O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi jizzax davlat pedagogika instituti sirtqi (maxsus sirtqi) bo’lim

II BOB Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni
2.1. Darbu yig’indilarini xossalari.
F araz qilaylik, F  P to’plam a,b oraliqning barcha bo’laklashlaridan iborat to’plam bo’lsin. Agar P1  F bo’laklashning har bir bo’luvchi nuqtasi P2  F bo’laklashning ham bo’luvchi nuqtasi bo’lsa, P2 bo’laklash P1 ni ergashtiradi deyiladi va P1  P2 kabi belgilanadi. Aytaylik, f (x) funksiya a,b oraliqda chegaralangan bo’lib, P1  F va P2  F bo’laklashlari uchun Darbu yig’indilari

B u hossalardan birining masalan 2)— ning isbotini keltiramiz. ◄ Aytaylik, P1 va P2 lar a,b oraliqning ixtiyoriy bo’laklashlari bo’lsin. Bu bo’laklashlarning barcha bo’luvchi nuqtalari yordamida a,b ning yangi P bo’laklashini hosil qilamiz. Ravshanki, P1 P, P2 P bo’ladi. P bo’laklash uchun tuzilgan Darbu yig’indilari s(P) va S(P) lar uchun 1)—xossaga ko’ra

bo’lishi kelib chiqadi.
► Bu hossa a,b oraliqni bo’laklashlari uchun tuzilgan quyi yig’indilar to’plami s(P) ning har bir elementi yuqori yig’ndilar to’plami S(P) ning istalgan elementidan katta emasligini bildiradi
f fx) funksiya [a;b] da aniqlangan va chegaralangan boMsin. [a;b] ning biror xn boiinishini olib, quyidagi belgilashlami kiritamiz:
.

Bunda yig‘ indilar mos ravishda Darbuning quyi va yuqori yig indilari deb ataladi. Funksiyaning chegaralanganligidan mk v aMk ning mos kesmada mavjudligi ravshandir. Umuman aytganda, yig‘indilar integral yig‘indi bo‘ lmaydi, chunki mk va Mk funksiyaning qiymatlari bo’masligi mumkin (agar ffx) uzluksiz funksiya bo"Isa, (2) yigMndilarffx) funksiyaning integral yigMndilari bo‘ladi)

2.2. . Aniq integralning mavjudligi
Aytaylik, f (x) funksiya a,b oraliqda chegaralangan bo’lsin . 1–teorema . f (x) funksiya a,b oraliqda integrallanuvchi bo’lishi uchun   0 olinganda ham shunday   0 son topilib, a,b oraliqni diametri  P   bo’lgan har qanday P bo’laklashi uchun Darbu yig’ndilari S(P)  s(P)   tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. f (x) funksiya a,b oraliqda chegaralangan bo’lsin. Ta’rifga ko’ra J  J  J bo’ladi, bunda J sups(P), J  infS(P).   0 olinganda ham shunday   0 son topiladiki, a,b oraliqning diametri  P   bo’lgan har qanday P bo’laklashida Darbu yig’indilari uchun

tengsizliklar o’rinli bo’lib, undan

S(P)  s(P)   tengsizlik kelib chiqadi. Yetarliligi.   0 olinganda ham shunday   0 son topilib , a,b oraliqning diametri  P   bo’lgan har qanday P bo’laklashida Darbu yig’ndilari uchun S(P)  s(P)   tengsizlik o’rinli bo’lsin. f (x) funksiya a,b oraliqda chegaralanganligi uchun uning quyi hamda yuqori integrallari J sups(P), J  infS(P) mavjud va 0 1 —dagi 3)—xossaga ko’ra J  J tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Ravshanki, s(P)  J  J  S(P) . Bu munosabatdan 0  J  J  S(P)  s(P) bo’lishini topamiz. Demak,   0 son uchun 0  J  J   bo’lib, undan J  J bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f (x) funksiyaning a,b oraliqda integrallanuvchi ekanligini bildiradi.

.[a;b] kesmada aniqlangan va chegaralangan f(x) funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo'lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Isbot. 0 YetarlUigi. (1) shart bajarilgan bo'lsin. A-»0 da quyi yig'indilar {Sn} ketma-ketligi limitga ega bo'ladi, chunki A-»0 da bo'linish nuqtalarining soni ortadi, natijada {£*} uchun Darbu yig'indilarining 10.5-xossasiga ko'ra

o'rinli bo'ladi. Shu bilan birga 10.6-xossaga ko'ra Sn0 da yuqorida yig'indilar ketma-ketligi { S n} ham limitga ega bo'ladi./fo) funksiyaning chegaralanganligi va (1) shartdan

k elib chiqadi va bunda/-chekli sondir. U holda S ( r J < S ( r J < S ( r J tengsizlikka ko'ra oraliqdagi o'zgaruvchi S(Tlt) ham o'sha limitga ega bo'ladi. Demak, chekli lim S ir ) = / limit mavjud ekan.

f(x) funksiya [a;b] da aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. [a;b] ning biror _n bo‘linishini olib, quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

m_k = f(x), M_k = f(x) (1)

S(_n)=m_kx_k , (_n)= M_kx_k (2)
Bunda (2) yig‘indilar mos ravishda Darbuning quyi va yuqori yig‘indilari deb ataladi. Funksiyaning chegaralanganligidan m_k va M_k ning mos kesmada mavjudligi ravshandir. Umuman aytganda, (2) yig‘indilar integral yig‘indi bo‘lmaydi, chunki m_k va M_k funksiyaning qiymatlari bo‘lmasligi mumkin (agar f(x) uzluksiz funksiya bo‘lsa, (2) yig‘indilar f(x) funksiyaning integral yig‘indilari bo‘ladi).
Darbu yig‘indilarining uchta asosiy xossasi mavjud.
(I) Har qanday _n bo‘linish uchun


S(_n) S(_n) (_n)
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.


Isboti. Ixtiyoriy [x_k-1,x_k] uchun m_k f()M_k ,

S=    =.
Shuni ta’kidlash lozimki, berilgan _n bo‘linish uchun Darbuning quyi va yuqori yig‘indilari yagona bo‘ladi, lekin integral yig‘indi, har bir qism kesmadan nuqtalarni tanlash evaziga cheksiz ko‘p bo‘ladi.


(II) [a;b] ning bo‘linish nuqtalari sonini oshirish natijasida quyi yig‘indilar kamaymaydi, yuqori yig‘indilar esa o‘smaydi. 


Isboti. [a;b] ning _n bo‘linishi uchun quyi yig‘indi S₁ bo‘lsin. Endi bo‘linish nuqtalarni ortiramiz. Masalan, [x_k-1,x_k] ni nuqta yordamida ikkiga bo‘lamiz. Hosil bo‘ladigan yangi quyi yig‘indini S₂ deb belgilaymiz.

S₁= +m_k x_k+,

S₂= +m_k’(-x_k-1)+m_k”(x_k-)+  ,
bunda m_k’=f(x), m_k”=f(x).
Ma’lumki, to‘plamning aniq quyi chegarasi qism to‘plamining aniq quyi chegarasidan katta emas. Buni e’tiborga olsak, m_k’  m_k , m_k”  m_k va


m_k’(-x_k-1)+m_k”(x_k-)  m_k(-x_k-1)+m_k(x_k-)=m_k(x_k-x_k-1)=m_kx_k
munosabat o‘rinli.
Demak, S₂  S₁ bo‘ladi.
Yuqori yig‘indiga bog‘liq bo‘lgan hol shunga o‘xshash isbotlanadi.
(III) [a;b] ning har qanday bo‘linishidagi quyi yig‘indi har qanday boshqa bo‘linishdagi yuqori yig‘indidan katta emas.

Isboti. bo‘linishdagi yig‘indilar S₁ va bo‘lsin, bo‘linishdagi yig‘indilarni S₂ va deb belgilaylik. Endi, va lardagi bo‘linish nuqtalarni birgalikda olib, yangi bo‘linishni va unga mos S₃ va larni hosil qilamiz.
(II) ga ko‘ra
S₁  S₃ va ,
(I) ga ko‘ra S₃ . Shuning uchun


S₁  S₃ yoki S₁ .
Demak, quyi yig‘indilar to‘plami yuqoridan, yuqori yig‘indilar to‘plami esa quyidan chegaralangan bo‘ladi.