O`zbekiston Respublikasi Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi Andijon Davlat Pedagogika instituti Aniq va tabiiy fanlar fakulteti Fizika va astronomiya yo`nalishi

2.Bio-savar-Laplas qonuni. Bio savar laplas qonunining turli magnit maydonlarni hisoblashga tatbiqi.
= 𝐽. (1)
Ushbu tenglamalarni o'zgartirish orqali BSL qonuni (1) tenglama shaklida chiqariladi. Ushbu qonun magnit kuchning to'g'ridan-to'g'ri o'tkazuvchanlik oqimiga bog'liqligini belgilaydi. Magnit kuchini doimiy o'tkazuvchanlik oqimi bilan bog'laydigan Maksvell tenglamasi ham ma'lum.
Agar elektrodinamika sohasidagi barcha hodisalar Maksvell tenglamalari bilan tasvirlanganiga rozi bo'lsak, (1) tenglama qat'iy emas va aniqlashtirishni talab qilishini tan olishimiz kerak. Ammo bu hech qanday ma'lumotni kutish uchun joy yo'q bo'lganda, uni noldan kashf etishga va shakllantirishga muvaffaq bo'lgan ushbu qonun mualliflarining xizmatlarini hech qanday tarzda kamaytirmaydi. Taklif etilayotgan maqola ushbu qonunni takomillashtirishga bag'ishlangan.
Vektor potentsialining Maksvell tenglamalari bilan rasmiy aloqasi yo'q. Shuningdek, biz o'lchov o'zgarmasligi sharti ko'p jihatdan bajarilishi mumkinligini ta'kidlaymiz, bu esa fizikada o'zboshimchalikni keltirib chiqaradi, bu klassik fizikaning o'ziga xos ruhiga zid keladi. Shu bilan birga, ushbu shartning ko'rsatilgan isbotda qo'llanilishi vektor potentsialidan fizikaning boshqa sohalarida foydalanish uchun asos bo'lib xizmat qiladi [2]. Ammo vektor potentsialining Maksvell tenglamalari bilan rasmiy aloqasi yo'qligi sababli, uni qo'llash bu asosdan mahrum.
Matematik model
Maksvell tenglamalari doimiy sim uchun shaklga ega ekanligi ko'rsatilgan [3]
(𝐽) = 0, (a) t(𝐻) − 𝐽 − 𝐽𝑜 = 0, (b) div(𝐽) = 0,
(c) div(𝐻) = 0.
(d)
bu yerda 𝐻, 𝐽 magnit kuchlari va oqim zichligi. Biz silindrsimon koordinatalardan foydalanamiz 𝑟, 𝜙, 𝑧 va hisobga olamiz
•
oz o'qining asosiy oqim zichligi 𝐽𝑜,
•
qo'shimcha oqimlarning zichligi 𝐽𝑟, 𝐽𝜙, 𝐽𝑧,
•
magnit kuchlari 𝐻𝑟, 𝐻𝜙, 𝐻𝑧 mos ravishda radial, aylana va boʻylama.
Shuni ta'kidlash kerakki, magnitostatika uchun maqbul deb hisoblangan ikkita tenglamaning (b, d) qisqartirilgan tizimi emas, balki Maksvell tenglamalarining to'liq tizimi qo'llaniladi. Bunday qisqa tizim hatto shahar simi uchun ham yechim bermaydi. Bundan farqli o'laroq, to'liq tenglamalar tizimi simning ichida (tashqarida emas) energiya oqimining echimini topishga imkon beradi.
[3] da toʻgʻridan-toʻgʻri tok simi uchun Maksvell tenglamalarining yechimi batafsil koʻrib chiqilib, yechim faqat nolga teng boʻlmagan qoʻshimcha toklar 𝐽𝑟, 𝐽𝜙,, 𝐽𝑧 uchun mavjudligi isbotlangan. Yechim quyidagi shaklga ega:
𝑱𝒓 = 𝒋𝒓 (𝒓)𝐜𝐨𝐬( 𝜶𝝋 + 𝝌𝒛), (12)
𝑱𝝋 = 𝒋𝝋 (𝒓)𝐬𝐢𝐧( 𝜶𝝋 + 𝝌𝒛), (13)
𝑱𝒛 = 𝒋𝒛 (𝒓)𝐬𝐢𝐧( 𝜶𝝋 + 𝝌𝒛), (14)
𝑯𝒓 = 𝒉𝒓(𝒓) 𝐜𝐨𝐬( 𝜶𝝋 + 𝝌𝒛), (15)
𝑯𝝋 = 𝒉𝝋 (𝒓)𝐬𝐢𝐧( 𝜶𝝋 + 𝝌𝒛), (16)
𝑯𝒛 = 𝒉𝒛(𝒓) 𝐬𝐢𝐧( 𝜶𝝋 + 𝝌𝒛), (17)
qayerda
𝑗(𝑟), ℎ(𝑟) r koordinatasining baʼzi funksiyalari,
𝛼, 𝜒 ba'zi doimiylardir.
[3] da toʻgʻridan-toʻgʻri tok simida radiusi oʻzgarmas silindrdagi doimiy tok zichligi va doimiy magnit kuchga ega boʻlgan nuqtaning traektoriyasi spiral ekanligi isbotlangan. Bundan tashqari, har bir aylana bo'ylab ko'plab traektoriyalar o'tadi, ulardagi kuchlar va oqim zichligi 𝜑 ga qarab sinusoidal ravishda o'zgaradi. Demak, o'zgarmas radiusli silindrdagi chiziq bo'ylab barcha kuchlar va oqim zichligi doimiy bo'lib qolishi uchun nuqta harakatlanadi, bu spiral chiziqdir.
Misol uchun, rasmda. 1 da oqim funksiyalari bilan tavsiflangan uchta spiral chiziq ko'rsatilgan: qalin chiziq 𝛼 = 2, 𝜒 = 0,8, o'rta chiziq 𝛼 = 0,5, 𝜒 = 2 va ingichka chiziq 𝛼 = 2, 𝜒 = 1,6.
Keyinchalik, simdan tashqarida (oqim bo'lmagan joyda) doimiy radiusli silindrda doimiy magnit zichlikka ega bo'lgan chiziq spiral chiziq ekanligi ko'rsatiladi.
Doimiy oqimga ega bo'lgan o'tkazgich atrofida spiral konfiguratsiyaga ega magnit maydon mavjudligi haqiqati 1820 yilda Oersted tomonidan aniqlangan.2-rasmda magnit suyuqlikda namlangan simning fotosurati ko'rsatilgan (20 marta kattalashtirilgan). Magnit suyuqlikdan hosil bo'lgan spiral chiziqlar ko'rinadi. Ushbu fotosurat magnit kuchlarining spiral chiziqlari mavjudligini ko'rsatadi.

Telning yaqinidagi kuchlar
[3] da olingan eritma simdan tashqarida tok hosil qilgan magnit maydonni topish imkonini beradi. Buning uchun 𝑟 > 𝑅 da eritmani olish kifoya, bu yerda 𝑅 - simning radiusi. Bunday holda, simdan tashqaridagi magnit kuchlari quyidagi formulalar bilan aniqlanishini aniqlaymiz:
𝛼2 ℎ𝑧′′(𝑟) + ℎ𝑧′ (𝑟) − ℎ𝑧(𝑟) (𝑟2 + 1) = 0 (1) ℎ𝜑(𝑟) = − (ℎ𝑟), − (ℎ𝑟)𝑧),

𝒉𝒓(𝒓) = −𝝌𝟏 𝒉′𝒛(𝒓).

(3)
ℎ𝑧(𝑟) funksiyalari bilan (2, 3) funksiyalarni topish mumkin. (1) tenglamaning yechimi o'zgartirilgan Bessel funktsiyasidir. Shaklda. 3 uchun funktsiyalar (1, 2, 3) ko'rsatilgan

∝= 0,25, 𝜒 = 0,5, 𝑅 = 0,002, 𝑟 > 𝑅.

(to'rt)
BSL qonuniga ko'ra, cheksiz uzun simning aylana magnit intensivligi funktsiyasi quyidagi shaklga ega:
ℎ𝐵𝑆(𝑟) = 4𝐽𝜋𝑟𝑜 .
(besh)
Ushbu formula, BSL qonunining alohida holati sifatida, bir necha bor eksperimental ravishda sinovdan o'tgan va bunga hech qanday shubha yo'q. Ammo bizning vazifamiz Maksvell tenglamalarining haqiqiy natijasiga aylanishi uchun BSL qonunini takomillashtirishdir.
Rasmdagi ikkinchi oynada. 3 nuqtali chiziq shaklning funktsiyasini ko'rsatadi
ℎ𝜑2(𝑟) = 𝑅ℎ 𝜑𝑟(𝑅). (6)
Bu misol funktsiya (6) funksiyaning yaxshi yaqinlashuvi ekanligini ko'rsatadi.
Shunday qilib, cheksiz uzun sim uchun simga perpendikulyar va BSL qonuni bilan aniqlangan quvvat ℎ𝐵𝑆𝐿(𝑟) oʻrtasida analitik bogʻliqlik va toʻgʻridan-toʻgʻri tok boʻlgan sim uchun Maksvell tenglamalarini yechish natijasi ℎ𝜑2(𝑟) ga erishildi.
BSL qonuni ℎ𝐵𝑆𝐿(𝑟) bundan mustasno, simdagi oqim tomonidan yaratilgan kuchlarning boshqa proektsiyalari yo'qligini belgilaydi. BSL qonuni to'liq Maksvell tenglamalarining natijasi bo'lishi uchun simning ℎ𝑟(𝑟) radiusi bo'ylab va simning ℎ𝑧(𝑟) o'qi bo'ylab yo'naltirilgan kuchli tomonlar mavjud deb taxmin qilish kerak. Shunday qilib, aniqlangan BSL qonuni shundan iboratki, to'g'ridan-to'g'ri oqimga ega sim simga yaqin joyda magnit kuch vektorini yaratadi, uning silindrsimon proektsiyalari (1, 2, 3) bilan belgilanadi.
Bu barcha kuchlar radius 𝑟 ga perpendikulyar bo'lakda oqim tomonidan yaratilgan. Shunday qilib, cheksiz uzun simning kuchli tomonlari (2.15,
2.16, 2.17), bu erda ushbu formulalarga kiritilgan ℎ(𝑟) qiymatlari (1-3) bilan belgilanadi.
Shaklda. 4 quvvat vektorining godografini ko'rsatadi
𝑯⃗⃗⃗⃗⃗𝒛𝒇⃗⃗ = 𝑯⃗⃗⃗⃗⃗𝒛 + 𝑯⃗⃗⃗⃗⃗𝒇 , (8)
Bu erda vektor atamalari (2.12, 2.13) koordinatalarning 𝑟, 𝜑 sobit qiymatlari uchun aniqlanadi. Godograf (4) va shartlarda tuzilgan

𝑟 = 0,0026, 𝜑 = 0, ℎ𝜑(𝑟) = −2000, ℎ𝑧(𝑟) = 11.

(to'qqiz)
⃗𝐻⃗⃗⃗ , 𝐻⃗⃗⃗⃗𝑓 ma'lum vektor qiymatlari bo'lgan nuqta simda ta'kidlangan. Ularning yig'indisi ⃗𝐻⃗⃗⃗𝑧𝑓⃗⃗ godografdagi nuqta bilan ko'rsatilgan. Shuni ta'kidlash kerakki, ⃗𝐻⃗⃗⃗𝑧 vektorining moduli ⃗𝐻⃗⃗⃗𝑓 vektor modulidan ancha kichik - shuningdek qarang. 3. BSL qonuni mualliflari kuchning bu proektsiyasini payqamaganligining sababi shu edi. 𝐻𝑓 va 𝐻𝑟 prognozlarining qiymatlari kattalik tartibiga mos keladi. Ko'rinishidan, o'sha qadimgi davrlarda magnit induksiya vektorining yo'nalishini aniqlash qiyin edi. Hozirgi kunda 𝐻𝑟 ni eksperimental tarzda topish mumkin.

energiya oqimi
Magnit sezgir elementlar bilan simdagi oqimning o'zaro ta'sirining energetikasini ko'rib chiqing. Bu shovqin joriy manbadan energiya sarfini talab qiladi. Telning yaqinida ferrit qismining paydo bo'lishi (masalan,) oqimning kuchayishiga olib keladi va tegishli qo'shimcha energiya bu qismni ko'chirishga sarflanadi. Bu energiya faqat energiya oqimi orqali qismga o'tkazilishi mumkin. Shuning uchun, magnit maydonga qo'shimcha ravishda, qismga elektromagnit energiya oqimi ham ta'sir qilishi kerak.
[3] da simga yaqin joyda magnit kuchdan tashqari, elektr quvvati hosil bo'lishi ko'rsatilgan. Bu kuchli tomonlar, avvalgidek, (2.12-2.17) ko'rinishga ega bo'lib, bu erda 𝑟 > 𝑅 uchun:
𝟐
𝒆"𝒛 𝒓 𝒓 ) = 𝟎, (1)
𝒆𝝓(𝒓) = 𝜶𝝌 ⋅ 𝒆𝒛𝒓(𝒓), (2)
𝒆𝒓 𝝌 , (3)
𝑒𝑧(𝑅) = 𝜌 ⋅ 𝑗𝑧(𝑅), (4)
bu erda 𝜌 - o'ziga xos qarshilik. Qismga yetib boradigan energiya oqimining zichligi formula bilan aniqlanadi (quyidagicha [3])

𝑆𝜑 = A𝑒𝑧(𝑟) ∙ ℎ𝑟(𝑟),

(besh)
bu yerda A doimiydir.
[3] da toʻgʻridan-toʻgʻri tok boʻlgan sim uchun Maksvell tenglamalarining yechimi topildi. Ushbu yechimning yuqoridagi xulosalari, hech bo'lmaganda, Maksvell tenglamalaridan kelib chiqqanligi bilan oqlanadi.
DC simli eritma simdan tashqaridagi maydonga osongina o'tkaziladi. Bundan tashqari, bu yechim Oersted tajribasiga mos keladi.
Maksvell tenglamalarining natijasi bo'lgan aniqlangan BSL qonuni mavjud. Tozalashlar shundan iboratki, to'g'ridan-to'g'ri oqim tomonidan yaratilgan magnit kuchning vektori oqim yo'nalishiga qat'iy perpendikulyar yo'naltirilmaydi, lekin aylana proektsiyasining kattaligi ustun bo'lgan uchta proektsiyaga ega.
Bundan kelib chiqadiki, vektor potentsialining divergentsiyasi orqali simga yaqin joylashgan magnit induktsiyasining ta'rifi taxminiy va div(A)=0 sharti Maksvell tenglamalarini tabiiy ravishda to'ldiradi, degan fikr noto'g'ri.
Tozalangan BSL qonuni simdan magnit sezgir elementga yo'naltirilgan energiya oqimini aniqlash imkonini beradi.
6. Epilog
A vektor potentsiali Maksvell tenglamalariga oxirgi ikki qatorni qo'shish orqali kiritiladi:
t(𝐸) = −𝜇 𝜕𝐻, (а)

div(𝐸) = − 𝜌, (b)

t(𝐻) = 𝐽 + 𝜀 𝜕𝐸, (c)

div(𝐻) = 0, (d) rot(𝐴) = 𝜇𝐻, (e) div(𝐴) = 0, (f)

bu erda 𝜌 - elektr zaryadining zichligi.
Keling, vektor algebrasining go'zalligini ushbu tenglamalardan olib tashlaymiz va 12 ta tenglamani olamiz, ular Dekart koordinatalarida quyidagicha ko'rinadi:
𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐻𝑥
− = −𝜇 , (1)
𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑦
− = −𝜇 , (2)
𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧
− = −𝜇 , (3)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧 𝜌
+ + = − , (4)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜀
𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 = 𝐽𝑥 + 𝜀 𝜕𝑡 , (5)
𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 = 𝐽𝑦 + 𝜀 𝜕𝑡 , (6)
𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 = 𝐽𝑧 + 𝜀 𝜕𝑡 , (7)
𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑧
+ + = 0, (8)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝐴𝑧 𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 = 𝜇𝐻𝑥, (9)
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 = 𝜇𝐻𝑦, (10)
𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 = 𝜇𝐻𝑧, (11)
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧
+ + = 0. (12)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
(1-3) va (9-10) dan biz quyidagilarni topamiz:
𝜕 (𝜕𝐴𝑧 − 𝜕𝐴𝑦) = 𝜇 𝜕𝐻𝑥 = − (𝜕𝐸𝑧 − 𝜕𝐸𝑦), (13)
𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧
( − ) = 𝜇= − ( − ), (14)
𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥
( − ) = 𝜇= − ( − ). (15)
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Xususan, (13) dan biz quyidagilarni olamiz:
𝜕 𝜕𝐴𝑦 𝜕 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥
− = − +
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Yoki
𝑦 = − 𝜕𝐸𝑦, 𝜕 𝜕𝐴
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐸𝑥
= −
va boshqalar. Umuman olganda, biz yozamiz:𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝐴𝑎 𝜕𝐸𝑎
= − . (16)
𝜕𝑡 𝜕𝑏 𝜕𝑏
(16) shartlar Maksvell tenglamalarining yechimi to‘lqin funksiyasi bo‘lsagina bajariladi. Ammo toʻlqin funksiyasi fizika uchun maqbul yechim boʻla olmaydi, chunki u energiyaning saqlanish qonunini qondirmaydi [3].
Shunday qilib
vektor potensialining mavjudligi energiyaning saqlanish qonuniga zid keladi.