O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

{h(Pj)_£h(fj , agar £->0 [50, teorema 1.2.1]. Agar [и]^л < C₀ bo'lsa,
[и_£]^л < C₀ bo'ladi. Shuning uchun |(/i
_;)J < C. Shuning uchun (h(Pj)_£ £ 0 bo'lganda kcpj ni yaqinlashtiradi.
Wj ning 3D bilan kesishmasi bo'sh bo'lmagan holni qaraymiz. Bunda у o'zgaruvchilarga o'tib, masalani y_t > 0 yarim fazoga keltiramiz. kcpj ni у o'zgaruvchilarda gj bilan belgilaymiz. {y_t > 0}\vj ga gj ni nol qilib davom ettiramiz. Ravshanki
gj £ С^1+Я({у₁ > 0}) va gj = 0 agar y_± = 0 bo'lsa, yi > 0 da gj(-y_lt y₂,...,y_n_₁) =-gj(-y_lt y₂,...,y_n) qilib
aniqlaymiz. y_t = 0 da g_j£ nolga teng (toqligi uchun) yadroni faqat |x| ga bog'liqligi uchun. Kichik £ uchun (supp gjs) П {y_t > 0} Vj ga tegishli va £ 0 g_j£ gj ni yaqinlashtiradi. Endi x o'zgaruvchilarga qaytib, D\Wj ga nol qilib davom ettirib hcpj yaqinlashishni hosil qilamiz.
Lemma 3 isbot bo'ldi.
Teorema 1 ning isboti. Yagonalik teoremasidan shauder baholashlari |u|° hadsiz ham o'rinli bo'ladi.
Teorema isbotida parametrga nisbatan davom ettirish usulidan foydalanamiz. [4. 293 bet],

J
Bir parametrli (1), (2) chegaraviy masalalarni A o'rniga A_t = —A + t(A + A), p o'rniga p_t = 1 + t(p — 1) bo'lgan holni qaraymiz. Bu usulga ko'ra (1), (2) masalaning yechimi mavjud bo'lgan t £ [0,1] ga tegishli t laming to'plami т ning bo'sh emas, yopiq va ochiq ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Chunki bu holdaтto'plam [0,1] bilan ustma - ust bo'ladi vai= [0,1], shuning
uchun А_г = A, p₁ = p bo'lgan teskari masala yechimi mavjud. т ning bo'sh to'plam emasligini ko'rsatamiz. Lemma 1 va lemma 2 dan A = —A, p = 1 bo'lganda, h £ С^1+я(/)) bo'lgani uchun t = 0 т ga tegishli. Demak, т ^ 0. т ning yopiqligi uchun undan ketma - ketlikni qaraymizki, у t₀ ga intilsin. tj larga mos teskari masala yechimini Uj va qj deylik. Yagonalik teoremasidan
Ы²⁺\П) + \_qj\\D) < C\h\¹⁺\F₀).
Shuning uchun Uj va qj ketma - ketliklar С^2+Л(П) va C^X(D) da chegaralangan. C^k funksiyalar sistemalarining xosalaridan bu ketma - ketliklar C²(H) va C°(D) da kompakt bo'lgani uchun bu ketma - ketliklardan yaqinlashuvchi qismiy ketma - ketliklar ajratib olish mumkin. Ularning limiti и va q С²⁺\П) va C^X(D) ga qarashli, chunki ketma - ketliklar С^2+Л(П) va C^a(D) fazolarda chegaralangan. Bu (u, q) yechim t = t₀ bo'lganda teskari masala yechimi. Demak, t₀ £ т ekan. Shuning uchun т to'plam yopiq.
т to'plamni ochiq ekanligini ko'rsatamiz. t₀ £ т bo'lsin. B_t orqali q £ C^X(D) ga u_Xn ni mos qo'yuvchi chiziqli operatorni belgilaymiz. Bunda и funksiya (1), (2) masalaning Г₀ da u_Xn = h shartisiz yechimi bo'lib, A = A_t. Shauder baholashlaridan va teorema shartlaridan B_t operator X = Cq(D) dan
У = С^1+лф)пС₀ф) да H^1+aC^1+a(D) norma bilan uzluksiz bo'ladi. Bunda C₀(D) dD da nolga aylanadigan uzluksiz funksiyalar to'plami. dD da nolga aylanadigan т to'plamning aniqlanishidan har bir h £ Y uchun teskari masala yechimi mavjud. Yana shauder baholashlaridan va yagonalik teoremasidan t = t₀ uchun ^ CH^IIr tengsizlik hosil qilamiz. Demak, B_to operator Y dan X ga teskari operatorga ega. Teskarilanuvchi operatorga tekis operator normasi bo'yicha yaqin bo'lgan operatorlar banax fazosida teskarilanuvchi bo'ladi. Shuning uchun t t₀ ga yaqin bo'lganda B_t operator teskarilanuvchi bo'ladi. Demak, т to'plam ochiq ekan. Shuning uchun т = [0,1] bo'lib, t = 1 bo'lganda (1), (2) masala yechimi mavjud.
Teorema 1 isbot bo'ldi.
Teorema 2. /3 soha va A operator shauder baholashlari teoremasi shartlarini qanoatlantirsa va a > 0 bo'lsa, u holda ixtiyoriy / £ С^Л(П), g £ С^2+л(дП) funksiyalar Г n (T₀uT_H) da Ag = f shartni qanoatlantirsa Dirixle masalasining С²⁺\П) da yechimi mavjud va yagona bo'ladi.
Teorema 2 ning yechimini isboti teorema 1 ga o'xshash olib boriladi.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar
1. Teskari masala yechimi qanday funksiyalar fazosida izlanadi?

2. 
   Qanday baholashlar yordamida yechim mavjudligi isbotlanadi?
   
3. 
   Yechimni topishda qanday usul ishlatiladi?
   

Ma'ruza 23
Elliptik turdagi tenglamalar uchun koeffitsientni aniqlash teskari masalasi
yechimining mavjudligi Reja

1. 
   Koeffitsientli teskari masala yechimining mavjudligini isbotlash.
   
2. 
   Teskari masala yechimini mavjudligini isbotlashda ketma - ket yaqinlashish usulidan foydalanish
   
3. 
   Mavjudlik teoremasini isbotlashda shauder baholashlaridan foydalanish.
   

Ko'pchilik amaliy masalalar qo'shimcha shartlar asosida elliptik tenglamalarning koeffitsientlarini aniqlash masalasi bilan bog'liq. Bunday masalalarni koeffitsientli teskari masalalar deb aytiladi. Ko'pchilik hollarda bunday masalalar Adamar ma'nosida nokorrekt va nochiziqli bo'ladi.
Ushbu ishda elliptik turdagi tenglamalarning o'zgaruvchi koeffitsientlarini aniqlashning korrekt masalasi o'rganildi. Parabolik turdagi tenglamalar uchun bu xildagi masalalar A.N.Tixonovning [30] ishida o'rganilgan.
Chegaralangan D soha R^n_1 ga tegishli bo'lib, uning chegarasi C^2+x sinfga tegishli, bunda Л (ОД) dagi son. П orqali Rⁿ dagi D x (—H, 0) - silindrni belgilaymiz. Г_т = D X {-т} va Г = 5П\(Г₀ U Г_я).