O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika- matematika fakulteti

Misol 1. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasini yozib, uni elementar almashtirishlar yordamida o’zgartiramiz.
 

0=6 tenglamaga ega bo’lgan sistemaga keldik, demak, berilgan sistema yechimga ega emas.

Misol 2. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:

Sistemaning kengaytirilgan matritsasi uchun elemantar almashtirishlarni qo’llab,

 
sistemaning matritsasini uchburchak shaklga keltiramiz. Demak, bu
sistema yagona yechimga ega va quyidagi tenglamalar sistemasiga
teng kuchli bo‘ladi:

Bu sistemada pastdan yuqoriga qarab harakat qilib,
=-1


yagona yechimni topamiz.
Misol 3. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:

 

Sistemaning matritsasi zinapoyasimon shaklga kelganligi uchun
birgalikda va cheksiz ko‘p yechimga ega. va noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar uchburchak shaklni berganligi uchun ,
noma’lumlarini o‘ng tomonga o‘tkazib, ozod o‘zgaruvchilar sifatida qabul qilamiz.

Bu yerdan hosil bo’ladi. Bu ifodani yuqoridagi tenglamaga olib borib qo’ysak,

hosil bo’ladi. Shundayb qilib,
,
berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining umumiy ko’rinishi bo’ladi.
Bu formulada va larga ixtiyoriy qiymatlar berib, larni topish orqali xususiy yechimlarni hosil qilish mumkin. Masalan,
=1, = 1 qiymatlar bersak = 1, = 1 topilib, (1,1,1,1) xususiy yechimga ega bo’lamiz.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli ham tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan hol uchun o‘rinli bo‘ladi.

ko’rinishdagi tenglamalar sistemasini qaraymiz.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz :
A = , X = , B =
Natijada yuqoridagi tenglamalar sistemasi quyidagi matritsaviy tenglamaga teng kuchli bo’ladi
A X = B
Kramer usulidan ma’lumki agar det(A) 0 bo’lsa, sistema yagona yechimga ega. Bundan tashqari , det(A) 0 ekanligi A matritsaning teskarilanuvchi ekanligini bildiradi. Yuqoridagi matritsaviy tenglamaning ikkala tomonini chapdan ga ko’paytirsak,
A X = B  E X = B  X = B
Ekanligi kelib chiqadi.
Demak, tenglamalar sistemasining yechimi X = B ko’rinishga keladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ushbu usuli matritsa usuli deb ataladi.

Endi esa bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topish usulini beramiz. Dastlab, bir jinsli tenglamalar sistemasini qaraymiz.

Bir jinsli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Ma’lumki ushbu sistemaning matritsasi A va matritsaning ustunlari , , … , deb olsak, sistemani

Yoki
A B =0
Ko’rinishlarda ham yozish mumkin, bu yerda X - nomalumlardam iborat bo’lgan ustun vektor.
2.1 - tasdiq. Agar , , … , ustunlar bir jinsli chiziqli
tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lsa, u holda ularning ixtiyoriy
chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo‘ladi.