O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari
Download 391.68 Kb.
|
O
u2 £ С2+Л(Т U Г0 U Г) .
Xuddi shunga o'xshash xn = —H giper tekislikga nisbatan toq davom ettirib, и £ С2+Я(П U Г U Гя) ekanligini isbotlash mumkin. Lemma 1. Isbot bo'ldi. Lemma 2. Agar q £ СЯ(П) bo'lib, (4), (6) shartlar bajarilsa, u holda (1), (3) masalaning С2+Я(П) sinfga tegishli yechimi mavjud, hamda bu yechim Г U ГH da u = g shartni qanoatlantiradi. Lemmaning isboti xn ga nisbatan juft davom ettirib, xuddi lemma 1 ga o'xshab isbotlanadi. Lemma 3. Agar и funksiya (1) - (3) masaladagi g va h funksiyalar (4), (5) yoki (4), (6) shartlarni qanoatlantirsa, u holda П. da и > 0, uXn > 0 bo'ladi. Isbot. и funksiyaning musbatligi maksimum qiymati prinsipiga ko'ra kelib chiqadi. (4), (5) holni qarab, uXn ni д orqali belgilaylik. (1) tenglamani va Г da (2) chegaraviy shartni xn bo'yicha differenriallab, П da Ad + qd = 0 , Г da д = gXn masalani hosil qilamiz. (l)tenglamadan (ann = 1 bo'lganda) Г0 U Гя da дХп = uXnXn = А'и + qu = A'g + qg munosabatlarni (2) shartga ko'ra hosil qilamiz. Shunday qilib, Гя da dXn = 0 Г0 da dXn > 0 shartlar (4) , (5) ga asosan kelib chiqadi. Maksimum qiymat prinsipidan (4) ga asosan д = ux >0 shart П da bajariladi. Endi (4), (6) shart bajarilsa Г0 da д = 0 chegaraviy shart hosil bo'ladi va xuddi (4), (5) shartlarga o'xshash isbotlanadi. (uj, qj) juftlik (1) - (5) masalaning q = qj, g = gj ,h = hj (j = 1,2) bo'lgandagi yechimi bo'lsin. Teorema 1. (1)- (5) masalaning g = gj bo'lganda yoki (1) - (6) masalaning g = gj , h = hj Г0 da gt > s0 shartni qanoatlantiruvchi yechimlari bo'lsa, u holda quyidagi tengsizlik o'rinli \щ + \q2-qim < C№\g2-gi\2+\n) + \h2 - /ц|1+я(Г0), tengsizlik o'rinli, bunda M = \q2\\D) + \4l\\D) + \д\2+л(дП) + |/ц|1+;1(Го) Isbot. и = u2 — щ , q = q± — q2 bo'lsin. (1) - (3) tengliklarning j = 2 tengliklaridan j = 1 bo'lgandagi tengliklarini ayiramiz: Au + q2u = u±q , П da qxn = 0, (7) 3D. da и — g2 — g± va Г0 da uXn = h2 — h± , (8) Lemma 3 dan П da щ > 0, u1Xn > 0. Agar p = щ deb olsak shauder baholashlaridan |и1|2+я(П) norma C(M) dan oshmaydi. Teorema 1 ning Г da p = gt > £0 bo'lgani uchun D X (—£, 0) da p > £t bo'ladi. Bunda £i — £i(£o> Ю- Shunday qilib, shauder baholashlarining shartlari A + q2 operator uchun bajariladi. Shuning uchun \Щ-Щ\2+Л(Т) + \Ч2-Ч1\Л(0)< < C(M) (\g2 - д±\2+л(дП) + \h2 - /ц|1+А(Г0)) (9) tengsizlik hosil bo'lib, teoremani isboti kelib chiqadi Teorema 2. (1) - (3) teskari masalaning yechimi turg'unlik xususiyatiga ega. Isbot. Buning uchun (1) - (3) masalaning yechimi uning berilganlariga uzluksiz ravishda bog'liq ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Bu masalada berilganlar ЗП da и = g Г0 da uXn = h bo'lganligi uchun glt ht bo'lgandagi yechimni (щ, qt) , g2 , h2 bo'lgandagi yechim (u2, q2) dan iborat bo'lib, \3i ~ g2\2+A(dD.) <£ |h2- К\1+Л(г0) < £ tengsizliklar o'rinli bo'lsin. Teorema 1 ga ko'ra \Щ -uJ^Cn) + \q± - q2\\D) < 2£ tengsizlik xosil qilamiz. Bu tengsizlikdan |u2 -uj^+^cn) + Iq1 - q2\X(D) 0, agar £ 0 bo'lsa. Demak, masala yechimi uning berilganlariga uzluksiz bog'liq ekan. Teorema isbot bo'ldi. Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar Teskari masala turg'unligini isbotlashda shauder baholashlarining qanday xossalaridan foydalaniladi? Ma'ruzadagi lemma 1 nima haqida? Ma'ruzadagi lemma 2 nima haqida? Ma'ruzadagi lemma 3 nima haqida? Lemma 1 da funksiyalarni davom ettirish nima uchun kerak bo'ldi? Mustaqil topshiriqlar 1. Mustaqil o'zlashtirish uchun savollar Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, у, z) = 0 tenglamaning u{x,y, 0) = g{x,y) = x + 2y, uz(x,y, 0) = h(x,y) = 2x-y2 shartda yechimini toping. Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, у, z) = 0 tenglamaning u(pc, y, 0) = g(x, y) = xey, h(x, y) = 0. Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, у, z) = 0 tenglamaning u{x, y, 0) = g(x, y)=xy + x2, uz(x, y, 0) = h(x, у) = ex + y. Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, y, z) = 0 tenglamaning u(x, y, 0) = g (x, y) = x sin у, uz (x, y, 0) = h(x, y) = cos у Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching. Au(x, у, z) = 0 tenglamaning u(x, y, 0) = g(x,y) = x3 + 2, uz(x,y, 0) = 2x2 - у shartda yechimini toping. Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching. Au(x, у, z) = 0 tenglamaning Download 391.68 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling