O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi jizzax davlat pedagogika instituti sirtqi (maxsus sirtqi) bo’lim

I BOB: Darbuning yuqori va quyi integrallari

1. 
   Darbuning yuqori va quyi yig'indilari
   

Integralning yana boshqacha aniqlash usulini fransuz matematigi J.G.Darbu taklif qilgan. Darbu ta'rifning ustunligi shundan iboratki, u bo'yicha integrallanish kriteriysi nisbatan yaqqolroq ifodalanib, osonroq tekshiriladi. Bu usulning asl mohiyati integrallanishga tekshirilayotgan f funksiyani ikkita pog'onasimon funksiyalar bilan ikki tarafdan yaqinlashtirishdadir; ulardan biri f dan kichik bo'lib yaqinlashsa, ikkinchisi esa f dan katta bo'lib unga yaqinlashadi. Faraz qilaylik, f funksiya biror [a, b] kesmada aniqlangan bo'lib, shu kesmada chegaralangan bo'lsin.
Bundan tashqari, P = {a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b} berilgan kesmaning ixtiyoriy bo'linishi bo'lsin. Endi h(x) pog'onasimon funktsiyani shunday aniqlaymizki, u har bir [xk−1, xk) qismiy yarim intervalda biror µk qiymatni qabul qilsin (agar k = n bo'lsa, biz h(x) funksiya oxirgi qismiy [xn−1, xn] = [xn−1, b] kesmada (ya'ni yarim intervalda emas) o'zgarmasga teng deb olamiz). Bunday aniqlangan h(x) funksiya,
Misolda ko'rganimizdek, Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'ladi va undan olingan integral formula bo'yicha hisoblanadi.
Faraz qilamiz, h(x) pog'onasimon funksiya shunday aniqlangan bo'lsinki, u uchun h(x) ≤ f(x), a ≤ x ≤ b tengsizlik bajarilsin. Bu bahoni ta'minlash uchun h(x) funksiyaning µk = mk qiymatlarini quyidagicha aniqlash kifoya: mk = inf { f(t) : t ∈ [xk−1, xk] }. Hosil bo'lgan funksiyani h(x, P) simvoli bilan belgilaymiz.
Demak, agar ∆k = [xk−1, xk) desak (k = n bo'lganda, odatdagigek, ∆n = [xn−1, xn] deb hisoblaymiz), biz quyidagi ta'rifga ega bo'lamiz: agar x ∈ ∆k bo'lsa, h(x, P) = mk, k = 1, 2, ..., n. (6.3.3) Pog'onasimon h(x, P) funksiyani P bo'linishga mos keluvchi Darbuning quyi pog'onasimon funksiyasi deb ataymiz Shunday qilib, Darbuning quyi pog'onasimon funktsiyasi tengsizlikni qanoatlantirib, undan olingan integral, ga ko'ra,

ga teng. (1)

t englikning o'ng tarafidagi yig'indi P bo'linishga mos keluvchi Darbuning quyi yig'indisi deyiladi va odatda quyidagicha belgilanadi:

(2)
X uddi shu singari, berilgan P bo'linish uchun Darbunin yuqori pog'onasimon funksiyasi H(x) = H(x, P) ni shunday aniqlaymizki, u har bir ∆k = [xk−1, xk) qismiy yarim intervalda o'zgarmas bo'lib, quyidagi tenglik bilan aniqlangan:

qiymatlarni qabul qilsin.
Shunday qilib, H(x, P) = Mk , x ∈ ∆k, k = 1, 2, ..., n
Y uqori pog'onasimon funksiya integrali

(3)
tenglikning o'ng tarafidagi yig'indi P bo'linishga mos kelgan Darbuning yuqori yig'indisi deyiladi va odatda quyidagicha belgilanadi:

(4)

Darbuning har qanday bo'linishga mos kelgan yuqori pog'onasimon funksiyasi quyidagi tengsizlikni qanoatlantirishi ravshan: