O‘zbеkistоn rеspublikasi оliy va o‘rta maхsus ta’lim vazirligi urganch davlat univеrsitеti

Tarif 1.2. Agar (1.1) differensial tenglama ushbu

chegaraviy shartlar bilan birga qaralsa, unga Neyman chegaraviy masalasi deyiladi.
Tarif 1.3. Agar (1.1) differensial tenglama ushbu
(1.3)
chegaraviy shartlar bilan birga qaralsa, unga davriy chegaraviy masala deyiladi.
Tarif 1.4. Agar (1.1) differensial tenglama ushbu
, (1.4)
chegaraviy shart bialn birga qaralsa, unga yarimdavriy chegaraviy masala deyiladi.

Teorema 1.1. (1.1)+(1.3) davriy (1.1)+(1.4) yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari haqiqiy bo‘lib, ular ushbu
, (1.5)
tenglamaning ildizlari bilan ustma-ust tushadi. Bu yerda
(1.6)
Bunga Lyapunov funksiyasi deyiladi.
Isbot. Dastlab (1.1)+(1.3)davriy chegaraviy masala xos qiymatlarining haqiqiyligini ko‘rsatamiz. Agar (1.1)+(1.3)davriy chegaraviy masalaning xos qiymatiga mos keluvchi xos funksiya ham xos funksiya bo‘lib, unga xos qiymat mos keladi. Quyidagi


tenglikda ya’ni haqiqiy son ekanligi kelib chiqadi. Endi (1.1)+(1.3)davriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari tenglamaning ildilzlaridan iborat o‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun (1.1)+(1.3)chegaraviy masalaning xos qiymatiga mos keluvchi xos funksiyani orqali belgilaymiz. O‘z navbatida funksiya (1.1) tenglamaning yechimi bo‘lgani uchun
(1.7)
o‘rinli. Bu yerda (1.7) ifoda (1.3) chegaraviy shartlarga qo‘yib, ushbu
(1.8)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun quydagi
(1.9)
shartning bajarilishi zarur va yetarli. Bunda

ya’ni ekanligi kelib chiqadi.
(1.1)+(1.4) yarimdavriy chegaraviy masala xos qiymatlarning haqiqiyligi va ular tenglamaning ildizlari bilan ustma-ust tushishi xuddi yuqoridagidek ko‘rsatiladi.