O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

\\-AS_N + A(p\\_b2(D) ^ 0, N^ oo. Bu mulohazani m marta takrorlasak quyidagini hosil qilamiz
\\(-A)^mS_N-(-A^m)(p\\_L2iD)^0 agar N -> oo (3)
Endi bizga qulay bo'lgan Sobolevning joylashtirish (vlojenie) teoremasini keltiramiz.
Teorema (joylashlirish). Agar D /?^n_1 dagi chegarasi С¹ bo'lgan chegaralangan soha bo'lsa, u holda Wq(D) с L_p(D) va quyidagi tengsizlik o'rinli
\\u\\_h(D) < C\\u\\_W2(D),
bunda p < (n — 1) , agar < n — 1 va p ixtiyoriy, agar 2q > n — 1.
Isbot. Bu teorema isbotini teorema 2.2. [19, 77-bet] dan keltiramiz. Agar 2q < n — 1 bo'lsa, bu teoremadan
(n - l)q_ 2 q (n — 1 )q
W_qKD) с L_p№), p < -^L-
Agar 2q > n — 1 bo'lsa, bu holda ikki hoi bo'lishi mumkin a) n — 1 < q va b) q < n — 1 Bunda a) holda И^² с ixtiyoriy £ > 0 uchun, ya'ni W² с L_p ixtiyoriy p < oo
b) holda И^² с bunda = ixtiyoriy £>0. Agar
n - 1 < 2q bo'lsa, q( 1) = (1 - £)(n - l)/(n - 1 - q) > n - 1, £ istalgancha kichik bo'lganda, hamda ko'rsatilgan joylashtirish teoremasidan ixtiyoriy p < oo uchun cCc[_p bo'ladi. Agar n — 1 = 2q bo'lsa,
q(l) = (1 — £) ■ (n — 1) < n — 1 bo'lgani uchun ko'rsatilgan teoremadan
(n-l)qf(l) _ (n-l)²(l-£) _ (l-£)(n-l) ^q(D^cV ^р<_п-1-<7(1) n-l-ft-eXTi-l) _£
Shunday qilib, £ ni kichik qilib tanlab, ixtiyoriy L_p da joylashtirishni hosil qilamiz. Joylashtirish teoremasi isbot bo'ldi. Bu teoremadan va (3) dan m bo'yicha induksiyadan
\\S_N ~ (p\\_Lq(D) 0- agar N -> oo (4)
q < 2(n — l)/(n — 1 — 4m), agar m < ^ ¹~⁾
q < oo, agar m > (n — l)/4 ekanligini ko'rsatamiz. m = 1 bo'lsin S_N , cp E C²(D) va dD da nolga tengligidan Dirixle [1. 5 bo'lim] masalasi yechimi uchun L_p baholashlarga ko'ra (3) dan 7?i — 1 bo'lganda
I|Sjv-
^a#^ar N ^ oo
bo'lib, yuqorida keltirilgan joylashtirish teoremasida
IISJV -
l₄(D) ⁰ N^co

щ^{2 с} bo'lib, q{ 1) < ^-y-f
104
2(n—l) _ ^ _
q < , agar Б oo agar n < 5.
7?i — 1 da tasdiq isbotlandi. Induktiv tasdiq m uchun isbotlangan bo'lsin, bu tasdiqlashni m + 1 uchun isbotlaymiz. Induktiv gipotezani —Acp uchun qo'llab, (—A)^kS_N — (—А)^кср ning Fure qatori qismiy yig'indisi ekanligi uchun
||(-A)(S_w-
_iq(D)^0 , iV^oo
bunda q isbotlanadigan tasdiqdan. Dirixle masalasi yechimining baholashlaridan
\\S_N -
⁰ < n^co n + 1 < (n - l)/4 bo'lsin. Bu holda 4(n - 1 )/(n - 1 - 4m) <72-1 bo'lib, joylashtirish teoremasining birinchi qismidan
(2q <72 — 1) Lq^) da S_N cp bo'lib, qf(l) < 2(72 - l)/(72 - 1 - 4m). Agar (72 - l)/4 < m + 1 bo'lsa, joylashtirish teoremasining ikkinchi qismidan L_qda S_N —> (p ixtiyoriy q(l) < 00. Shunday qilib (4) isbotlandi.
(3) dan m > (72 — l)/4 deb tanlab, ning chiziqli kombinatsiyasi L_p(D) da cp ga yaqinlashadi ixtiyoriy 1 < p < 00 bo'lganda. Bu xos funksiyalarning L_p(D) da zichligini isbotlaydi.
Endi lemma 1 ni davomini isbotlaymiz. h shu lemmada ko'rsatilgan funksiya bo'lsin. p > 72/(1 — X) qilib tanlasak, xos funksiyalarning zichligidan W_A da shunday f(k) ketma - ketlik mavjud bo'lib, L_p(D) da — Д'/i funksiyaga yaqinlashadi. Agar / £ W_A bo'lsa, u holda D da — A'h = f, dD da h = 0 Dirixle masalasining yechimi ham W_A ga qarashli bo'ladi. Shuning uchun D da —A'h(k) = f(k), dD da h(k) = 0 Dirixle masalasining yechimi W_A ga qarashli bo'ladi.
Elliptik masalalar yechimining L_p baholashlaridan [1, 130-bet] va Sobolevning joylashtirish teoremasidan [4, 230 bet] va p ning tanlashishidan
над - h\\^1+A(D) < спад - h\\_W2_(D) tengsizlikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, C^1+A(D) da h(k) h funksiyaga yaqinlashadi. Bundan lemma 2 ning isboti kelib chiqadi.
Lemma 3. Agar h £ C^1+A(D) dD da h = 0 bo'lsa, u holda h(k) £ C²(D), dD da h(k) = 0 ketma - ketlik mavjudki, h(k) C^X(D) da h ga yaqinlashadi va \h(k)\^1+A(D) < С tengsizlik o'rinli.
Isbot. D ga qo'yilgan shartlardan R^n_1 da W₁,..., W_N shartlar mavjudki, ularning yig'indisi (birlashmasi) D ni o'zida saqlaydi. Agar dD П Wj ф ф bo'lsa, shunday C^2+x(Wj) ga tegishli y(x,j) diffeomorfizm mavjudki, Wj ning aksi Vj
ham C^1+x(Vj) ga tegishli va uning aksi ham C^2+A(Vj) ga tegishli va Dn Wj, 3D n Wj mos ravishda {y_t > 0} n Vj , {y_t = 0} n Vj ga akslanadi.
(pj Wj qoplamaga (покрытие) mos birning С⁰⁰ taqsimoti (разбиение)
bo'lsin [50, 11 bet], D daf₁ = hcp₁-\ 1- h(p_N da hcpj ning yurituvchisi
(nositel) Wj da yotadi va kcpj lemma 2 ning shartlarini qanoatlantiradi (h ga nisbatan). Shuning uchun har bir hcpj ni yaqinlashtirish yetarli. ^ cfl holni qaraymiz. O'rtachalashtirish (usrednenie) yadrosini quyidagicha kiritamiz:
ч>_£(х) = ч>(|х|/г) bunda ч> £ C^°(Rⁿ),
ч> dx = 1, ч> > 0 va supp ч> = {x, |x| < 1}
[50, 9 bet], Bu holda (/i
ning o'ramasi bo'lib, С^я(^^п_1) ga tegishli, supp{hcpj) <^Wj (s istalgancha kichik son) va da