O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

Г U Г_ da g = 0, g £ С^(2Д), Ад < 0 g 0, dDx {0} da Ag = 0
hamda
Г₀ da Ux_n = u²_n (3)
bo'lsa, u holda a¹ = a² bo'ladi.
Teorema isbotidan oldin lemmalar keltiramiz.
Lemma 1. Teorema shartlari bajarilsa (1), (2) masalaning sinfda
yechimi mavjud.
I shot. Lemmaning isbotida chegarasi aniq bo'lgan chegaraviy masalalarning klassik nazariyasi foydalaniladi va Г ga nisbatan juft va Г₀ да nisbatan toq davom ettirishdan foydalaniladi. bundan tashqari a^J_Xn = 0 bo'lgani uchun
u_Xn £ С^(2Д)(П) bo'ladi. Lemma 2. (1), (2) masalaning yechimi bo'lsa, u holda П da > 0, ul > 0 bo'ladi.
^лп
Isbot. u^ ning musbatligi elliptik turdagi tenglamalar uchun maksimum qiymati prinsipidan kelib chiqadi.
(1) ning har ikkala tomonini x_n bo'yicha differensiallab, v = u^J_Xn desak,
П da -Ad + ah = 0 (4)
in
hosil bo'ladi.
(1) tenglamadan Г₀ и Г_ da u_XnXn ni ifodalasak va и ni Г da x_n bo'yicha differensiallab, quyidagi chegaraviy shartlarni hosil qilamiz:
Г₀ da v_Xn = a^jg - Ад > О, д_Хп Ш О, Г_ da d_Xn = 0, Г da -0 = 0. (5)
(1) tenglamaning elliptikligidan va a⁷ laming x_n ga bog'liq emasligidan д E С^(2Д)(П), д_Хп E С^(2Д) (П) bo'ladi. Zaremba-Jiro prinsipiga ko'ra д ning ekstrimumi Г da sodir bo'ladi va min д = 0.
Shunday qilib, П da u_Xn > 0, chunki д o'zgarmas emas.
Teorema isbotini keltiramiz. и = и¹ — и² bo'lsin. (1) va (2) dan
—Au + a¹u¹ + a²u² = 0
bo'lgani uchun

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

Lemma 1. Agar g £ С^Я(П) funksiya (4), (5) shartlarni qanoatlantirsa, u holda (1), (2) masalaning и yechimi С^2+я (П) sinfda mavjud va yagona bo'ladi.
I shot. [19, 197-bet] dagi teorema 5.3 ga ko'ra Л operator koeffitsientlariga qo'yilgan shartlarga asosan (oldingi ma'ruza ga qarang) И^СП) da yagona yechimga ega. Bu Dirixle masalasini П ni silliq chegarali, va bu chegara Г₀ ni o'zida saqlaydigan sohada yechsak, bu yechim щ
П da Ащ + qu_± = О, Г₀ da щ = g, щ £ С^2+Я(П) shartlarni qanoatlantiradigan yechimi teorema 1.3. [19, 157-bet] ga asosan mavjud. u₂ = и — щ deb olsak, П da Au₂ + qu₂ = 0, Г₀ da u₂ = 0, Г da u₂ = g — щ masalaga kelamiz.
u₂ funksiyani {(x', —x_n), x_n < 0} sohaga u(x', — x_n) = — u(x',x_n) formula bo'yicha davom ettiramiz. u₂ ning Г dagi qiymatlari щ ning tanlanishidan va (5) ning ikkinchisiga ko'ra С^2+Я(Г) funksiyaga qadar davom ettiriladi.
Teorema 10.1. [19, 229-bet] va teorema 12.1 [19, 235-bet] ga asosan