O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

(P~(P₂
sin

u{(p_x,cp₂J(p) = — arg

(p-(pl

sin
71

ko'rinishda bo'lib, u{cp_x,(p₂,e^iq>) funksiya r_x yoydagi har bir nuqtada 1 ga teng, undan tashqarida esa nolga teng bo'ladi. Shuning uchun, (3) orqali aniqlanuvchi funksiya garmonik o'lchovdan iborat bo'ladi. Endi (3) formuladan foydalanib garmonik o'lchovni topish uchun misol qaraymiz .
Misol 2. |z| <1 da yuqori yarim aylananing garmonik o'lchovi topilsin. Bu
hoi uchun
\l, 0<(р<7Г
О, л
bo'lib, bunda t_x= 1, t₂ = -1, q\= 0, (p₂ = n . Shuning uchun, izlanayotgan garmonik o'lchov
t ^ ^{1 Z+1}
co{z) = - arg- -
71 1{Z ~ 1)

и
ko'rinishda bo'ladi. Bunda z = x + iy ekanligini hisobga olib, co(z) ni haqiqiy o'zgaruvchining funksiyasi ko'rinishda yozishimiz mumkin

= — arg
i(x -l)~ у ж у + (x-l)

x + l + jy _ 1 ((x + l) + iy(-y-i(x-l))

— arg

1
— ar; ж

J_ ж

1

a?(z) = — arg ж

Shunday qilib, birlik doiradagi yuqori yarim aylananing garmonik o'lchovi

(4)

ko'rinishda bo'ladi. R = 1 bo'lganda (1) tenglikdan (4) ni hosil qilish oson. Har ikkala holda ham biz garmonik o'lchovni topishda bir xil natijaga keldik.
Biz o'quvchiga (3) formuladan foydalanib aylana qismlarining garmonik o'lchovini topishni tavsiya etamiz.
Mavzuni o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Garmonik o'lchov nima?
   
2. 
   Dirixle masalasi qanday qo'yiladi?
   
3. 
   Puasson integrali qanday masalaning yechimidan iborat?
   
4. 
   Aylana qismlari uchun garmonik o'lchov qanday topiladi?
   

Ma'ruza 9
Analitik davom ettirish masalasi va uning regulyarizatsiyasi
Reja

1. 
   Analitik davom ettirish masalasi.
   
2. 
   Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi.
   
3. 
   Analitik davom ettirish masalasi va Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasining tengkuchliligi.
   
4. 
   Karleman funksiyasi va uning yordamida regulyarizatsiya oilasini qurish.
   

Tayanch iboralar
Analitik davom ettirish. Koshi masalasi. Garmonik o'lchov. Masalalar tengkuchliligi. Karleman funksiyasi. Karleman funksiyasiga asoslangan regulyarizatsiya.
Analitik davom ettirish masalasiga ko'pchilik amaliy masalalar keltiriladi. Bu ma'ruzada biz bir argumentli analitik funksiyaning va ikki o'lchovli garmonik funksiyaning chegaraning qismidagi qiymatiga asosan soha ichiga davom ettirish masalasiga to'xtalamiz.
f(z) funksiya orqali kompleks tekislikdagi D sohada regulyar va analitik

(1)
bo'lgan hamda D da uzluksiz
|/(z)| (zeD)
shartni qanoatlantiruvchi funksiyani belgilaymiz. Agar Г = 3D bo'lsa, Gi va G₂ orqali G ning qismlarini olamizki, Г, U Г₂ = Г, Г, fl Г₂ = 0 bo'lsin. Agar Gi da f{z) ning qiymatlari berilib, unga asosan zeZ) da /(z) ning qiymatlarini aniqlashga /(z) funksiyani Gi dan D ga analitik davom ettirish masalasi deymiz. Bunda Gi=G bo'lsa, bu masala yechimi kompleks funksiyalar nazariyasiga asosan, quyidagi Koshi integrali orqali beriladi

Agar Ц фТ bo'lsa, u holda analitik davom ettirish masalasi yechimi Laplas tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasiga tengkuchli ekanligini ko'rsatamiz.

du
Gi da u(z) garmonik funksiya va uning — hosilasi qiymatlari berilgan
dn
bo'lsin. /(z) funksiya orqali u(z) va uning garmonik qo'shmasi bo'lgan 3(z) funksiyalardan /'(z) = u{z) + i3{z\ (z = x + iy) ko'rinishli funksiyani aniqlaymiz. Agar z₀ Г, chiziqning chetki nuqtalaridan biri bo'lsa, 9{z) funksiya


dn

formula orqali aniqlanadi. Bu ko'rinishda aniqlanuvchi /(z) funksiyaning analitikligidan biz G\ chiziq ustida /(z) analitik funksiyaning qiymatlarini и va

— ga asosan topgan bo'lamiz.
dn
Agar Gi ustida /(z) = u(z) + i3(z) analitik funksiya qiymatlari berilgan bo'lsa, Koshi - Riman shartidan
du . dS
dn ^r' ds ^r'
дЗ
tenglikni hosil qilamiz. Bunda — 3 funksiyaning Gi ustidagi yoy uzunligi
ds
bo'yicha hosilasi. f(z) va f(z) funksiyalarning Gi da hosilalarini olib,