O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Nishonova elektronikaning fizik asoslari o‘quv qo

2.11. Eynshteyn tenglamasi. Zaryad tashuvchilarning diffuzion harakat yo‘li uzunligi

Agar yarim o‘tkazgichlarda diffuzion tok bilan dreyf toki miqdor jihatidan teng va qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, yarim o‘tkazgichlardagi elektr toki nolga teng bo‘lib, muvozanat holati yuz beradi, ya’ni:
(2.50)
bo‘ladi. Shuning uchun (2.50)
(2.51)
ni quyidagicha yozish mumkin: bundan,
(2.52)
(2.53)
Elektronlar konsentratsiyasi aynigan holatda bo‘lmagani uchun ularga Maksvell — Bolsman taqsimotini qo‘llash mumkin, ya’ni (2.52) va (2.53) lardan:
(2.54)
ni olamiz. Bu formula birinchi marta Eynshteyn tomonidan olinganligi uchun uning nomi bilan yuritiladi. Bu formula ko‘proq Eynshteynmunosabati deb ataladi.
Yuqorida ko‘rsatilgan yo‘l bilan teshiklar uchun ham quyidagi formulani olamiz:
(2.55)
Agar yarim o‘tkazgichda aralashma konsentratsiyasi fazoviy koordinatalarning funksiyasi bo‘lsa, elektron va teshiklarning zichligi: ning funksiyasi bo‘ladi. Shuning uchun, bunday yarim o‘tkazgichlarda zaryad tashuvchilar konsentratsiya gradienti mavjud bo‘lib, yarim o‘tkazgichda diffuziya oqimi vujudga keladi (18-rasm).

18-rasm. Bir jinsli bo‘lmagan yarim o‘tkazgichlarda diffuzion va dreyf oqimining hosil bo‘lishi.
Bunday holni, yarim o‘tkazgichlarda kontakt orqali zaryad tashuvchilar in’eksiyalanganda, yoki boshqa energetik ta’sir orqali yarim o‘tkazgichning bir qismida zaryad tashuvchilar generatsiyalanganda ham kuzatiladi. Termodinamik muvozanat yuz bergunga qadar zaryad tashuvchilar zichligi katta bo‘lgan joydan zichli­gi kichik bo‘lgan tomonga oqadi. Hosil bo‘lgan dif­fuzion oqim zichligi, ya’ni bir sekundda birlik yuzdan o‘tayotgan elektron va teshiklar soni, elektron va teshiklar konsentratsiyasi gradientiga to‘g‘ri proporsional bo‘ladi. Xususiy holda x o‘qi bo‘yicha bu oqimning tashkil etuvchisi, elektronlar uchun:
(2.56)
Teshiklar uchun:
(2.57)
Bo‘ladi. Bunda, lar tegishlicha elektron va teshiklarning diffuzion koeffitsienti (2.56) va (2.57) lardagi (—) ishora diffuzion oqim yo‘nalishi zaryad tashuvchilarining konsentratsiyasi gradienti yo‘nalishiga qarama-qarshi ekanligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, (2.56) va (2.57) larda o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan diffuzion tok zichligi uchun quyidagi ifodalarni olamiz:
elektron toki zichligi uchun,
(2.58)
Teshik tok zichligi uchun:
(2.59)
Bu ifodalarni uch o‘lchovli fazoda diffuzion tokning konsentratsiya gradientiga bog‘liqligi, vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
(2.60)
(2.61)
Muvozanat vaqtida elektronlar va teshiklarning to‘liq oqimi nolga teng bo‘ladi, binobarin, elektron va teshik toki nolga teng bo‘ladi, chunki, elektronlar va teshiklarning diffuziyalanishi natijasida bir jinsli bo‘lmagan yarim o‘tkazgichlarda elektrostatik maydon hosil bo‘ladi. Elektrostatik maydon ta’sirida hosil bo‘lgan zaryad tashuvchilar oqimi bilan diffuzion oqim qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lganligi uchun, muvo­zanat vaqtida bu oqimlar miqdor jihatidan bir-birlariga tengdir.
To‘liq elektron va teshik toki zichligini topish uchun diffuzion tok bilan dreyf toklari yig‘indisini olishimiz kerak. Natijada yuqoridagilarga asosan to‘liq elektron toki uchun to‘liq teshik toki uchun:
(2.62)

(2.63)
formulalar orqali ifodalanadi.Muvozanat holatda to‘liq elektron toki va teshik toki nolga teng bo‘ladi, ya’ni:


Yuqorida aytilganlardan ko‘rinadiki, yarim o‘tkazgichlarda ikkala tok elektron yoki teshik toki, ikki xil tokning yig‘indisidan iborat bo‘lib, biri maydon potensialining gradientiga proporsional bo‘lsa, ikkinchisi esa zaryad tashuvchilar zichligining gradientiga proporsional bo‘lar ekan. Har xil sabablarga ko‘ra, yarim o‘tkazgichlarda bu toklardan biri katta bo‘lib, uning oldida ikkinchisini hisobga olmasa ham bo‘ladi, lekin ba’zi hollarda albatta ikkala qismini, ya’ni ham dreyf, ham diffuzion tashkil etuvchisini hisobga olish zarurdir.
Shuni ham aytib o‘tish kerakki, (2.62) va (2.63) for­mulalar uncha katta bo‘lmagan maydonlardagina kuchga egadir. Agar biz elektronlarning erkin yugurish yo‘lini deb belgilasak, u holda elektronning shu oraliqda olgan energiyasi bo‘ladi. (2.62) va (2.63) formulalar kuchga ega bo‘lishi uchun elektronning maydonda olgan energiyasi o‘rtacha issiklik energiyasi kT dan kichik bo‘lishi kerak, ya’ni:
(2.64)
Aks holda elektronlarning harakatchanligi ham Ye ga bog‘liq bo‘lib qoladi, ya’ni Om qonuni buziladi. (2.62) va (2.63) tenglamalar yarim o‘tkazgichlardagi zaryad tashuvchilar Maksvell — Bolsman taqsimotiga bo‘ysungan hol uchungina to‘g‘ri, aks holda, ya’ni Fermi — Dirak taqsimoti kuchga ega bo‘lgan hollar uchun bu tenglamalar kuchga ega emasdir.