O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

(Gy-f_e,Gy-f_e) + My,y) = F(y) funksionalning statsionar nuqtalarini topamiz. Lagranj usuliga asosan F(y+u)-F(y) orttirmaning chiziqli qismini nolga tenglashtiramiz
(G*Gy-G* f_e+ Лу,и) = 0. Oxirgi tenglik bajarilishi uchun у_e
(G*G + AE)y = G*f_e=f_e (7)
tenglamaning biror X qiymat uchun yechimi bo'lishi kerak. Bunday X qiymatning musbat ekanligini ko'rsatamiz. {(p_k } funksiyalar sistemasi G * G -o'zaro qo'shma va musbat operatorning xos funksiyalari, {Л_к} esa xos qiymatlari sistemasi bo'lsin.
U holda ]',. va y_E larni [cp_k} sistemaga nisbatan quyidagi Fure qatorlariga yoyish mumkin

1. 
   oo
   

f_!:=YJ'k⁽Pk- У* =

2. 
   1
   

Bu qatorlarni (7) ga qo'yib,
у =—^—f_t^e
E л Л J к
Л_к+Л
tenglikni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikdan foydalanib /. 0 bo'lganda у_e qiymatda yuqorida keltirilgan funksionalning minimumga erishmasligini ko'rsatamiz. Xaqiqatdan ham,
[Gy_e- f_e,Gy_e- f_e) = {Gy^Gy_e) ₊ Cf_eJ_e)-^sJs) = Cf_eJ_e)^
°° 1 2 °° 2

CO |

n
' 1 ^л
2Л

bo'lganligi uchun (8) da X< 0 bo'lsa funksional minimumga erishmasligini ko'rish oson. Shunday qilib, X musbat bo'lganligi uchun (G*G + ae)
operatorning teskarisi - (G*G + A£')~¹ operator mavjud. Shuning uchun, y,. kvaziyechim
y_B={G*G + AE)-^lG*f_B (9)
formula orqali topiladi. (9) tenglikka asosan x_£ kvaziyechim esa
x_£=B(G*G + XE)~^lG* f_£ (10)
ko'rinishga ega. Agar f_£ eM_A bo'lsa, x_!: = A~^l f_£ bo'ladi, bundan X= 0 kelib chiqadi.
Agar /;. M _A to'plamga tegishli bo'lmasa qanday qilib mos X laming qiymatlarini topishni ko'rsatamiz. Bu holda x_£ kvaziyechim M to'plamning chegarasida joylashadi. Demak, kvaziyechim uchun
(y_EJ_E) = c².
tenglik o'rinli bo'ladi.
Kvaziyechimni aniqlovchi X ni topish maqsadida //(/.) orqali quyidagi funksiyani qaraymiz
ju(A)=((G*G + ^-^lG*f_e,(G*G + M)~^lG*f_e).
Bu funksiyani X bo'yicha differensiallaymiz va (G*G + A£')~¹ operatorning musbatligiga asosan
H'{X)=2^G*G + AE)~^XG* f_e,(G*G + AE)~^xG* f_e)<0 tengsizlikni hosil qilamiz. Endi f_£ elementning M_A ga qarashli emasligini hisobga olsak, ^(0)>C²bo'ladi. Bundan //(A)—>0, agar >oo bo'lsa. Bularga asosan, ju (/.) funksiyaning monoton kamayuvchi bo'lishi kelib chiqadi. Shuning uchun, 0<Л<со bo'lganda ju(A) = C² tenglama yagona yechimga ega bo'ladi. Bu tenglama yechimini ketma-ket yaqinlashish usuli orqali ham topish mumkin. Buning uchun biror k_(} ni tanlab, //(A) ni hisoblaymiz. Agar /л(Я₀)<С² bo'lsa,
A = -^A₀ deb olamiz. Agar /л{\)>С² bo'lsa, A = 2A₀ deb olib, keyingi ketma-
ketlik xadlarini aniqlaymiz. Shu jarayonni davom ettirib, kerakli X ni istalgan aniqlikda topish mumkin. Shuning asosida kvaziyechim ham istalgan aniqlikda topiladi.
Mavzuni o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Shartli korrekt masala uchun kvaziyechim tushunchasi nima?
   
2. 
   Kvaziyechim yordamida taqribiy yechim qanday topiladi?
   
3. 
   Qavariq to 'plamlar uchun kvaziyechim qanday topiladi?
   

Ma'ruza 8 Garmonik o'lchov va uning tadbiqi
Reja

1. 
   Doira uchun Dirixle masalasi.
   
2. 
   Ixtiyoriy sohalar uchun garmonik o'lchov tushunchasi.
   
3. 
   Doira uchun garmonik о'lchov.
   
4. 
   Garmonik o'lchovni topishda kompleks funksiyalar nazarisidan foydalanish.
   
5. 
   Garmonik o'lchovni toipshga doir misollar.
   

Tayanch iboralar.
Garmonik o'lchov. Puasson integrali. Doirada Dirixle masalasi. Puasson formulasi.
Kompleks funksiyalar uchun analitik davom ettirish masalasi yechimini turg'unligini baholash masalasi garmonik o'lchov tushunchasi bilan bog'liq. Shuning uchun biz bu mavzuda garmonik o'lchov va uning ba'zi sohalar uchun ko'rinishlarini qarab chiqamiz.
Chegarasi Г bo'lgan D sohaga z = x + iy nuqta tegishli bo'lsin. г₁₅г₂ Г ning qismlari bo'lib, Г = TJJ Г₂ va T_l П Г₂ = 0 .
Tarif. r; chiziqning D sohadagi z nuqtaga nisbatan garmonik o'lchovi deb shunday a(z) funksiyaga aytamizki, agar u r, da 1 ga teng, r₂ da esa nolga teng bo'lsa.
Agar D - R radusli va markazi koordinata boshida bo'lgan doira bo'lsa, garmonik o'lchovni topish uchun Dirixle masalasining yechimi bo'lgan ushbu Puasson formulasidan foydalanish mumkin :

(1)
bunda u(R,(p) = f x = r cos (p, y = rsin(p. Bu formuladan foydalanib doira chegarasi qismlarining garmonik o'lchovini topishimiz mumkin.

Misol 1. Yuqori yarim aylananing garmonik o'lchovi topilsin. Bu hoi uchun

f{(p)
1, agar Q<(p0, agar я <
bo'ladi. (1) formulaga asosan izlanayotgan garmonik o'lchov

^u(^r,

-dip

(2)
1 *r R²-r²
2n\R -2Rrcos(cp-y/) + r'

ko'rinishda bo'ladi.

= t belgilash kiritsak,

1 + t
Agar (/-,(f>) nuqta yuqori yarim doirada joylashgan bo'lsa, 0 <
л bo'lganligi uchun i// - cp ayirma -cp dan к-cp gacha o'zgaradi va bu
oraliqda ±ж nuqta yo'q. Shuning uchun, tg
cos(cp-ip) = -—, dip = ^ bo'lganligi uchun, (2) dan quyidagini
\ + f
hosil qilamiz

R - r
* '{R-rf+iR + rft²
R + r cp
ctg—

^ ctg-
u(z,q>) = — f
ТГ •>

\

, 1
at = — arctg n

R + r R-r

ctg-

-t

-tg.

yiv-r J
R + r^r

(P (p
ctg— + tg— 2 2 j

¹1 '
arctg
n

л r
+ arctg

1 , R-r
—arctg
n
1

R + r cp ctg—

^R + r^²
_KR-r ⁵2_y

R-r

2 dt

dz

bo'ladi.
ning bu qiymatlari uchun
t²-1
olsak, cos(<7> - if/)
t²+1' 1 + t² u(r, cp) funksiya quyidagicha aniqlanadi

u(r,
f
ТГ J

dt =
R² - r²
я %(R + r)²+(R-r)²-t²

R-r cp
ctg-

1 I ^f
= \ arctg
71

л r
+ arctg

R-r cp
tg-
_yR + r 2 j
_yR + r 2 j

Xuddi yuqoridagidek, oxirgi formuladan garmonik o'lchov quyi yarim doirada

R²-r²
и = arctg-

1

(7Г < (p < 2л)
7i 2Rr^m(p

ko'rinishda ekanligi kelib chiqadi.
Agar R = 1 bo'lsa, garmonik o'lchovni topish uchun kompleks funsiyalar
nazariyasidan foydalanish qulay. r, ning chetki nuqtalari t_x = е^щ va t₂ = e"^p-, 0 < (p_x < cp₂ < 2n bo'lsa, z = e^iq>, 0<(р<2л bo'lganligi uchun

z-t i¹^ iAe 2

u(q\,
₂,z) = — arg
71

(3)

z-t_x

funksiyaning bosh tarmog'i | z | < l da garmonik funksiyadan iborat va u r, ning garmonik o'lchovi bo'ladi. Haqiqatdan ham ~ = e"^p bo'lganda (3) formula