Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti

MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARI ASOSIY MASALALARNING QO`YILISHI.

Matematik fizikaning ayrim masalalari ikkinchi. tartibli xususiy liosilali differensial tenglamalar orqali ifodalanadi. Qo'llanmaning uslubu dastlabki qismida xususiy hosilali tenglamalar haqida lnshunchalar va ta’riflar qisqacha bayon qilingan.
Matematik fizikaning asosiy tenglamalarini keltirib chiqarish, liu tenglamalar uchun boshlang'ich-chegaraviy shartlar va korrekti qo‘yiladigan masalalar berilgan. Nokorrekt qo'yilgan masalalarga misollar keltirilgan.

Xususiy hosilali differensial tenglamalar. Asosiy tushunchalar va ta’riflar

Noma’lum funksiya uning xususiy hosilalarini va erkli o‘zgaruvchilarni bog‘lovchi quyidagi ifoda.
(1)
xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Bu yerda F(-) — o‘z argumentlarining berilgan funksiyasi,

esa (1) tenglamaning berilish sohasi deyiladi.
Misollar.

Yuqorida kcltirilgan tenglamalar mos ravishda birinchi tartibli, ikkinchi tartibli va uchinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardir.
Demak, differensial tenglamada noma'lum funksiya xususiy hosilasining eng yuqori tartibiga shu tenglamaning tartibi deyiladi.
Agar funksiya biror D sohada aniqlangan, uzluksiz va tenglamada qatnashgan uzluksiz hosilalarga ega bo'lib, shu sohada tenglamani qanoatlantirsa, u holda bu funksiya tenglamaning yechimi deb ataladi.
Agar F barcha hosilalarga nisbatan chiziqli bo‘lsa, u holda (1) tenglama chiziqli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Chiziqli tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

Yoki bu yerda

m — tartibli chiziqli differensial operator deb ataladi.
Odatda xususiy hosilali chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglama quyidagicha ifodalanadi (2)
Bu yerda , biror chekli yoki cheksiz D sohada licnlgan funksiyalar, ular tenglamaning koeffitsiyentlari, f(x) esa tenglamaning ozod hadi deyiladi.
Agar chiziqli tenglamada bo‘lsa, u bir jinsli, aksincha, yiihii bo‘lsa, bir jinsli bo ‘Imagan tenglama deyiladi.
Agar (2) tenglamada uning chap tomonini L(u) orqali
belgilasak, u holda (2) tenglamani quyidagi ko'rinishda yozib olish
mumkin:

Bu yerda (4) ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial operator deyiladi.
Masalan, ikki o'zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali
chiziqli differensial tenglama ushbu

ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Bu yerda — tenglamaning koeffitsiyentlari, f(x , y) esa uning ozod hadi bo‘lib, ular x, y argumentlarning berilgan funksiyalari
Agar (1) tenglamada F faqat yuqori tartibli

hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa, u holda (1) kvazichiziqli tenglama
deyiladi.
Masalan, quyidagi tenglama

ikki o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli kvazichiziqli tenglamadir.
Xususiy hosilalar uchun quyidagi belgilashlardan foydalanamiz:

va h, k.
Agar (4) ifodada , va koeffitsiyentlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa, u holda (4) ifoda birinchi tartibli chiziqli operator deb ataladi.
Birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli differensial operatorlar
quyidagi xossalarga ega:

Bu xossalarni tekshirib ko‘rish qiyinchilik keltirib chiqarmaydi.
Yuqoridagi xossalardan chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
uchun muxim bo'lgan ushbu xulosalar kelib chiqadi:
1 – XULOSA Agar u(x) funksiya biror D sohada bir jinsli xu hosilali differensial L(u) = 0 tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda cu(x), c — const funksiya ham D sohada shu tenglamaning yechimi bo'ladi.
2 - XULOSA. Agar va funksiyalar biror D sohad jinsli xususiy hosilali differensial L(u) = 0 tenglamaning yechimlari bo'lsa, u holda funksiya ham D sohada shu L(u) = 0 tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Bu xulosalardan quyidagi natijani olamiz:
Natija. Agar funksiyalax biror D i«iliiula bir jinsli xususiy hosilali differensial L(u) = 0 tenglamaningyechimlari b o’lsa, u holda bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi

ham D sohada shu L(u) = 0 tenglamaning yechimi bo'ladi.Bu erda ixtiyoriy o‘zgarmaslar. Agar fazoning odchami ikkiga teng, ya’ni n = 2 bo‘lsa, u liolda deb, agar n = 3 bo‘lsa, u holda deb olamiz.