi.

Quyidagi

sonlarga (1.1)+(1.2) chegaraviy masalaning normallovchi oʻzgarmaslari deyiladi. (1.1)+(1.2) masalaning ortonormallangan xos funksiyalari quyidagi tengliklardan topiladi:

Ta’rif.1.2. Ushbu sonli ketma-ketliklar juftligiga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari (spektral xarakteristikalari) deyiladi.

Ta`rif.1.3. Monoton oʻsuvchi, chapdan uzluksiz ushbu

(1.9)

funksiyaga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasi deyiladi.

10-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining normallovchi oʻzgarmaslari uchun ushbu

(1.10)

tenglik oʻrinli boʻladi. Bu yerda

funksiya (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill masalasining xarakteristik funksiyasi, funksiya esa (1.1) tenglamaning boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidir.

Isbot. 8-xossada yechim oʻrnida yechimni olib, desak, ushbu

tenglik hosil boʻladi.

Quyidagi ikkita holni koʻrib chiqamiz.

1) boʻlsin. Bu holda boʻlgani uchun

tenglik oʻrinli.

2) boʻlsin. Bu holda boʻlgani uchun

tenglik bajariladi.

Natija.1.4. (1.8) tenglikdan foydalanib, (1.10) tenglikni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:



Natija.1.5. (1.10) formuladan (1.1)+(1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining

xarakteristik funksiyasi karrali ildizga ega emasligi kelib chiqadi.

2-§. Krum almashtirishi va uning tadbiqlari

Ushbu

(2.1)

(2.2)

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini koʻrib chiqamiz. Bu yerda haqiqiy sonlar, kompleks parameter. (2.1) va (2.2) masalaning xos qiymatlarini

orqali, ularga mos keluvchi xos funksiyalarni

orqali belgilaymiz. boʻlsin, u holda xos funksiyalar ham cheksiz marta differensiallanuvchi boʻladi.

Quyidagi funksiyalarni kiritib olamiz.

Teorema.2.1.(Krum M.M.) Agar boʻlsa, quyidagi Shturm-Liuvvill masalasining xos qiymatiga mos keluvchi xos funksiyasi boʻladi:

_(2.3)

(2.4)

Bu yerda

(2.5)

Agar boʻlsa, (2.3)+(2.4) masala regulyar boʻladi. Agar boʻlsa,

∼

boʻladi. Agar boʻlsa, boʻladi. Agar boʻlsa funksiya oraliqda ta nolga ega boʻladi. Bundan tashqari funksiyalar sistemasi fazoda toʻla boʻladi.

Izoh.2.1. Ayrim adabiyotlarda boʻlganda Krum almashtirishi Darbu almashtirishi deb yuritiladi.

Isbot. boʻlgan hol. Bu holda





(2.6)

boʻladi. Bu yerda

Ravshanki,

(2.7)



(2.8)

(2.7) va (2.8) tengliklarga koʻra

(2.9)

oʻrinli boʻladi.

Quyidagi hosilani hisoblaymiz:









(2.10)



(2.11)

(2.10) va (2.11) tengliklarga koʻra

oʻrinli boʻladi. Demak,

(2.12)

oʻrinli. Bundan tashqari

ya’ni

(2.13)

(2.12) tenglikni oraliqda integrallaymiz:

Bu yerda (2.13) ni hisobga olsak,

(2.14)

kelib chiqadi. (2.12) tenglikni oraliqda integrallaymiz:

Bu yerda (2.13) ni hisobga olsak,

(2.15)

kelib chiqadi.

Quyidagi hisoblashlarni bajaramiz:

ya’ni

(2.16)

(2.16) dan hosila olamiz:

(2.17)

Bu yerda

(2.18)

(2.9) tenglikka koʻra (2.18) ayniyatni quyidagicha yozamiz:

(2.19)

Agar tenglikni hisobga olsak, (2.19) tenglik ushbu

(2.20)

koʻrinishni oladi. Agar (2.6) tenglikni hisobga olsak,

(2.21)

kelib chiqadi.

Ma’lumki, xos funksiya oraliqda ta ildizga ega. Agar funksiyani tuzib olsak, u oraliqda ta ildizga ega. Roll teoremasiga koʻra, har bir oraliqda funksiyaning kamida bitta ildizi bor. Demak, funksiya oraliqda kamida ta ildizga ega. Agar funksiyaning oraliqdagi ildizlar soni tadan koʻp boʻlsa, masalan ta boʻlsa, (2.13) ga asosan kesmada funksiyaning ildizlar soni ta boʻladi. (2.12) ga asosan Roll teoremasiga muvofiq funksiyaning oraliqda kamida ta ildizi boʻladi. Ziddiyat, chunki funksiyaning oraliqda aniq ta ildizi bor. Demak, funksiyaning oraliqda aniq ta ildizi bor ekan. Bu fikrdan xos funksiyalar (2.3)+(2.4) masalaning barcha xos funksiyalaridan iborat boʻlishi kelib chiqadi.

Agar bo`lib, funksiya (2.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimi boʻlsa, ushbu

,

funksiya, (2.3) tenglamaning yechimi boʻladi.

Agar boʻlsa, boʻladi. Bu yerda funksiya (2.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimi. Bundan, (2.3) tenglamaning bitta yechimi boʻlishi kelib chiqadi. Quyidagi funksiyalar (2.3) tenglamaning boʻlgandagi chiziqli erkli yechimlari boʻladi:

(2.3)+(2.4) masalaning xos funksiyalaridan boshqa xos funksiyasi yoʻq ekanligini, (2.3) tenglamaning umumiy yechimi haqidagi fikrlardan foydalanib tekshirib koʻrish mumkin.

Endi teoremadagi fikrni holda isbotlash maqsadida uchun isbot qilindi deb olib, bu fikr uchun ham oʻrinli ekanligini koʻrsatamiz.

determinant uchun, ushbu

(2.22)

ayniyat oʻrinli boʻladi. Bunga koʻra,

(2.23)

Bu yerda

(2.24)

(2.23) tenglikdan

(2.25)

kelib chiqadi. Quyidagi ifodani

(2.25) tenglikka qoʻyamiz:

(2.26)

Ushbu

(2.27)

belgilashni kiritamiz. U holda

(2.28)

boʻladi. (2.26) formulaga koʻra

(2.29)











(2.30)

boʻladi. (2.24) formulaga koʻra

(2.31)

(2.31) tenglikni (2.30) ayniyatga qoʻyamiz:

(2.32)

Bu yerda

(2.33)

(2.5) tenglikka koʻra

boʻladi. Bunga asosan (2.33) ayniyatdan

ya’ni

(2.34)

kelib chiqadi. (2.32) tenglikda deb, (2.28) ayniyatga qoʻysak,

(2.35)

kelib chiqadi. funksiyalar uchun, chegaraviy shartlar bajarilishini koʻrsatamiz. Buning uchun quyidagi asimptotikalarni induksiya usulida isbot qilamiz:

(2.36)

(2.37)

(2.38)

boʻlsin. U holda va

boʻladi. Bu holda Bularga koʻra

ya’ni

(2.39)

(2.12) formulaga koʻra

,

ya’ni

(2.40)

oʻrinli boʻladi. (2.39) va (2.40) asimptotikaga koʻra

, (2.41)

oʻrinli boʻladi. Demak, boʻlgan holda (2.36), (2.37), (2.38) asimptotikalar isbotlandi. (2.36) – (2.38) asimptotikalarni uchun toʻgʻri deb olib, ularni uchun ham toʻgʻri boʻlishini koʻrsatamiz. (2.26) formulaga koʻra:

(2.42)

(2.29) ayniyatga koʻra:

boʻladi. (2.42) ga muvofiq

(2.42ʹ)

Bunga koʻra da

∼

(2.43)

Bu yerda

(2.42ʹ) dan hosila olsak,

∼



(2.44)

kelib chiqadi. (2.44) ga asosan ushbu

(2.45)

asimptotikani topamiz. Shunday qilib, (2.36), (2.37), (2.38) asimptotikalar isbotlandi. Xuddi shunday usul bilan shunga oʻxshash asimptotikalarni boʻlgan holda ham isbot qilish mumkin, bunda oʻrnida lar turadi. Bu asimptotikalarga koʻra boʻladi.

Endi ushbu

(2.46)

asimptotikani keltirib chiqaramiz. boʻlgan holda funksiya kesmada ildizga ega emasligidan formulaga koʻra boʻlishi kelib chiqadi (yetarlicha sillliq). (2.46) asimptotika uchun isbot qilindi deb olib, uchun toʻgʻri boʻlishini koʻrsatamiz:

Shunga oʻxshash fikr boʻlganda ham oʻrinli boʻladi.

Krum almashtirishiga doir misollar keltiramiz.