O‘zbеkistоn rеspublikasi оliy va o‘rta maхsus ta’lim vazirligi urganch davlat univеrsitеti

Natija 2.1. Agar boshlang‘ich shartdagi funksiya haqiqiy analitik funksiya bo‘lsa, u holda unga mos keluvchi lakunalar uzunliklari eksponensial ravishda nolga intiladi, bu lakunalar funksiyaga ham mos keladi. Shuning uchun yechim o‘zgaruvchi bo‘yicha haqiqiy analitik funksiya bo‘ladi.
Natija 2.2. Agar boshlang‘ich shartdagi funksiya davrga ega bo‘lsa, u holda undga mos keluvchi (Xoxshtad teoremasiga asosan) nomerlari ga karrali bo‘lmagan barcha chekli lakunalar yopiladi, bu lakunalar koeffitsiyentga ham mos keladi. Shuning uchun yechim o‘zgaruvchi bo‘yicha davrga ega bo‘ladi. Bu yerda natural son va lakunaning nomeri .

§3. Davriy funksiyalar sinfida moslangan manbali Kamassa - Holm tenglamasini integrallash
Quyidagi
(3.1)
moslangan manbali Kamassa - Holm tenglamasini ushbu
, (3.2)
boshlang‘ich shart bilan birga ko‘rib chiqamiz. Bizga (3.1) tenglamaning (3.2) boshlang‘ich shartni va quyidagi
(3.3)
silliqlik shartlarini qanoatlantiruvchi, o‘zgaruvchi bo‘yicha davrli
(3.4)
haqiqiy yechimni topish talab qilingan bo‘lsin. Bu yerda berilgan haqiqiy funksiya bo‘lib, ushbu asimptotikani qanoatlantiradi. Bunda bo‘lib, bilan quyidagi
(3.5)
Shturm - Liuvill tenglamasining Floke yechimlari va va lar orqali mos ravishda (3.5) tenglamaning va boshlang‘ich shartlarini qanoatlantiuvchi yechimi belgilangan. Boshlang‘ich shartdagi funksiya oldindan berilgan davrli funksiya bo‘lib,
Bu paragrafda (3.1) va (3.5) masalaning , yechimlarini tuzish usulini ko‘rib chiqamiz.
Teorema 3.1. Agar va funksiyalar (3.1)-(3.5) masalaning yechimi bo‘lsa, u holda (3.5) operatorning spektri paramertga bog‘lik bo‘lmaydi, spektral parametrlari esa quyidagi:
(3.6)
Dubrovin-Trubovis tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. Bu yerda

bo‘lib ishoralar spektral parameter o‘zining lakunasi chetiga kelganda qarama- qarshisiga o‘zgaradi.
Isbot. Quyidagi
(3.7)
belgilash yordamida (3.1) tenglamani
(3.8)
ko‘rinishda yo‘zib olamiz. Ushbu funksiya (3.8) tenglamani qanoatlantiuvchi, bo’yicha davrga ega bo‘lgan funksiya bo‘lsin. Berilgan (3.5) tenglama uchun qo‘yilgan Dirixle masalasining xos qiymatlariga mos keluvchi ortonormallashgan xos funksiyalarini orqali belgilaymiz. U holda

ayniyat o‘rinli bo‘ladi.
Yuqoridagi ayniyatni bo‘yicha differensiallab quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
(3.9)
Agar (3.9) ifodani ikkala tarafini ga ko‘paytirib, o‘zgaruvchisi bo‘yicha dan gacha oraliqda integrallasak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

Bu tenglikdagi birinchi integral ostidagi funksiyaning boshlang‘ichini va ga nisbatan kvadratik ko‘rinishida izlaymiz:
(3.10)
Bu yerda , va koeffitsiyentlar va larga bog‘liq emas. Agar (3.10) tenglikning chap tomonini hisoblab, ayniyatdan foydalansak,

hamda mos koeffitsiyentlarni o‘zaro tenglasak, quyidagi tengliklar kelib chiqadi:
(3.11)
Ushbu

funksiya (3.11) tenglikni qanoatlantirishi ravshan. Bunga ko‘ra,

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak,
(3.12)
munosabat o‘rinli.
Endi (3.9) tenglamadagi ikkinchi integralni hisoblaymiz:
(3.13)
Bo‘laklab integrallash yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz:
(3.14)
Quyidagi

va

tengliklarga ko‘ra
(3.15)
formulaga ega bo‘lamiz.
Agar (3.14) ifodani (3.13) tenglikka qo‘ysak, ushbu

formulaga ega bo‘lamiz.
Yuqoridagi (3.9), (3.12) va (3.15) ayniyatga muvofiq
(3.16)
bo‘lishi kelib chiqadi. Quyidagi


tengliklarga ko‘ra, ushbu

tenglik hosil bo‘ladi. Oxirgi tenglikda

ifodadan foydalansak,

kelib chiqadi. Bunda
.
Agar ushbu


yoyilmalarni ishlatsak,
(3.17)
tenglik hosil bo‘ladi. Bu ifodani (3.16) tenglikka qo‘ysak,

sistema kelib chiqadi. Bu yerda
.
Endi davriy va yarimdavriy masalalarning xos qiymatlari ga bog‘liq emasligini isbotlaymiz. Davriy yoki yarimdavriy masalalarning normallashgan xos funksiyalarini orqali belgilasak, yuqoridagi usul bilan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(3.18)
Agar funksiyaning ko‘rinishini hisobga olib, yuqoridagi usulni qo‘llasak,

bo‘lishi kelib chiqadi.
Izoh. Teorema 3.1. (3.1)-(3.4) masalaning yechimini topish algoritmini beradi.
(3.1)-(3.4) Koshi masalasini yechish algoritmi:
1) potensial bo‘lganda (3.5) tenglama uchun to‘g‘ri masala yechib spektral berilganlar topiladi.
2) teorema 3.1. natijasidan foydalanib (3.6) Dubrovin tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasining yechimi topiladi.
3) Quyidagi

izlar formulasidan foydalanib, funksiya topiladi. Shundan so‘ng (3.5) tenglamaning Floke yechimlarini topish mumkin.