O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

Samarqand davlat universiteti Kengashining 2021 yil 30 oktyabrdagi 3- bayonnoma qarori bilan nashrga tavsiya etilgan
ISBN 978-9943-6646-9-2
© Samarqand davlat universiteti, 2021

Mundarija

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

Kirish

Differensial tenglamalar fizik jarayonlarning matematik modelidan iborat bo'lib, uning koeffisientlari ob'ektning xossalarini anglatadi. Fizik ob'ektning xossalarini aniqlash (tenglama koeffisientlarini yoki o'ng tomonini topish) differensial tenglamalar uchun teskari masalalar nomi bilan yuritiladi va matematikaning zamonaviy yo'nalishlaridan hisoblanadi. Differensial tenglamalar uchun teskari masalalar fizika va geofizikaning asosiy masalalaridan hisoblanadi. Masalan seysmik jarayonlar teskari masalasi, tarqalish (rasseyanie) jarayonining teskari masalasi, gravimetriya teskari masalasi va boshkalar. Shuni qayd qilib o'tamizki, 1979 yilda bir guruh AQSh olimlariga medisinaning tomografiya uslubini yaratganligi uchun Nobel mukofoti berildi [59]. Tomografiya uslubining asosiy qismi teskari masalalardan va integral geometriya masalalaridan iborat. Integral geometriya masalasi yechimining yagonaligi va turg'unligini aniqlashda

1. 
   X.Begmatov muhim natijalarga erishgan [2].
   

Shturm - Liuvill tenglamasi uchun teskari masalalar operator bilan bog'liq. Bunda spektral xarakteristikalar yordamida Shturm - Liuvill operatorining koefisentini va chegaraviy shartlarini topish talab qilinadi. Bunda olingan natijalar

2. 
   M. Levitan [20], A.B. Xasanov [35] monografiyalarida chop etilgan. Yaqinda A.B. Xasanov va F.R. Tursunovlar Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi, turg'unligi va regulyarizasiyasini isbotlagan [36]. Ko'p o'lchovli Koshi- Riman sistemasi uchun Koshi masalasi yechimining regulyarizasiyasi Z.Malikov tomonidan qurilgan [21]. Nostasionar tarqalish tenglamasi uchun regulyarizasiyasi L.P. Nijnik tomonidan qurilgan [22].
   

Yapon olimlarining [56-59] ishlarida giperbolik turdagi tenglamalar va izotropik Lame tenglamalar sistemasi uchun teskari masalalar o'tganilgan bo'lib, bu ishlarda karleman baholashlaridan foydalanib, teskari masalalar yechimining global lipshis ko'rinishidagi turg'unliklari baholashlari o'rnatilgan.
SamDU professori B.X. Xo'jayorov tomonidan neft va gaz qazib chiqarish sohasida qator amaliy ahamiyatga ega teskari masalalar yechilgan [51,52].
Ko'pchilik teskari masalalar klassik ma'noda korrekt qo'yilmagan va nochiziqli bo'lib, ularni A.N.Tixonov ma'nosida korrekt qo'yish mumkin.
Potensiallar nazariyasining teskari masalasida D soha potensiyaliga ko'ra sohaning o'zini topish masalasi qaraladi. Bu masala yechimining yagonaligini yulduzli sohalar uchun P.S.Novikov isbotlagan [24]. Yechimning turg'unligini M.M.Lavrent'ev isbotlagan [13]. Zichlikni aniqlash teskari masalasi yechimi V.G.Cherednichenko tomonidan olingan [53]. [37] ishda Samarqand davlat universiteti olimlari tomonidan olingan natijalar potensiallar nazariyasi sohasida deyarli yangilanmagan.
Parabolik va giperbolik tenglamalar uchun teskari masalalar yechimining yagonaligi va turg'unligi bilan V.M. Isakov shug'ullangan [9,10,55].
Seysmik jarayonlarning teskari masalasida muhitning massa zichligi va Lyame parametrlarini hamda bu masalaning sodda ko'rinishi bo'lgan seysmikaning teskari kinematika masalasida ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning koeffisientlarini aniqlash o'rganiladi. Ayniqsa cu_tt — Au
operator uchun с koeffitsiet muhit massa zichligi bo'lib, - to'lqin tarqalish
tezligidan iborat. Birinchi bo'lib, D.Maksvel bu teskari masala yechimini eksperimental asosda topgan.
Fizika va geofizikaning muhim masalalari differensial tenglamalarga qo'yilgan Koshi masalasi bilan bog'liq. Bunda Koshi masalasi yechimining yagonaligi koeffisientlari analitik bo'lmagan hollarda 1938 yilda T.Karleman tomonidan o'rganilgan. Keyinchalik bu yo'nalish M.M.Lavrent'ev, L.Nirengberg, L.Xyormander va boshqalar tomonidan rivojlantirilgan. Bu sohada Samarqand davlat universiteti olimlarining olingan natijalari muxim. Sh.Yarmuxamedov va uning shogirdlari tomonidan Yarmuxamedov tuzgan Karleman funksiyasi asosida bir qancha korrekt bo'lmagan masalalar yechimi regulyarizasiyasi (taqribiy yechimi) topilgan va olingan ishlarning muhimligi [59] da, A.Haydarovning [39,40,4,46,47,48,49] ishlarida giperbolik turdagi differensial tenglamalar uchun karleman baholashlari qurilgan va bu baholashlardan foydalanib nogiperbolik Koshi masalasi uchun to'g'ri va teskari masalalar yechimining yagonaligi va gyolder turdagi turg'unlik baholashlari topilgan. Bunda olingan natijalarning muhimligi [55-59] ishlarda qayd qilingan. Ikkinchi tartibli elliptik tenglamalar uchun to'g'ri va teskari masalalar uchun shauder baholashlari o'rnatilgan va bu baholashlardan foydalanib, qaralayotgan to'g'ri va teskari masalalar yechimining mavjudligi, yagonaligi hamda turg'unligi teoremalari isbotlangan [38,41,42,43,45].
Ushbu o'quv qo'llanma matematika hamda fizika talabalariga va magistrlariga mo'ljallangan. Uning maqsadi zamonaviy matematikaning intensiv ravishta rivojlanayotgan nokorrekt va teskari masalalari bilan yuqori kurs matematika va fizika yo'nalishi talabalarini xabardor qilishdan iborat. Shu sababli qo'llanmaning qismlari ma'ruzalarga ajratildi.
Qo'llanmaning dastlabki bobida korrekt va teskari masalalar yo'nalishining asoschilaridan A.N.Tixonovning [30], M.M.Lavrent'evning [12] kitoblarida chop etilgan (korrektlik, turg'unlik, regulyarizasiya oilasi, kvaziyechim, evolyutsion tenglamalar uchun Koshi masalasi) ma'lumotlardan foydalanildi.
Ikkinchi va uchinchi bobdagi ma'ruzalar muallif tomonidan chop ettirgan ilmiy ma'lumotlar asosida tayyorlangan. Ma'ruza 11-18 da giperbolik turdagi nokorrekt to'g'ri va teskari masalalar yechimining yagonaligi, turg'unligi uchun korleman baholashlari qurilgan bo'lib, bu baholashlar asosida qarayotgan masalalarning Tixonov ma'nosida korrekt qo'yilganligi isbotlangan. Ma'ruza 17-26 da ikkinchi tartibli elliptik tenglamalar uchun koeffisentli va manbani aniqlash teskari masalalari uchun shauder baholashlari qurilgan. Bu keltirilgan baholashlardan foydalanib, to'g'ri va teskari masalalar yechimining mavjudligi, yagonaligi va turg'unligi isbotlangan.
Ushbu qo'llanma matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari yo'nalishi bo'yicha yozilgan o'zbek tilidagi birinchi qo'llanmalardan biri bo'lganligi sababli, mazkur qo'llanmada ba'zi kamchiliklar mavjud bo'lishi mumkin. Bu kamchiliklarni aniqlagan kitobxonlarga oldindan minnatdorchilik bildiraman.
Ko'p qo'llaniladigan ba'zi tushunchalar
Biz ma'ruzalar kursida asosan Ax = f ko'rinishli birinchi tur operator tenglamalar bilan shug'ulanganligimiz uchun bizga funksional analizning kuyidagi tushunchalaridan foydalanishga to'g'ri keladi.