O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi farg`ona davlat universiteti “Matematika” kafedrasi

 

 

 

 

 

 

 

---

2.2    Halqa tushunchasi 

K to`plamda ikkita binar amal aniqlangan bo`lsin. Ularning bittasini qo`shish amali 

deb ataymiz va     

                elementlarning yig`indisini          orqali 

belgilaymiz. Ikkinchisini ko`paytirish amali deb ataymiz va      

                

elementlarining ko`paytmasini    

       orqali belgilaymiz. 

K to`plamda aniqlangan qo`shish va ko`paytirish amallari quydagi shartlarni 

qanoatlantirsa, u halqa deyiladi: 

I. 

K to`plam qo`shish amaliga nisbatan kommutativ guruh hosil qiladi. 

II. 

K to`plam ko`paytirish amaliga nisbatan yarimguruh hosil qiladi. 

III. 

Qo`shish va ko`paytirish amallari distirbutivlik qounlari bilan bog`langan: 

                                                       

 (     )              

(     )             

Misollar: 1)Z, Q, R to`plamlar sonlarni qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan 

halqa hosil qiladi. 

2) [a,b] oraliqdagi barcha uzluksiz funksiyalardan iborat C [a,b] to`plam 

funksiyalarning qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan halqa hosil qiladi. 

---

3) Berilgan m(m

   ) natural songa bo`linuvchi barcha butun sonlardan iborat mZ 

to`plam sonlarni qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan halqa hosil qiladi. 

4) Elementlarni mos ravishda Z, Q, R halqalarda yotuvchi barcha n-tartibli kvadrat 

matritsalardan iborat M

n

(Z), M

n

(Q), M

n

(R) to`plamlar matritsalarni qo`shish va 

ko`paytirish amallariga nisbatan halqa hosil qiladi. 

Agar K halqada ko`paytirish amali kommutativ bo`lsa, u kommutativ halqa 

deyiladi. Yuqorida keltirilgan Z, Q, R  C[a,b], mZ halqalarkommutativ, ammo  

      M

n

(Z), M

n

(Q), M

n

(R) (n

   ) halqalar esa kommutativ emas. 

 Agar K halqada ko`paytirish amali uchun l

           birlik element mavjud (ya`ni har 

qanday 

           uchun            ) bo`lsa,   element   halqaning birlik elementi va 

K esa birlik elementli halqa deyiladi. Ba`zan  K halqaning birlik elementi 1 orqali 

ham belgilanadi. 

Yuqorida keltirilgan Z, Q, R  C[a,b], M

n

(Z), M

n

(Q), M

n

(R) halqalar birlik elementga 

ega,  

mZ halqa esa ega emas. Z, Q, R   da birlik elementi rolini 1 soni o`ynaydi. C[a,b] 

birlik element rolini [a,b] da aynan 1 ga teng bo`lgan funksiya o`ynaydi. M

n

(Z), 

M

n

(Q), M

n

(R) halqalarda birlik element rolini birlik matritsa o`ynaydi. 

---

Halqa qo`shish amaliga nisbatan guruh bo`lgani sababli unda qo`shish amaliga 

nisbatan umumlashgan assotsiativ qonun o`rinli . halqa ko`paytirish amaliga nisbatan 

yarim guruh bo`lgani sababli unda ko`paytirish amaliga nisbatan ham umumlashgan 

assotsiativ qonun o`rinli. 

Qo`shish va ko`paytirish amallarining distirbutivlik qonunlaridan n bo`yicha 

matematik induksiya yordamida har qanday 

 

  

  

  

 

 

     

 

 

    elementlar uchun 

bevosita quyidagi tengliklar olinadi: 

 (  

 

  

 

       

 

)     

  

    

 

        

 

, 

(  

 

  

 

       

 

)     

 

     

 

         

 

 . 

Bulardan esa har qanday 

 

 

   

       

 

  

      

  

 

   

 

    elementlar uchun bevosita 

quyidagi tenglik kelib chiqadi: 

(∑   

 

   

∑   

 

   

)   ∑

 

   

∑     

 

   

 

Bu yig`indida qo`shiluvchilarning qanday tartibda yozilishini ahamiyati yo`q (ya`nni 

yig`indi o`zgarmaydi), ammo kommutativ bo`lmagan halqada ko`paytuvchilarning 

qanday tartibda yozilishi muhim. 

---

Har qanday halqada ayirish va ko`paytirish amallari distirbutivlik qonuni bilan 

bog`langan, ya`ni har qanday  a,b,c 

    elementlar uchun  

(a-b)c=ac-bc,  a(b-c)=ab-ac. 

Bularning, masalan, birinchisini isbotlaymiz. Ushbu  

                                                (a-b)c+bc=((a-b)+b)c 

tenglikdan 

                                                  ((a-b)c+bc)-bc=ac-bc, 

ya`ni 

                                                       (a-b)c=ac-bc 

kelib chiqadi. 

       Bu distirbutivlik qonunida har qanday  

      elementlar uchun quyidagi tenglik 

kelib chiqadi:

   

                                                           =     , 

bu yerda 0-halqadagi qo`shish amalining nol elementi. 

       Haqiqatan, 

      =    (     )                  shunga o`xshash 

---

                                

        (     )                

Agar K halqa yagona elementdan iborat bo`lsa, u faqat noldan iborat bo`ladi. Bu 

halqa nol halqa deyiladi. Nol halqada 1=0 

Birlik elementli K halqada bittadan ortiq element bo`lsin. U holda unda noldan farqli 

element mavjud. Bu halqada 1

   , chunki aks holda 1=0 bo`lib,  

 

                      tenglik olinardi. Bu qarama-qarshilik  1    ekanini ko`rsatadi. 

Bunday halqada 0 element teskarilanuvchi emas, chunki har qanday b

     element 

uchun 

             . 

elementlar nolning bo`luvchilari  deyiladi. Bunday elementlarga ega bo`lgan halqa 

nolning bo`luvchisiga ega halqa deyiladi. Z, mZ , Q, R halqalar nolning 

bo`luvchilariga egaemas. C (

      ) halqada f(t)=|t|+t va g(t)= |t|-t funksiyalar 

nolning bo`luvchilaridir. M

n

(Z), M

n

(Q)  va  M

n

(R) halqalar ham nolning 

bo`luvchilariga ega. Masalan,  

(   

   

) (  

  

  

 

)   (   

   

)  

 

---

         Barcha butun sonlar to`plami kommutativ halqa bo`ladi, chunki bu to`plam 

qo`shish amaliga ko`ra abel gruppasidan iborat bo`lib, unda ko`paytirish amali yopiq 

va butun sonlarni ko`paytirish assotsiativlik hamda bu amal qo`shishga nisbatan 

distirbutivdir. 

 

Barcha juft sonlar to`plami halqa bo`ladi. 

 

Barcha toq sonlar to`plami halqa bo`lmaydi, chunki ikkita toq son yig`indisi bu 

to`plamga tegishli emas. 

 

Kompleks sonlar to`plami kommutativ halqa bo`ladi, chunki bu to`plamda ham 

halqaning barcha aksiomalari o`rinli bo`ladi. 

Bu halqalarni odatda sonli halqalar deb ataymiz. Sonli halqalarning birortasi ham 

nolning bo`luvchilariga ega emas. 

 

 

---