O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti matematika va informatika fakulteti

Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari:
1⁰. Agar (1) funksional qatorning har bir f_n(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi.
2<sup>0</sup>. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni
(6) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa (7) gat eng bo`ladi
3<sup>0</sup>. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosilalardan tuzilgan funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksional qator yig`indisi S(x) shu [a,b] segmentda S¹(x) hosilaga ega va S¹(x)= (8) bo`ladi.
Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar.

Aytaylik,
f_n x
funksional ketma-ketlik ^E to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib,

^{f x} funkstiya uning limit funkstiyasi bo’lsin:

0
Agar
f_n x  f x x  E_.

 ₀  0
, k  N
, n  k , x^  E :
f x^ 
f x^   

n
bo’lsa,
^{fn x} funksional ketma-ketlik ^E to’plamda
f x
funkstiyaga notekis

yaqinlashadi deyiladi.

6. 
   misol. Ushbu
   

1
f_n x  nsin
nx

funksional ketma-ketlik Ravshanki,
^{E  0,1} da tekis yaqinlashishiga tekshirilsin.

lim f

x  lim nsin ¹

 lim

sin
1


nx _ ¹

n ⁿ
n
_nx n
¹  x ^x
nx _.


f x  ¹

Demak, berilgan funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi ^x
bo’ladi.

x^  ¹
Aytaylik, ⁿ

bo’lsin. Unda

n

0
f x^  f x^   nsin1  n  1  sin1  

munosabat ixtiyoriy
n  N
da o’rinli bo’ladi.

Demak,
f_n x  nsin

1
nx

funksional ketma-ketlik limit funkstiya

f x  ^1
x ga

^{E  0,1} da tekis yaqinlashmaydi.
3⁰. Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning xossalari. Tekis yaqinlashuvchi funkstiyaonal ketma-ket.

1. 
   xossa. Agar
   

f_n x

funksional ketma-ketlikning har bir

^{fn x n  1,2,3,...} hadi ^E to’plamda uzluksiz bo’lib,


f_n x ^ f x x  E 

bo’lsa, limit funkstiya
f x
shu ^E to’plamda uzluksiz bo’ladi.

Demak, bu holda




lim
tx
lim f_n n
t 




 lim
n
lim f_n tx
t 

munosabat o’rinli bo’ladi.

2. 
   xossa. Agar
   

f_n x
funksional ketma-ketlikning har bir

f_n x n  1,2,3,... _hadi
^{E  a,b} da uzluksiz bo’lib,

bo’lsa,
f_n x^ f x


b
x a, b


b

lim _ f_n xdx  _ f xdx

bo’ladi.
Demak, bu holda

n _a

b
 
a



 ⁿ
 b 

 

munosabat o’rinli bo’ladi.
lim _ f_n n _a
x dx
lim f x dx
_a n

3. 
   xossa. Agar
   

^{fn x} funksional ketma-ketlikning har bir
f_n x n  1,2,3,...

hadi
^{E  a,b} da uzluksiz
'

   f x n  1,2,3,...
ⁿ hosilalarga ega bo’lib,

f ^x^  x x a,b

bo’lsa,

bo’ladi.
n 

 x  f ^' x

Shu kabi xossalarga keyinroq o’rganiladigan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar ham ega bo’ladi. Ayni paytda, ular bir mulohaza asosida isbotlanadi Mazkur xossalarning isbotini funksional qatorlarga nisbatan keltiramiz.

Darajali qatorlar.

Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir.
Ta`rif. Quyidagi a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (1) yoki a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>x+a<sub>2</sub>x<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+… (2) ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda a_K(K=0,1,2,…) o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.
Teorema (Abel teoramasi).
1) Agar (2) darajali qator noldan farqli biror x<sub>0</sub> qiymatda yaqinlashuvchi bo`lsa x ning tengsizlikni qanoatlanturuvchi har qanday qiymatlarida (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
2) Agar (2) qator x<sub>1</sub> qiymatda uzoqlashuvchi bo`lsa, x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida (2) qator uzoqlashuvchi bo`ladi
(Isboti [1], 110-111 betlar)
Teorema. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinatalar boshida bo`lgan intervaldan iboratdir.
Ta`rif. Darajali qatorning yaqinlashish intervali deb – Rdan R gacha bo`lgan shunday intervalda aytiladiki, bu interval ichida yotgan har qanday x nuqtada qator yaqinlashadi, shu bilan absolyut yaqinlashadi, uning tashqarisidagi x nuqtalarda esa qator uzoqlashadi (2-chizma). R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi.

2-chizma.

Ba`zi qatorlarning yaqinlashish intervali nuqtaga aylanishini (R=0), ba`zilarida esa 0x o`qni butunlay o`z ichiga olishini (R= ) aytib o`tamiz.
Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash usulini ko`rsatamiz.

1. 
   darajali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni qaraymiz: (3)
   
2. 
   musbat hadli qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber alomatidan foydalanamiz. Faraz qilamiz
   

limit mavjud bo`lsin. U holda Damalber alomatiga asosan, agar , ya`ni bo`lsin, (3) qator yaqinlashuvchi va agar , ya`ni bo`lsin, uzoqlashuvchi bo`ladi.
Demak, (2) qator bo`lganda absolyut yaqinlashadi.
Agar bo`lsa, bo`ladi va (3) qator uzoqlashadi.
Yuqoridagiga asosan interval (2) darajali qatorning yaqinlashish intervali ekanligi chiqadi, ya`ni (4)
Yaqinlashish intervalini aniqlash uchun shunga o`xshash Koshining radikal alomatidan foydalanish mumkin, u vaqtda (5)
Misol. darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. (4) formuladan foydalanamiz, bunda ; . U holda , bunda yaqinlashish intervali -2X=1 da garmonik qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Shunday qilib, xє(-3;1) da qarot absolyut yaqinlashuvchi, x=-3 da qator shartli yaqinlashuvchi bo`ladi.

Xulosa

Funksional ketmaketlik (hamda qatorlarning tekis yaqinlashish) alomatlari yuqoridagi mavzular bo'yicha xulosa quyidagicha:
Funksional ketmaketlik: Funksional ketmaketlik, dasturlashning yuqori darajada qayta ishlanuvchan, ishtirokchi bo'lgan va qo'shimcha funksiyalar bilan bog'liq bo'lgan kodni yaratish imkonini beradi. Bu, dasturchi uchun kodni qayta ishlashni va ulardan foydalanishni osonlashtiradi. Bu alomatlar OOP (Object-Oriented Programming) asosida amalga oshiriladi.
Qatorlarning tekis yaqinlashishi: Qatorlarning tekis yaqinlashishi, ma'lum bir maydonni (sintaksisida belgilangan tartibda) bitta qator bilan biriktirish imkonini beradi. Bu alomatni o'zbek tilidagi "[]" belgisi orqali ifodalaymiz. Qatorlarda turli turlarda elementlar saqlanishi mumkin (masalan, sonlar, matnlar, ro'yxatlar).
Funksional ketmaketlik va qatorlarning tekis yaqinlashishi, dasturchilar uchun amalda juda foydali bo'lgan alomatlar hisoblanadi. Ular foydalanuvchiga keng ko'lamli, to'g'ridan-to'g'ri, qisqa va ma'qulroq kod yozish imkonini beradi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. S.X. Sirojiddinov, M.Maqsudov, M.S.Salohiddinov.
Kompeleks o`zgaruvchining funksiyalari nazaryasi-T,: O`qtuvchi, 1979
2. Sh. T. Maqsudov. Analitik funksiyalar nazaryasidan mashiqlar-T.: O`qtuvchi, 1978
3. I. I.Privalov. Vvedenie v teoriyu funksiy kompleksnogo peremennogo.-M.:
4. A.I. Markushevich. Kratkiy kurs teorii analiticheskix funksiy-M Fizmatgiz -M1961
5. Ya. S. Bugrov, S.M.Nikolskiy. Funksii Komleksnogo peremennogo-M,: Nauka,
6. V.A. Kolеmaеv. i dr. “Tеoriya vеroyatnostеy i matеmatichеskaya statistika” .M: Vo`sshaya shkola, 1990g.
7. Gmurman V.Е. “Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika”, Toshkеnt, O`qituvchi, 1978y.
8. S. Sirojdinnov , M.Mamatov. “Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika”. Toshkеnt., “O`qituvchi”. 1982y.
9. Gmurman V.Е. “Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika”dan masalalar yеchishga doir qo`llanma, Toshkеnt., “O`qituvchi”, 1980y.
10. Usmonov. M. T. ., & Qodirov. F. E.. (2022). STOKS FORMULASI. SIRT INTEGRALLARI TADBIQLARI. IJTIMOIY FANLARDA INNOVASIYA ONLAYN
11. Usmonov M. T. The Concept of Compatibility, Actions on Compatibility. International Journal of Academic Multidisciplinary Research (IJAMR), Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 10-13.

12. Usmonov M. T. The Concept of Number. The Establishment of the Concept of Natural Number and Zero. International Journal of Academic Information Systems Research (IJAISR), Vol. 4 Issue 12, December - 2020, Pages: 7-9.

13. Usmonov M. T. The Concept of Compatibility, Actions on Compatibility. International Journal of Engineering and Information Systems (IJEAIS), Vol. 4 Issue 12, December - 2020, Pages: 66-68.
14. Usmonov M. T. General Concept of Mathematics and Its History. International Journal of Academic Multidisciplinary Research (IJAMR). Vol. 4 Issue 12, December - 2020, Pages: 38-42
15. Usmonov M. T. Asymmetric Cryptosystems. International Journal of Academic Engineering Research (IJAER) ISSN: 2643-9085 Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 6-9.
16. Usmonov M. T. Basic Concepts of Information Security. International Journal of Academic and Applied Research (IJAAR) ISSN: 2643-9603 Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 5-8.
17. Usmonov M. T. Communication Control Systems, Methodology. International Journal of Academic Engineering Research (IJAER) ISSN: 2643-9085 Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 47-50.
18. Usmonov M. T. Compatibility between the Two Package Elements. Binar Relations and Their Properties. International Journal of Academic Multidisciplinary Research (IJAMR) ISSN: 2643-9670 Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 52-54.
19. Usmonov M. T. Cryptographic Protection of Information. International Journal of Academic and Applied Research (IJAAR) ISSN: 2643-9603 Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 24-26.
20. Usmonov M. T. Electronic Digital Signature. International Journal of Academic Pedagogical Research (IJAPR) ISSN: 2643-9123 Vol. 5 Issue 1, January - 2021, Pages: 30-34.

1