O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti matematika va informatika fakulteti

2-teorema (Koshi teoremasi).
f_n x
funksional ketma-ketlik ^E to’plamda

limit funkstiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun
  0
son

olinganda ham shunday
n₀  n_{0 }  N
topilib,
n  n₀ ,
p  N
_va x  E _da

ya’ni
f_{n p} x f_n x   _,

  0
, n₀  n₀   N , n  n₀ ,
f_{n p} x f_n x  
p  N

(2)
_va  x  E _da

bo’lishi zarur va etarli.
Zarurligi. Aytaylik, ^E to’plamda
f_n x

funksional ketma-ketlik limit

funkstiya
^{f x} ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:


f_n x ^
Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra
f x .
x  E₀ 

  0,
n₀
 n₀
  N ,
k  n₀ ,
x  E :
f_k x 
f x  ^
2

bo’ladi. Xususan,

k  n,
n  n_{0 va}
k  n  p,
p  N _da

f_n x
f x  ^ ,
2
^fn p
x
f x  ^
2

tengsizliklar bajarilib, ulardan

f_{n p} x 
f_n x 
f_{n p} x 
f x   f_n x 

Ravshanki, tayin

x₀  E
_da f_n x₀ 

sonlar ketma-ketligi uchun (3) shartning

bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoremasiga ko’ra ^{fn x0 } yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli
lim f_n x₀ 

limit mavjud.

n
(4)

Modomiki, har bir
x  E
da (4) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval

ayganimizdek, ^E to’plamda aniqlangan
x  lim f_n x x  E
n

funkstiya hosil bo’ladi Uni
f x
bilan belgilaymiz. Bu funkstiya
f_n x

funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi bo’ladi:
f_n x f x x  E_.
Endi (3) tengsizlikda, ⁿ va ^x larni tayinlab ^{n  n0 , x  E}
o’tamiz. Natijada


^{p  }da limitga

hosil bo’ladi. Bu
f x
f_n x
 ^  
2


bo’lishini bildiradi.

6. 
   misol. Ushbu
   

f_n x^ f x x  E₀ 

f_n x 

funksional ketma-ketlik tekshirilsin.

E  0,1

to’plamda tekis yaqinlashuv-chilikka

Agar ixtiyoriy
k  N
uchun
n  k


, p  k  n
, x^*  ¹  ¹

deyilsa,
^fn p

x 

f x 
 ¹ 
^f_2n  _n 
 ¹ 


^f_n  _n 
k n

• 
  
  
  ln1 
  

  ₀

bo’ladi. Demak,

   

 _0
 ln 2
k  N ,n  k, p  N ,
x^  ¹  0,1:
n
^fn p
x^ 
f_n x^    ₀
.

Bu esa yuqoridagi teoremaning shartini bajarilmasligini ko’rsatadi. Demak,
berilgan funksional ketma-ketlik ^{E  0,1} da tekis yaqinlashuvchi emas.

Funksional qator

Biror X to`plamda (XcR) f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),…,f<sub>n</sub>(x),… (1) funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin.
Ta`rif. (1) ketma-ketlik hadlarida tashkil topgan (2) ifoda funksional qator deyiladi. Bunda, f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),… funksiyalar (2) qatorning hadlari f<sub>n</sub>(x) esa uning umumiy hadi deyiladi.
(2) funksional qator hadlari yordamida tuzulgan ushbu:
S<sub>1</sub>(x)=f<sub>1</sub>(x)
S<sub>2</sub>(x)=f<sub>1</sub>(x)+f<sub>2</sub>(x)
………………..
S<sub>n</sub>(x)=f<sub>1</sub>(x)+f<sub>2</sub>(x)+…+f<sub>n</sub>(x)
Yig`indilar ketma-ketligi funksional qatorning qismiy yig`indilar ketma-ketligi deyiladi.
Shuni takidlash lozimki, funksional qatorlarni o`rganish, funksional ketma-ketliklarni o`rganishga ekvivalent.
Ta`rif. Agar da {S_n(x)} funksional ketma-ketlik x₀ nuqtada (x₀єX) yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, (2) funksional qator x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi..
Misol. qatorning yaqinlashishini tekshiring va uning yig`indisini toping.
Yechish. Bu qator x ning hamma qiymatlarida yaqinlashuvchi. Haqiqatdan ham, x≠0 bo`lganda berilgan qator maxraji , 0
Agar x=0 bo`lsa, berilgan qatorning hamma hadlari nolga teng bo`lib yaqinlashuvchi va S(0)=0/ shunday qilib,

Bu misoldan ko`rinadiki qatorning hamma hadlari Rda uzluksiz, qator esa yaqinlashuvchi, lekin qatorning yig`indisi uslishga ega.
Biz bundan keyin qanday shartlar bajarilganda hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat yaqinlashuvchi funksional qatorning yig`indisi uzliksiz bo`ladi degan masala bilan shug`illanamiz.
(4) funksional qatorni qaraymiz. Bunda f<sub>n</sub>(n) funksiyalar X to`plamda berilgan bo`lib, x<sub>0</sub>єX bo`lsin.
Ta`rif. Agar (5) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi/
Ta`rif. Agar x=x<sub>0</sub> nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi.
Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4) qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi.
Misol. funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish sohasi topilsin.
Yechish. Ma`lumki qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo`lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1 bo`lganda uzoqlashuvchi.
Shuning uchun, agar ya`ni bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya`ni x=e^-1 nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi.
Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e^-1,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e^-1,e) entervaldan ibotar.

Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari

Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi.
Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {S<sub>n</sub>(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {S<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi.
Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Isboti [1], 105-bet.
Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz.
Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir f<sub>n</sub>(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Misol. funksional qator X=(- ) da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki bo`lib, sonli qator yaqinlashuvchi.