O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

(и, q) funksiyalar juftligini quyidagi shartlar asosida aniqlaymiz:
Au = pq+f, q_Xn = 0 П da, (1)
и = g дП da, u_Xn = h Г₀ da. (2)
D soha R^n_1 ga tegishli bo'lib, uning chegarasi dD C^2+x sinfga tegishli. D x (—H, 0) Rⁿ ga tegishli П silindrdan iborat,
Г_т = D x {-t}, Г = дП \(Г₀ и Г_я)
bo'lsin.
Teorema 1. П soha, A operator va vazn funksiya p shauder baholashlari teoremasining hamda yagonalik teoremasining shartlarini qanoatlantirsin, u holda ixtiyoriy /£С^Я(Д), g G С^2+л(дП), h G С^1+Я(Г^) funksiyalar
Ag = f Г П (Г₀ и)(Г_я) da, g_Xn = h Г n Г₀ da shartlarni qanoatlantirganda (1), (2) masalaning С^2+Я(Д ) X С (П ) sinfga tegishli (и, g) yechimi mavjud.
Teorema isbotidan oldin teorema 1 ga bog'liq bo'lmagan teorema 2 ga asosan quyidagi Dirixle masalasining
Au_± = f П da, щ = g дП da С^2+Л(П) ga tegishli щ yechimi mavjud. Shuning uchun и dan щ ayirsak teorema uchun f = 0, g = 0 holga kelamiz. Shuning uchun bundan keyin f = 0, g = 0 bo'lgan holni qarash etarli.
Lemma 1. Teorema 1 ning tasdiqi A = —A, p = 1, П = D X (—H, 0) va h G С²ф) bo'lganda ham o'rinli.
Lemma 1 ning isboti. {$_fc} orqali —A= —д²/х² d²/dx_n_₁
operatorning xos to'liq funksiyalarini, A²_k (A_k > 0) orqali xos qiymatlarini belgilaymiz. Bunday funksiyalarning mavjudligi va d_k G С^2+Л(П) ekanligi [ 19. teorema 17.1, 12.1, 10.1] dan kelib chiqadi.
W_A orqali funksiyalar sinfini quyidagicha kiritamiz:
N

bunda hi
'к
k=1
- biror sonlar. C_lk, C_2k va q_k larni quyidagicha tanlaymiz:
1 _
^Clk - ^Лх 1 _ _е-л_кн ^hk> ^c2к - h _г _ _e-x_kH ^hk '

-I

h= > hbtii

И^д =
_ , l+e~^Afc^H Чк — ^Ak -л_кн >

u holda
^N_k=1{C_lke^ + C_2ke-^^xn + r_k²q_n)d_k(x'\
N k=1
funksiyalar (1), (2) teskari masalaning yechimi bo'ladi. Haqiqatdan ham bu funksiyalarni —Ли = q tenglamaga qo'yish natijasida isbotlanadi. Г uchun chegaraviy shartlar dD da д_к = 0 dan kelib chiqadi. Qolgan chegaraviy shartlar quyidagi tenglamalarga teng kuchli:
Ciк + C₂k + h_k²q_k = 0 (и = 0 Г₀ da ), C_lke~^^H + C_2ke^^H + A_k²q_k = 0 (и = 0 Г_я da ) , ^ciк ~ ^c2k - ^_k^xh_k (u_Xn = h Г_H da ). Bu tengliklarning bajarilishi C_lk, C_2k va q_k laming tanlanishidan kelib chiqadi. Shuning uchun h £ W_A da masala yechimga ega bo'ladi.
h £ C²(D), h = 0 дП funksiyalarni W_A funksiyalar bilan С^1+я normada yaqinlashtiramiz. Bu yaqinlashishdan shauder baholashlari hamda yagonalik teoremasidan W_A dagi berilganlar uchun masala yechimining mavjudligidan lemma 1 ning isboti kelib chiqadi.
Lemma 2. (Xos funksiyalarning zichligi haqida). D sohaning xossalariga ko'ra Laplas operatori uchun Dirixle masalasining xos funksiyalarining chiziqli qobig'i (lineynaya obolochka) L_p(D) (1 < p < oo) da zich joylashgan.
I shot. Cheksiz differensiallanuvchi finit funksiyalar L_p(D) da zich joylashgani uchun [19. 68 bet] cpeC™(D) funksiyalarni chiziqli kombinatsiyasi bilan yaqinlashtirish kifoya.
(peC™(D) bo'lsin va q)_k cp funksiyaning {$_fc} ba'zis bo'yicha L₂(D) dagi yoyilmasining Fure koeffitsentlari bo'lsa, bu yoyilmaning qismiy yig'indisi S_N = (р_гд_г + —I- (p_Nd_N L₂(D) funksiyaga cp yaqinlashadi, chunki {$_fc} L₂(D) da zich joylashgani uchun va d_k —A operatori Dirixle masalasining xos funksiyasi bo'lgani sababli. Bo'laklab integrallash asosida quyidagini hosil qilamiz (-Л
_k = (-Acp, ti_k)(D) = (cp-A d_k\(D) = = X_k²((p, d_k)₀(D) =A_k² (p_k.
Shuning uchun
AS_n = A²_k (p_t д_г + ••• + A² (p_N i9_n = = (~A(_P)₁ d₁ + - + (-A
_N d_N ya'ni — AS_n — Acp ning Fure qatorining qismiy yig'indisi va