O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Nishonova elektronikaning fizik asoslari o‘quv qo

16-rasm. Erkin elektronlar uchun holatlar zichligining energiyaga bog’liqligi.
Elektronning energiyasi bo‘lgan holatda bo‘lish ehtimolini bilan belgilaylik.(Ehtimollar nazariyasiga asosan bo‘ladi). U holda, ener­giyasi intervalda yotgan birlik hajmdagi elektronlar soni:
(2.17)
ga teng bo‘ladi. Bundagi Fermi — Dirak taqsimoti funksiyasidir. Shu funksiyaning ana­litik ifodasini topaylik.
Fermi — Dirak taqsimoti
Har bir energetik satxda g_t energetik holat bo‘lsin. Bulardan tasi elektronlar bilan band qilingan bo‘lsa, u holda energiyasi bo‘lgan holatda elektronning bo‘lish ehtimolini beradi. Agar sistemadagi energetik satxlar soni t ga teng bo‘lsa, sistemaning to‘liq energiyasi quyidagiga teng bo‘ladi:
(2. 18)
Sistemadagi to‘liq elektronlar soni esa:
(2.19)
I- energetik satxda n_i ta elektronning bo‘lish ehtimolini bilan belgilaylik: o‘z navbatida o‘ringa ta elektronni nechta usul bilan joylashtirishga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni:

hamma energetik satxlar bo‘yicha elektronlarnnng taqsimlanish ehtimoli:
(2.20)
ga teng bo‘ladi.
Sistemaning erkin energiyasi:
F=E-TS (2.21)
muvozanat holatda minimum bo‘lish shartidan foydalanaylik. Ma’lumki, Bolsman formulasi ;
yoki,
(2.22)
Bunda, Bolsman doimiysi. (2.18) va (2.22) ni
(2.21) ga qo‘ysak:
(2.23)
Sterling formulasi:

dan foydalansak,
(2.24)
Bu ifodani orqli o‘zgaruvchi deb ko‘rib, differensiallasak,
(2.25)
ga ega bo‘lamiz. Endi, (2.19) ni differensiallab ixtiyoriy songa ko‘paytiramiz, so‘ngra uni (2.25) ga qo‘shib nolga tenglaymiz, ya’ni:
(2.26)
Bundan ko‘rinadiki, Fermi energiyasi qattiq jismlardagi erkin elektronlarning konsentratsiyasiga bog‘liq bo‘lar ekan.
Yarim o‘tkazgichlarda elektronlar va teshiklar konsentratsiyasi dan kam bo‘lsa, Maksvell Bolsman taqsimot funksiyasiga bo‘ysunadi. Bunda, elektronlar aynimagan holatda bo‘lib, ularning konsentratsiyasi haroratga kuchli bog‘langan bo‘ladi. Elektronlarning o‘rtacha energiyasi harorat ortishi bilan ortib boradi.
Yarim o‘tkazgichlardagi elektronlarning konsentratsiyasi dan ortib ketsa, Fermi — Dirak taqsimotini qullash zarur. Qattiq jismlardagi elektronlar aynigan holatda bo‘lsa, ularning konsentratsisi haroratga juda, bo‘sh bog‘langan bo‘lib, harorat ta’sirini hisobga olmasa ham bo‘ladi. Haqiqatan ham, metallarda elektronlar konsentratsiyasi haroratga bog‘liq emas. Yuqori chegirlangan yarim o‘tkazgichlarda ham shu hodisa kuzatiladi.