O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Nishonova elektronikaning fizik asoslari o‘quv qo

14-rasm. Maksvell-Bolsman statistikasiga asosan elektronlarning energiya bo‘yicha taqsimlanishi.

15-rasm. Maksvell-Bolsman taqsimot funksiyasining grafigi.
Kvant mexanikasi shuni ko‘rsatadiki, metallardagi elektr tokida ishtirok etuvchi elektronlar Maksvell — Bolsman taqsimot funksiyasiga bo‘ysunmas ekan. Ko‘p sonli tajribalardan yarim utkazgichlardagi zaryad tashuvchilar — elektronlar va teshiklarning konsentratsiyasi dan ortib ketmasa, ularga Maksvell—Bolsman taqsimotini qo‘llash mumkin ekanligi ma’lum bo‘ldi. Biz keyingi paragraflardan birida metallarda elektronlarning taqsimot funksiyasini kurib chiqamiz. Bu Fermi — Dirak taqsimoti bo‘lib. Maksvell — Bolsman taqsimoti uning xususiy holidir.
Paul prinsipi va holatlar soni
Tajribalar metallardagi elektronlarning Maks­vell Bolsman taqsimotiga bo‘ysunmasligini ko‘rsatadi. Chunki, bu tajribalarda olingan natijalarni klassik fizika asosida tushuntirish mumkin emas edi. Metallardagi elektronlar gaz molekulalari qonunlariga bo‘ysunmay, balki kvant mexanikasi qonunlari orqali xarakterlanishi ma’lum bo‘ldi. Kvant mexanikasiga asosan elektronlar kristallarda ixtiyoriy ener­getik holatlarda bo‘la olmay, ular faqat diskret ener­getik holatlarni qabul qila oladi. Biroq har bir energetik holatda ixtiyoriy miqdorda elektronlar tura olmaydi. Bunda, ular Paul prinsipiga rioya qiladilar. Bu prinsipga asosan har bir energetik holatda faqat bittagina elektron bo‘lib, to‘rttala kvant soni bir xil bo‘lgan ikkita va undan ortiq elektronlarning bo‘lish mumkin emas.Elektronlar o‘z o‘qi atrofida aylanma harakat qilish natijasida harakat miqdori momentiga ega bo‘ladi. Kvant mexanikasida bu kattalikni spin deb yuritilib, u elektron uchun to‘rtinchi kvant soni hisoblanadi. Elektron spinini hisobga olsak, Paul prinsipini quyidagicha ham ta’riflash mumkin har bir energetik holatda unga kvant soni bir xil, lekin spinlari har xil bo‘lgan ikkita elektron turishi mumkin.Elektronning spini faqat ga teng bo‘ladi. Demak, har bir energetik holatga qarama-qarshi tomonga qarab aylanma harakat qiluvchi ikkitagina elektron tura olar ekan. Shu sababli, haroratda eng past energetik holatga ikkita elektron joylashib, qolgan elektronlar esa yuqori energetik holatlarda turishga majburdir. Bu prinsip, klassik fizika prinsiplaridan tubdan farq qiladi:
(2.10)
Agar, bizga holatlar soni va shu holatlarda elekt­ronlarning bo‘lish ehtimoli ma’lum bo‘lsa, u holda elektronlar konsentratsiyasini aniqlashimiz mumkin. Biz endi holatlar soni ni aniqlaylik. Statistik mexanikada umumlashgan koordinatalar va umumlashgan impulslar orqali fikran (hayoliy) aniqlanuvchi: 6 N o‘lchovli sohani fazoviy soha deb yuritiladi. Holatlar soni ni fazoviy soha hajmi tushunchasidan foydalanib aniqlasak bo‘ladi, bunda lar elektron impulsining o‘qlaridagi differrensiallari. (2.10) dan:
(2.11)
Agar, (2.11) ni fazoviy sohadagi bitta holatning minimal zajmi Plank doimiysi) bo‘lsak, holatlar sonini topamiz, ya’ni:
(2.12)
Elektronlarning spinini ham hisobga olsak, birlik hajmdagi holatlar soni uchun quyidagi ifodani olamiz:
(2.13)
Kristallarda elektron murakkab sharoitda tashqi va panjaraning davriy potensial maydonlari ta’sirida harakat qiladi. Shu tufayli, elektronni kris­tallda t* effektiv massaga ega bo‘lgan „erkin" elek­tron kabi harakat qiladi deb qarash mumkin. Shuning uchun, uning kristalldagi energiyasini:
(2.14)
ko‘rinishda yozsak bo‘ladi. Demak, birlik hajmdagi holatlar soni yoki holatlar zichligi:
(2.15)


formula orqali ifodalanadi (16-rasm). Intervaldagi holatlar soni esa:
(2.16)
ga teng bo‘ladi.