O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

ди _ 1 д _{( f} -p. . ~dn^Tl=2~ds ^r'
tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, Г^Г bo'lganda f(z) funksiyaning analitik davom ettirlishi masalasi An = 0 tenglama uchun Koshi masalasiga keltirilar ekan. Shuning uchun, analitik davom ettirish masalasi klassik korrekt qo'yilmagan bo'ladi.
Analitik davom etirish masalasining yagonaligi masalasi kompleks funksiyalar nazariyasida isbotlangan. Koshi formulasidan (1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar to'plamining kompakt ekanligidan berilgan masalaning shartli korrekt qo'yilganligi kelib chiqadi.
Endi analitik davom ettirish masalasining turg'unligini baholashga to'xtalamiz. Bu baholashlar garmonik o'lchov tushunchasi bilan bog'liq.
Teorema. Agar f(z) funksiya D da analitik D ning ichida regulyar va I) da uzluksiz funksiya bo'lib, (1) shartni qanoatlantirsa xamda Г, da
\№\±^e (²) tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda har bir zeD uchun
| f(z)\x-^m{z)e^m{z) (3)
bo'ladi.
Isbot. (p(z) = ln|/(z)|. funksiyani qaraymiz. (p{z) - garmonik funksiya bo'lib, f(z)^ о bo'ladigan zeD nuqtalarda regulyar bo'ladi. Agar, z₍₎ e D da f(z₀) = 0 bo'lsa, u holda
^t(z)->-qo агар, . (4)
(1) va (2) dan
(p(z)<\ns, zeT,.
¹ (5)
(p{z)<\nC, zeT₂
tengsizliklarga ega bo'lamiz. i//(z) orqali quyidagi funksiyani belgilaymiz
y/(z) = co(z)\ns + [l - o)(z)] InC.
(4), (5) ga asosan (p{z)) tengsizlik o'rinli. Bu tengsizlikdan potetsirlash natijasida (3) tengsizlik kelib chiqadi.
Teorema isbot bo'ldi.
Teoremadagi (3) tengsizlik analitik davom ettirish masalasi uchun turg'unlikni baholovchi tengsizlikdan iborat.
Biz analitik davom ettirish masalasi yechimi regulyarizatsiyasini tuzish maqsadida Karleman funksiyasini qaraymiz.
D soha va r, chiziqning Karleman funksiyasi deb ikkita kompleks va bitta haqiqiy o'zgaruvchilarning shunday (l(z,^,a) funksiyasiga aytamizki,
bunda G{z,%,a) - E, ning analitik funksiyasi, D da regulyar va chegaralangan funksiya.
2) G{z,^,a) funksiya j\G(z,^,a)\-\d<^\ tengsizlikni qanoatlantiradi.
r₂
G\ chiziq ustida /(z) funksiya о'rnida f_£(z) berilgan bo'lib,
\f_£(z)-f(z)\ (7)
tengsizlikbajarilsin. /^(z) orqali
2m i
funksiyani belgilaymiz. /(z) va f„,.(-) funksiyalarning yaqinligini aniqlash maqsadida f{ ~) - f,_x/ (z) ayirmani baholaymiz:
/(z) - fjz) = J G(z,C,a)f_£(QdC +
2 711 *
1 1
— [G(z,£,a)[f(C)-f_£(£)]d£
ТГ 1 J
2 ж i
Ti

< Ca
bo'lganligi uchun Karleman funksiyasini aniqlanishidan (1) tengsizlikka asosan
lG(z,£,a)f(£)d£
tengsizlikni hosil qilamiz.
№(^z>^a) = \\G{z,<^,a) || |
Ti

< ju{z,a)s
bo'lsin. U holda (4) tengsizlikka asosan
jG(z,£,a)[f(0-f_e(0]d£
Ti
tengsizlikka ega bo'lamiz. Shuning uchun,
\f(z) - f_£a{z)\ < J-[Ca + (8)
Z7T
hosil bo'ladi.
Qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi shartli korrekt qo'yilganligi uchun //(z,a)—>oo , agar a —>() bo'lsa. Bizga Karleman funksiyasi berilgan bo'lsa, u holda (5) tengsizlikdan foydalanib a parametrning optimal qiymatini aniqlash mumkin.
Endi Karleman funksiyasini tuzishga doir misol keltiramiz. 0_x{z,£) bilan C, bo'yicha garmonik, D da regulyar va G da
= СеГ
qiymatlar qabul qiluvchi funksiyani olamiz. 6₂ orqali в_] ga qo'shma garmonik funksiyani olamizki, u 0₂(z,z) = 0 shartni qanoatlantirsin. 6{z,Q funksiyani
ko'rinishda aniqlaymiz. W{z) funksiya co{z) garmonik o'lchovning garmonik qo'shmasi bo'lsin. N{z) orqali
N(z) = m{z) + ico(z) funksiyani belgilaymiz. y₂ - Г₂ yoyning uzunligi bo'lsin. p(z) orqali
1
In— + 0(z,z)
r₂
co{z)
funksiyani aniqlaydigan bo'lsak, u holda
G{z,£,d) = -^-exp10(z,C) - p(z)N(z) + In -1
l Гг.
funksiya Karleman funksiyasi bo'ladi. Bu qaralayotgan hoi uchun /л{г,а) funksiya
ju(z,a) = exp \ p(z) + In (a —) l
tenglikdan aniqlanadi, bunda у\ ~ Г, yoyning uzunligi.
Mavzuni o'zlashtirishga doir savollar.

1. 
   Analitik davom ettirish masalasi qanday qo'yiladi?
   
2. 
   Analitik davom ettirish masalasi yechimi turg'unligini baholash formulasi qanday aniqlanadi?
   
3. 
   Karleman funksiyasi qanday aniqlanadi?
   
4. 
   Analitik davom ettirish masalasi uchun regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
   

Ma'ruza 10 Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi
Reja
l.O'zgarmas operatorli Koshi masalasi.

2. 
   Koshi masalasining korrektligi.
   
3. 
   Koshi masalasi yechimning turg'unligini baholash.
   

Tayanch iboralar
Evolyusion tenglama. Koshi masalasi. Yechimning turg'unligi. Diskret spektr. Normal operator.
Skalyar argument t ga bog'liq bo'lgan f(t) va x(t) funksiyalar X va F Gilbert fazolariga qarashli bo'1 sin. Chiziqli A operator esa X ni F ga akslasin. Evolyusion tenglama deb
— = Ax + f (1)
dt
ko'rinishli tenglamaga aytamiz. Bunda f(t) va A berilgan bo'lib, x(t) nomalum funksiya.
Bu tenglama uchun Koshi masalasi deb uning
x(0) = x₀ (2)
shartni qanoatlantiruvchi yechimiga aytiladi. (1) ko'rinishli tenglamaga va unga
qo'yilgan Koshi masalasiga vaqtga bog'liq bo'lgan fizik jarayonlar keltiriladi.
Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi korrekt qo'yilmagan bo'lishi
ham, yani shartli korrekt qo'yilishi ham mumkin. Eng sodda evolyusion
tenglamalar uchun ularning korrekt qo'yilishi masalasiga to'xtalamiz.
Dastlab biz bir jinsli evolyusion tenglama bo'lgan
cfoc , , _ _ч
— = Ax (3)
dt
ko'rinishli tenglamani qaraymiz. Bunda A - o'zaro qo'shma operator va uning spektri diskret bo'lgan holni qaraymiz. Bu holda A operatorning to'liq ortogonal {cp,. (7)} xos funkiyalari sistemasi mavjud va unga mos xos qiymatlari sistemasi {Л_к} lar o'sish tartibida joylashgan. Shuning uchun, xar bir x e X funksiya
oo
x{t)=Y,x_k{t)
k, x_k=(x,
k)
к=-ю
ko'rinishda bo'lganligidan (3) tenglama ko'rinishli tenglamalarga ajraladi.
Agar x°_k = (x₀, cp_k) bo'lsa, u holda evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi yechimi
x_k(t) = _Xy^kt (4)
ko'rinishda bo'ladi. Evolyusion tenglama yechimining (4) ko'rinishidan masala korrekt qo'yilishi uchun A_k xos qiymatlar ketma-ketligining yuqoridan chegaralangan bo'lishi zarur va etarlidir yani, ixtiyoriy A_k uchun A_k shartlar bajarilishi kerak. Haqiqatdan ham, Koshi masalasi yechimi uchun
||jc(/)||^e^C/|| JC₀||
baholash o'rinli ekanligini tekshirish oson. Agar biz £>0, t>0, ju> 0 son- larni qaraydigan bo'lsak, shunday x_(j topiladiki (masalan, etarlicha katta к lar uchun x₀ = s(p_k ),
1*0 II <£, ||x(0||>//
tengsizliklar o'rinli bo'ladi. Bu tengsizliklardan Koshi masalasi yechimini turg'un emasligi kelib chiqadi.
Endi Koshi masalasining shartli korrektligigato'xtalamiz. Teorema 1. (3) tenglamada A - normal operator bo'lsin, ya'ni A*A = AA*. U holda (3) tenglamaning har bir yechimi [0,Г] oraliqda
(5)
tengsizlikni qanoantlantiradi.
Isbot. (p(t) = \x(t)f =(x,x) funksiyani qaraymiz. Bu funksiyani differensiallab quyidagilarni hosil qilamiz:

2(x',x) = 2(Ax,x) = [(A + A*)x,x], (p\t) = 2(x',x^f) + 2(x,x") = 2(Ax,Ax) + 2(x,A²x). Dastlab biz A operatorning o'zaro qo'shma bo'lgan holiga to'xtalamiz. Bu qaralayotgan holda
(X,A²x) = (AX,AX) bo'lib, bundan quyidagini hosil qilamiz
(p"(t) = 4(Ax,Ax)
Bularga asosan ys(t) = In
funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uchun Koshi - Bunyakovskiy tengsizligidan foydalansak
¥"{t) = -4-W\t) ■ (Pit) - (p\t)\ = -4--[(Ax, Ax) ■ (x,x) - (Ax,x)²] > 0 6)
(Pit) (Pit)
kelib chiqadi.
Endi (6) dan
Wif) < ^V(O) + jy/iT) (7)
tengsizlikni oson hosil qilamiz. (7) tengsizlikdan potensirlash asosida (5) tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, A o'zaro qo'shma normal operator bo'lsa (5) tengsizlik o'rinli bo Tar ekan.
A operator faqat normal bo'lsin. Bu hoi uchun (Ax, Ax) = (A * x, A * x) bo'ladi. Shuning uchun,
va
hosilalar uchun
cp\t) = (Ax, Ax) + (A * jc, A * jc) + 2(Ax, A * x) = [(A + A*)x,(A + A*)x],
cp\t) = {[(A + A*)x,(A + A*)x](x,x) - [(A + A*)x,xf}> 0 (P (■*)
kelib chiqadi. Bulardan yana (5) tengsizlik osongina kelib chiqadi. Endi bir jinsli bo Tmagan

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

tengsizlikka ega bo'lamiz. (23) tengsizlikdan foydalanib, Koshi - Bunyakovsikiy tengsizligiga asosan va \g₀\²+ ^ elementar tengsizlikni hisobga olganda quyidagilarni hosil qilamiz

(20)

Bg₍₎+2Fl=0
|^|²<4(_r²₊2^²),
//о >-\УВ\-\^\Щ> -2|VB\4у² ₊ 2Ъ^ >
7=1
«-1 (25)
^F/Д * "I • |Г|-4|VT|(_r² + 2^²),
7=1
>-I V"F|• |ф -4|V"F|(r² + 2^²).
7=1
(18) dan (20) ga asosan (24) va (25) ni hisobga olganda H(y;£,) uchun quyidagi tengsizlikka ega bo'lamiz
е^у"Н(у\£) > (2Fb_yn + BB_yn + Bb_yo - 2ЬВ_уо - 8| V'B \ b^V2 -
-32\V'F\b-8 FB -2bF b^V2 -8|2FF +BF b)£² +
II Уп Уо | Уп Уо
+(4F² + 2FF_yn + BF_yo - 4| V'B\b~^V2 - -16|V"F|-4 FB - 2bF b~^V2-A\2FF +BF )r²
II Уп Уо | Уп Уо ^и
Endi (16) ni hisobga olganda koeffitsientini 2~^lb_y dan katta ekanligini, y²
ning koeffitsientini 1/8 dan katta ekanligini ko'rish qiyin emas, agar T (2) shartdan, M esa teorema 1 shartidan aniqlangan bo'lsa. Bulardan tashqari oxirgi tengsizlikda o'zgaruvchilarni almashtirish formulasidan kelib chiqan
b = с + 2 dT~²xjo , b =c , 1 < i