O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

u₍₎ =u-v funksiyani olib, p_r e ('' (R"^+]) ni shunday tanlaymizki, у/ > s/2 bo'lganda p_e= 1 , y/4 bo'lganda p_£= 0 bo'lsin. U holda
о
p_su₀ e JV₂²(Q_£/4) bo'ladi, chunki Г₀ da u_{] nolga tengdir.
Ko'paytma uchun Leybnits [50, 19-bet] formulasiga asosan (1) tenglamadan
I □ _c(p_Eu₀)|² _cu\² +| □ _cv|² +|w₀|² +| Vw₀|²) < < C(s) (и²+1 V²v f +1 Vv |² +1 Vm₀ f +1 щ |² j <
< C(e) (11 f +1V²v f +1 Vv |² + |v f +1 Vm₀ |² +1 м₀ Г)
tengsizlikni hosil qilamiz. Shuning uchun ma'ruza 11, 12 dagi teoremalarga asosan quyidagi karleman tengsizligi o'rinli:

r J || Vw₀1² +1 w₀1² j e^2wdx < C(s)

QO/2 Q

V²v

+ Vv +

+
e^2wdx. (5)

Bu tengsizlikda т ni t>2C(s) shartdan tanlab, Q_s/2 bo'yicha |Vi/₀|² +1 м₀|² funksiyalardan olingan integralni chap tomonga o'tkazsak,

T \ [\Ущ\² ₊\u_Q\y^dx

²+ \v\²\e^2wdx +

Vv

+
Q./2 QO

tengsizlik hosil bo'ladi.

+C(e) J 11 Vm₀ |² +1 m₀ |² j e^2wdx

B_x va В₂ o'zgarmaslarni quyidagicha kiritamiz:

V v
+ |Vv| +1 v I I dx

Qo
B₂ = S(\V<

2 , ,2 I |2
+ Vw + M Й&С

и

(6) tengsizlikning chap tomonidagi integralda integrallash sohasini Q_£ gacha toraytirib, chap tomondagi у/ funksiya qiymatini uning quyi chegarasi £ bilan almashtiramiz, o'ng tomonnida esa Q₀ dagi у/ ning yuqori chegarasi E = e^d -1 bilan, Q₀\Q_£/2da г/2 bilan almashtiramiz. Bularga asosan (6) ning ikkinchi yig'indisida integrallash sohasini kengaytirib,
re^2T£ J Vw₀|² +| u^dx < C{s)(e^2ET B_x + e^TSB₂)
Qs
tengsizlikni hosil qilamiz. Oxirgi tengsizlikdan

(V)

г и,

о

i(i)
+e^TSB₂)

kelib chiqadi. Endi г parametrni т = (2E - s)~^l \n(B₂B~^l) + C(s) shartdan tanlasak (7) ning ikkinchi hadi birinchisidan katta bo'lmaydi va bunday г biror C(s) uchun ma'ruza 11 va 12 dagi teoremalarning shartlarini qanoatlantiradi.
Agar biz u₀=u-v ekanligin hisobga olsak (7) tengsizlik и funksiya uchun ham to'g'ri bo'ladi. Tanlangan г uchun
tengsizlik o'rinli va bundan (7) ga asosan quyidagi kelib chiqadi.
I u₀|;_i} (Q_e) < C{s)e^2E^^2E~^In(B₂ ■ B'¹) =
= C{s)(B, . (BjiE-mE-eT*
Endi, B_l va B₂ aniqlanishidan (4) ga asosan, E = e^d -1 ekanligini hisobga olsak, isbotlanadigan (6) tengsizlik kelib chiqadi. Teorema isbot bo'ldi.
Teoremadan (1), (2) Koshi masalasi yechimi yagona ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar / = 0, g₍₎ = g, = 0 bo'lganda (6) tengsizlikdan ixtiyoriy
£>0 son uchun Q_£ da u = 0 bo'ladi. Demak, Q₀ da м = 0 ekan. Bu, o'z navbatida (1), (2) Koshi masalasi yechimi yagona ekanligini bildiradi.
Agar biz Q₀ = Q₀ = 0} sohani kuzatadigan bo'lsak, ma'ruza 6 dagi
teorema shartlari bajarilganda Q₀ =Qn{x_w W>0} = Q , chunki Q x_n>-d yarim fazoga tegishli. Shuning uchun, agar T etarlicha katta bo'lganda Koshi masalasi yechimini Q sohaga davom ettirish mumkin. Ma'ruza 12 dagi teorema
shartlari bajarilganda esa Q₀ =Qn|jc_w +d + 2~^lS§x^ bo'ladi. Shuning
uchun, Q₀ Qгл+ d>2~'SR²j to'plamni o'zida saqlaydi. 8 ni istalgancha
kichik qilib, T ni istalgancha katta qilish hisobidan yechimni istalgancha d ga yaqin qilib davom ettirish mumkin.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   To'lqin tenglamasi uchun nogiperbolik Koshi masalasi qanday qo'yiladi?
   
2. 
   Qanday shartlar bajarilganda Koshi masalasi yagona yechimga ega?
   
3. 
   Qanday shartlar bajarilganda Koshi masalasi yechimi turg'un bo'ladi?
   
4. 
   Koshi masalasi yechimini turg'unligini baholovchi tengsizlik qanday ko'rinishga ega?
   

Ma'ruza 14 To'lqin koeffitsientini aniqlashning yagonaligi
Reja

1. 
   To'lqin tenglamasi uchun teskari masalaning qo'yilishi.
   
2. 
   To'lqin koeffitsientini aniqlashning yagonaligi.
   
3. 
   Teskari masalani yechishda karleman baholashlarining tadbiqi.
   

Tayanch iboralar.
To'lqin koeffitsienti. Yagonalik teoremasi. Saviya sirti. Gyolder tengsizligi. Fubini teoremasi.
Biz quyida to'lqin tenglamasi uchun qo'yilgan qo'shimcha shartlarga asosan to'lqin koeffitsientini aniqlash masalasiga to'xtalamiz. Bu masalani quyidagi shartlar
n
U_cif + ^a^Jif_x +au = pq, q_t= 0, agar xeQ₀, (1)
2=1 ³

(2) (3)

о >

и
и = 0, ди/дп = 0, agar хеГ
= О, agar х е {0} х Q

asosida aniqlanadigan («, q) larni topish masalasiga keltiramiz. Teorema 1. Agar vazn fimksiyasi p(x) quyidagi
p>0,agar xg{0}xQ, ^^eC'jQ), c,=0,
(4)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda 14 va 15- ma'ruzalardagi
i//(x) = ехр(>_й +d( 1 - x²T~²)) -1,
(//<» = ехрГх_и + - xlT~²) + - F²)] -1
funksiyalar uchun qaralgan teoremalar sharti u,u, e(f₂²(Q) funksiyalar uchun bajarilganda (1) - (3) Koshi masalasining yechimi aynan nolga teng bo'ladi, yani Q₀ da u = 0, q = 0 bo'ladi. Isbot. s sonni
s = inf (cr: и = 0, agar xeQ_CT] (5)
shartdan tanlaymiz. Agar ^ = 0 bo'lsa, u holda har bir 0 uchun Q_CT da и = 0 bo'ladi. Shuning uchun, Q₀ da и = 0 bo'lib, teorema 1 isbot bo'ladi. s > 0 bo'lsin deb faraz qilamiz. Bu holda karleman baholashlariga asoslanib qarama - qarshilikka kelamiz. (4) shartga asosan p ning Q da tekis uzluksiz bo'lganligi uchun цг funksiya saviya sirtining tuzilishidan cre(0,^) ni s ga shunday yaqin
qilib olish mumkinki, Q_rT\(-'I','I')xQ_:; da p> 0 bo'ladi. Shuning uchun, (1) tenglamani saqlagan holda oxirgi sohada p funksiyani shunday o'zgartirish mumkinki, bu sohaning tutashmasida p musbat bo'ladi va uning (4) ko'rinishli uzluksizlik xossasi saqlanadi.
Agar u_t=v deb olsak, (3) ga asosan
t
и = jvd 6 (6)
0
hosil bo'ladi. (1) tenglamaning har ikkala tomonini p ga bo'lib, t ga nisbatan differensiallaymiz. Hosil bo'lgan tenglikni yana p gako'paytirib,
i ⁿ
U_cv-p p_tn_cu + ^b^Ju_x +av + bu = 0,agar xeQ_a (7)
7=1
tenglikka kelamiz. Agar U_cp~³p_t -p~^lp_tU_c operatorning tartibini 1 ga tengligini hisobga olsak, (5) ga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin:

(8)

□

v
- p^lp]vde + X^v ₊Ybjr)vde = 0,
' ;|о