Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti

Xususiy hosilali differensial tenglamalarga oid misollar

1-MISOL. Quyidagi berilgan

funksiyalar x > 0, y > 0, z > 0 sohada ushbu

tenglamaning yechimi bo'ladimi?
Yechish: a) Berilgan funksiyaning va xususiy hosilalarini topamiz.

va ularni berilgan tenglamaga ko‘yib,

tenglikni olamiz.
Demak, funksiya qaralayotgan sohada berilgan tenglamaning yechimi ekan.
b) Xuddi yuqoridagi kabi berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
va bularni tenglamaga qo’ysak,

bo'ladi. Shunday qilib, u = xyz funksiya x > 0 , y > 0 , z > 0 sohadaberilgan tenglamani qanoatlantirmas ekan
2-MISOL. Ushbu

funksiya tekislikda Laplas tenglamasining yechimi bodadimi?
Bu erda tekislikdagi biror fiksirlangan nuqta.
Yechish. Berilgan funksiyaning hosilasini hisoblash uchun uni qulay ko'rinishda yozib olamiz. Bu funksiyaning xususiy hosilalarini olaylik


Xuddi shu kabi berilgan funksiyaning y b o ‘yieha ikkinchi tartibli hosilasini hisoblaymiz:

Endi olingan va hosilalarni Laplas tengla.ma.siga qo'yamiz. Natijada barcha nuqtalarda

ayniyatga ega bolamiz.
Demak, u(x, y) = ln — funksiya R2 tekislikning barcha (x, y) ^ (xQ,yo) nuqtalarida Laplas tenglamasining yechimi bo‘lar ekan.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar xuddi oddiy dilfcrensiai tenglamalar kabi aksariyat holiarda berilgan tenglamani qanoatlantiruvchi cheksiz ko‘p xususiy yechimlarga ega. liularning yig‘indisi qaralayotgan tenglamaning umumiy yechimini iishkil qiladi, Oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi bilan xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimi o'rtasida keskin farq bor. .
Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma'lumki, ushbu
(5)
ikkinchi tartibli tenglamaning umumiy yechimi 2 ta ixtiyoriy o'zgarmas songa bog‘liq bo‘lib, u
(6)
ko‘rinishdagi egri chiziqlar oilasidan iborat.
Berilgan tenglamaning ixtiyoriy xususiy yechimi parametrlarga qiymatlar berish natijasida hosil bo‘ladi.
Masalan, ushbu
(7)
ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi

bu erda ixtiyoriy o‘zgarmaslar
Agar berilgan. tenglamaning y(0)=1, y'(0)=1 boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsa, u holda umumiy yechimda qatnashgan c1, C2 o‘zgarmasla,rni c1 = 0, c2 = 0.5 ekanligi ko‘rinadi. Bundan berilgan (7) tenglamaning xususiy yechimi.

ekanligi kelib chiqadi
Endi iltki o‘zgaruvchili birinchi tartibli xususiy hosilali quyidagi
(8)
tenglamani qaraylik.
Bu tenglamada faqat ux hosila qatnashyapti, y o'zgaruvchini fiksirlangan, deb qaraymiz. Barcha fiksirlangan y larda (8) tenglamani oddiy differensial tenglama deb qarash mumkin, bunda x erkli o ‘zgaruvchili, u noma'lum funksiya.
Faraz qilaylik, bu tenglamaning umumiy yechimi
(9)
formula. bilan aniqlansin. Bu yechimda y parametr va ixtiyoriy C o‘zgarmaslar uchun u (8) tenglamani qanoatlantiradi. (9) funksiya xususiy hosilali (8) tenglamaning yechimi bodishi uchun C parameter x ga nisbatan o'zgarmas bo'lishi zarur, ya’ni u y o'zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi bodishi kerak. Demak, C ning o'rniga y ga bog'liq bo'lgan ixtiyoriy 'ip(y) funksiya qo'ysak, natijada (8) tenglamaning (9) ga qaraganda umumiyroq bo'lgan

ko‘rinishdagi yechimiga ega bo'lamiz.
Shunday qilib, birinchi tartibli xususiy hosilali (8) tenglamaning umumiy yechimi C(R) sinfiga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy tp(y) funksiyaga bog‘liq b o‘lar ekan.
Buni ayrim misollarda ko‘raylik.