O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika- matematika fakulteti

2. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
Bizga bir hil tartibli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan
bo‘lsin:
(8)
va
(9)
2-ta’rif. Agar (8) sistemaning ixtiyoriy ikkita tenglamasini
o‘rinlari almashtirish natijasida (9) sistema hosil qilinsa, (9) sistemani (8) dan I tur elementar almashtirish natijasida hosil qilingan deyiladi.
3-ta’rif. Agar (8) sistemaning biror tenglamasini biror songa ko‘paytirib, boshqa biror tenglamasiga qo‘shish natijasida (9) sistema hosil qilinsa, (9) sistema (8) sistemadan II tur elementar almashtirish natijasida hosil qilingan deyiladi.
I tur va II tur elementar almashtirishlarni qisqacha elementar
almashtirish deb yuritiladi.
Xar bir chiziqli tenglamalar sistemasiga uning kengaytirilgan
matritsasini mos qo‘ysak, u holda chiziqli tenglamalar sistemasi ustidagi elementar almashtirishlarga uning kengaytirilgan matritsasi ustida mos elementar almashtirishlar bajarilgan deb qarash mumkin. Aksincha, kengaytirilgan matritsa ustidagi elementar almashtirishlarga (elementar almashtirishlar ta’rifini to‘g‘ridan-to‘g‘ri matritsalar uchun ham aytishimiz mumkin) tenglamalar sistemasi ustidagi elementar almashtirishlar mos keladi.
4-ta’rif. Agar (8) va (9) sistemalar bir vaqtning o‘zida
birgalikda bo‘lmasa, yoki bir vaqtda birgalikda bo‘lib, bir hil yechimlarga ega bo‘lsa, (8) va (9) sistemalar teng kuchli sistemalar deyiladi va
(8) (9) ko‘rinishda yoziladi.
5-teorema. Agar (9) sistemaga (8) sistemadan elementar almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan bo‘lsa, ular teng kuchlidir.
Isbot. I tur elementar almashtirishlar uchun teoremaning isboti
to‘g‘ridan to‘g‘ri ko‘rinib turibdi. Endi (8) sistemaga II tur elementar almashtirishlarni qo‘llaymiz, ya’ni (8) sistemaning birorbir i -tenglamasini λ ga ko‘paytirib, j -tenglamaga qo‘shsak, yangi sistemaning satrida qolganlari o‘zgarmagan holda

Tenglama hosil bo’ladi. Agar , , … , sonlari (8) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda

tenglamaning ham yechimi bo‘ladi va aksincha. Elementar almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan (9) tenglamalar sistemasining yechimi (8) tenglamalar sistemasining ham yechimi bo‘ladi.
Endi biz sistemani yechishning eng qulay va ko‘p qo‘llanadigan
usullaridan biri bo‘lgan, noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usulini ya’ni, Gauss usulini keltiramiz.
1) Faraz qilaylik, (8) sistemada bo‘lsin. U holda
sistemaning birinchi tenglamasini ,ga ko‘paytirib mos
ravishda boshqa tenglamalarga qo‘shsak, hosil bo‘lgan sistemaning
birinchi tenglamasidan boshqa tenglamalarida noma’lumi oldidagi
koeffitsientlari nolga aylanadi.
2) Agar bo‘lsa, ning koeffisientlari orasida noldan farqli bo‘lgan tenglamasini izlaymiz va I tur elementar almashtirish yordamida sistemaning birinchi tenglamasi bilan o‘rnini almashtirib, birinchi holatga kelamiz.
3) Agar oldidagi hamma koeffitsientlar nollardan iborat
bo‘lsa, biz birinchi yoki ikkinchi holatlarni noma’lum uchun qo‘llaymiz va hokazo, bu jarayonni davom ettirish natijasida biz (8) sistemaga teng kuchli bo‘lgan sistemaga kelamiz. Hosil bo‘lgan sistemaga qarab, quyidagi xulosalarni chiqazishimiz mumkin:
1. Agar sistemaning zinapoyali shaklida chap tomonida nol va o‘ng tomonida noldan farqli hadlar qatnashuvchi tenglamalar hosil bo‘lsa, bunday sistema birgalikda bo‘lmaydi.
2. Agar sistema uchburchaksimon

shaklga kelib 0, 0,…, 0 bo’lsa, sistema birgalikda bo’lib yechim quyidagi algoritm orqali topiladi.

Hosil bo‘lgan sistemaning oxirgi tenglamasidan = noma’lumni topib, topilgan noma’lumni bitta yuqoridagi tenglamaga qo‘yamiz. So‘ngra, noma’lumni topib, uni yuqoridagi tenglamaga qo‘yamiz. Bu jarayonni davom ettirish natijada barcha , , … ,
noma’lumlarni aniqlaymiz.
3. Sistema zinapoyali shaklga kelib, zinapoya uchlarida turuvchi
noma’lumlar soni r ta 1≤r≤min(m,n) bo‘lsin. U holda ularni
tenglamalarning chap tomonida qoldirib, qolgan n-r ta noma’lumni
tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkaziladi va ularni ozod o‘zgaruvchilar sifatida qabul qilinadi. Natijada tenglamalar sistemasi r ta noma’lumli uchburchak shaklidagi sistemaga keladi. Endi tenglamalarni o‘ng tomoniga o‘tgan n-r ta noma’lumga qiymatlar berib, qolgan r ta noma’lumni topamiz. Demak, bu holatda sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Ya’ni, bunday tenglamalar sistemasi birgalikda aniqmas sistema bo‘ladi.
Bundan tashqari, qaralayotgan sistemada tenglamalar soni
noma’lumlar sonidan kichik bo‘lsa, u holda sistemani uchburchak
shakliga keltirish mumkin emas, chunki Gauss metodi bo‘yicha
o‘zgartirish jarayonida tenglamalar soni kamayishi mumkin, ammo
ortishi mumkin emas. Demak, bunday holatda sistema zinapoyasimon
shaklga keltiriladi va u aniqmas sistema bo‘ladi.