O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi jizzax davlat pedagogika instituti sirtqi (maxsus sirtqi) bo’lim

H(x, P) ≥ f(x), a ≤ x ≤ b.
Shuni aytish kerakki, shartimizga ko'ra o'rganilayotgan funksiya chegaralangan bo'lgani uchun, va kattaliklar va buning natijasida, Darbuning quyi va yuqori yig'indilari chegaralangan aniq sonlardir.


1.2.Darbuning yuqori va quyi integrallari.
Darbuning quyi va yuqori yig'indilari xossalarini navbattagi bir qator sodda jumlalarda keltiramiz. Bu jumlalarda f funksiyani [a, b] kesmada aniqlangan va chegaralangan ixtiyoriy funksiya deb qaraymiz. 1 - Jumla. Berilgan [a, b] kesmaning istalgan ikki P1 va P2 bo'linishlari uchun h(x, P1) quyi pog'onasimon funksiya H(x, P2) yuqori pog'onasimon funksiyadan katta emas, ya'ni h(x, P1) ≤ H(x, P2), a ≤ x ≤ b. Isbot va tengsizliklardan kelib chiqadi.
1 - Jumla¹. Darbuning istalgan quyi pog'onasimon funksiyasidan olingan integral Darbuning har qanday yuqori pog'onasimon funksiyasidan olingan integraldan katta emas, ya'ni

(5)
Isbot 2 - Jumla va Teoremalardan kelib chiqadi.

3 - Jumla. Darbuning istalgan quyi yig'indisi Darbuning har qanday yuqori yig'indisidan katta emas, ya'ni s(f, P1) ≤ S(f, P2).
Isbot Darbuning quyi va yuqori yig'indilari ta'rifi hamda 2 - Jumladan kelib chiqadi.
4 - Jumla. Darbuning barcha quyi yig'indilari to'plami yuqoridan chegaralangan bo'lib, Darbuning barcha yuqori yig'indilari to'plami quyidan chegaralangan bo'ladi. Isbot 3 - Jumladan kelib chiqadi.
Ta'rif. Berilgan f funksiyadan [a, b] kesma bo'yicha olingan Darbuning quyi integrali I(f) deb [a, b] kesmaning barcha bo'linishlari bo'yicha olingan Darbu quyi yig'indilarining aniq yuqori chegarasiga aytamiz, ya'ni
I(f) = sup P s(f, P).
Ta'rif. Berilgan f funksiyadan [a, b] kesma bo'yicha olingan Darbuning yuqori integrali I(f) deb [a, b] kesmaning barcha bo'linishlari bo'yicha olingan Darbu yuqori yig'indilarining aniq quyi chegarasiga aytamiz, ya'ni I(f) = inf P S(f, P). Ravshanki, Darbuning bunday aniqlangan quyi va yuqori integrallarining mavjudligini4 - Jumla ta'minlaydi.
5 - Jumla. Darbuning quyi integrali Darbuning yuqori integralidan katta emas, ya'ni I(f) ≤ I(f). (6.3.15) Isbot 3 - Jumladan kelib chiqadi. Ta'rif. Agar f funksiya uchun Darbuning quyi integrali Darbuning yuqori integraliga teng bo'lsa: I(f) = I(f), u holda bu funksiya [a, b] kesmada Darbu ma'nosida integrallanadi deymiz, bunda Darbuning quyi va yuqori integrallarining umumiy qiymati ID = I = I ni f funksiyaning Darbu ma'nosida [a, b] kesma bo'yicha integrali deymiz. Endi P bo'linishga yangi nuqtalarni qo'shganda Darbuning quyi va yuqori yig'indilari qanday o'zgarishini kuzatamiz.
6 - Jumla. Agar P berilgan [a, b] kesmaning ixtiyoriy bo'linishi bo'lib, P ∗ esa P ga bir nechta nuqtalarni qo'shishdan hosil bo'lgan yangi bo'linish bo'lsa, Darbuning quyi va yuqori yig'indilari quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiradi: s(f, P) ≤ s(f, P∗ ), S(f, P∗ ) ≤ S(f, P). (6.3.17) Shunday qilib, bo'linishga yangi nuqtalarni qo'shganda Darbuning quyi yig'indilari o'sib, Darbuning yuqori yig'indilari esa kamayar ekan.
Isbot. Shubhasiz, bu jumlani P bo'linishga faqat bitta nuqta qo'shilgan holda isbotlash yetarlidir. dagi tengsiliklardan o'ngdagisini isbotlaymiz. Aytaylik, boshlang'ich bo'linish P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} ko'rinishga ega bo'lib, yangi P ∗ bo'linish (xm−1, xm) intervalda yotgan bitta x ∗ nuqtani, ya'ni
x m−1 < x∗ < xm, qo'shishdan hosil bo'lsin.

A ytaylik, N = N(ε) son Pε bo'linish nuqtalari soni bo'lsin. U holda

d eymiz, bu yerda M orqali f funksiyaning [a, b] kesmadagi aniq yuqori chegarasi va m orqali esa bu funksiyaning aniq quyi chegarasi belgilangan (biz f o'zgarmasga aynan teng emas deb hisoblashimiz mumkin, shuning uchun, M − m > 0). Endi P diametri d(P) < δ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy bo'linish bo'lsin. Modomiki, I yuqori yig'indi {S(f, P)} lardan [a, b] kesmaning barcha P bo'linishlari bo'yicha olingan aniq quyi chegara ekan, biz tanlagan bo'linish uchun da chapdagi tengsizlik bajariladi. Shuning uchun, bu bo'linish uchun dagi tengsizlikning o'ng qismini isbotlash yetarli. Tanlab olgan P bo'linishimizga Pε bo'linishning barcha nuqtalarini qo'shishdan hosil bo'lgan bo'linishni P ∗ simvol orqali belgilaymiz. U holda, 8 - Jumlani qo'llab, tanlashga ko'ra,

t engsizlikni olamiz. Agar P ∗ bo'linshni Pε bo'linishga P bo'linishning barcha nuqtalarini qo'shish bilan hosil bo'lgan deb qarasak, 6 – Jumla¹ ga ko'ra,

N ihoyat, agar tengsizlikda avval , so'ngra baholardan foydalansak,

______________________________________________________________________________
6 – Jumla¹: Claudio Canute, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I, SpringerVerlag Italia, Milan 2008.