O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

_{^x=Yj^xk
xk=(^x,
k})
ko'rinishda yozish mumkin. U holda

1. 
   oo
   

Ax = ^\x_k cp_k, B_aAx = J^(a + A_k )^_1 Л_кх_кср_к,

2. 
   i
   

bo'ladi. A operatorning to'la uzluksiz, o'zaro qo'shma hamda musbatligidan uning xos qiymatlari haqiqiy, musbat va u yagona limitik nuqtaga ega bo'lib, bu limitik nuqta A = 0 dan iborat. Shuning uchun, {/l.} ni kamayish tartibida joylashtirish mumkinki, lim/l, =0 bo'ladi. A operatorning hamma xos
k—>00
qiymatlari musbatligidan ixtiyoriy musbat a lar uchun B_a uzluksiz operator bo'ladi va
a
tenglik kelib chiqadi.
Endi x-B_aAx ayirma
х-В_аАх = ^-\(а + Л_кГ¹ \_k(p_k =aj^(a + \)^_1 х_к<р_к,
i
ko'rinishda bo'lganligi uchun
\x-B_aA4==a{±(a + \r^lx²_nY ->0,
1
agar a—>0. Bundan B_a operatorlar oilasining regulyarizatsiyalovchi operator ekanligini hosil qilamiz. Shunday qilib, biz qaralayotgan holda (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi oilani qurdik.
A operator o'zaro qo'shma va musbat bo'lmasin, lekin (1) tenglamaning yechimi yagona. Bu holda A operator spektriga nol nuqta taaluqli bo'lmaydi. (1) ning xar ikkala tomoniga A* operatorni qo'llab,
А*Ах = А*/ = /_г (2)
tenglamani hosil qilamiz. (1) tenglama yechimining yagonaligidan (2) tenglamaning ham yechimi yagonaligi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, (1) ning yechimi yagona bo'lsin. Agar
A* Ax = 0
bo'lsa
(A * Ax_xx) = (Ax₁Ax) = \\Axf = 0
bo'ladi. Bundan x = 0 kelib chiqadi.
Shunday qilib, A o'zaro qo'shma va musbat bo'lmagan hoi, o'zaro qo'shma va musbat operatorli holga kelar ekan. Bu hoi uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi
B_a =(aE + A*A)~^l
ko'rinishda bo'ladi. (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi B_a = {ali + A)'¹ bo'lganligidan B_a ni aniqlash uchun
(аЕ + А)х = f
tenglamani yechish kerak. Demak, (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi masalalar oilasi ikkinchi tur operator tenglamalar oilasidan iborat ekan. Mavzu oxirida biz (1) operator tenglamalarni yechishda ketma- ket yaqinlashish usulidan foydalanish mumkinligini qaraymiz. Bunda A- musbat aniqlangan va o'zaro qo'shma operator bo'lib, ||^||<2 bo'lgan holga to'xtalamiz. (1) tenglamani

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

k=j
ko'rinishda olamiz. {B_n} ketma-ketlik orqali aniqlanadigan operatorlar oilasini (6) ko'rinishda oladigan bo'lsak, bu oilani (1) operator tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi oila ekanligini ko'rish qiyin emas. Haqiqatdan ham,

1. 
   oo
   

x = Yu^Xk
va Ах = ^\^хМ

2. 
   i
   

tengliklardan

00
\^xk
= St¹ - 0- ~ \Т^х~]^хм

В_яАх = ^
k=1

7=0
k=1

kelib chiqadi.
Oxirgi tenglikdan 1 imB_nAx = x ga ega bo'lamiz. Bundan [В_и}
n—>oo
operatorlarning (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operator ekanligi kelib chiqadi.
Endi A operatorning aniqlanishiga asosan \E - A\\ < 1 ni hosil qilamiz, bundan |Л_и| = и ekanligini ko'rish oson.
Umumiy ko'rinishli (1) operator tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi qilib,
В_п= м^(^Е~мА*А)^к А*
к=О
operatorlar ketma-ketligini olish mumkin. Bunda // <2\\A* A\\ bo'ladi.
Mavzuni o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Ikkinchi tur chiziqli operatorli regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
   
2. 
   O'zaro qo'shma musbat operatorli regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
   
3. 
   Ixtiyoriy ko'rinishli operator tenglamalar uchun regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
   
4. 
   Ketma- ket yaqinlashish orqali regulyarizatsiya oila qanday tuziladi?
   

Ma'ruza 7
Shartli korrekt masala taqribiy yechimini kvaziyechim
orqali aniqlash
Reja

1. 
   Shartli korrekt masala taqribiy yechimini topishda kvaziyechimdan foydalanish.
   
2. 
   Korrektlik sinfi kompakt bo'lgan shartli korrekt masalalar uchun kvaziyechimdan foydalanish.
   
3. 
   Korrektlik sinfi qavariq bo'lgan shartli korrekt masalalar uchun kvaziyechimdan foydalanish.
   

Tayanch iboralar
Kvaziyechim. Qavariq to'plam. Shartli ekstremum. Shartli korrekt masala. Qavariq programmalashtirish. Ketma- ket yaqinlashish. Uzluksizlik moduli.
Biz
Ax = f (1)
operator tenglamani qaraymiz. Bu operator tenglamani yechish shartli korrekt qo'yilgan bo'lsin. Yani uning yechimi yagona, yechimning mavjudligi tajribadan ma'lum va u yechim M to'plamga tegishli, hamda yechim berilganlarning M_A dagi qiymatlariga tekis uzluksiz ravishda bog'liq. Bunda M_A to'plam M to'plamning A operator orqali aksi.
(1) tenglamaning kvaziyechimi deb shunday xeM elementga aytiladiki,
\\Ax-f\\ = itf\\Ax-f\\. (2)
" xseM " "

tenglik o'rinli bo'ladi.
Agar (1) tenglamaning o'ng tomoni uchun uning yechimi mavjud bo'lsa, kvaziyechim (2) tenglikga asosan (1) ning aniq yechimi bilan ustma-ust tushadi. Kvaziyechim tushunchasi ma'noga ega bo'ladi, agar tenglamaning o'ng tomoni uchun yechim korrektlik sinfi bo'lgan M to'plamdan tashqarida joylashadigan bo'lsa. Agar korrektlik sinfi kompakt to'plam bo'lsa, u holda kvaziyechim hamrna vaqt mavjud, chunki uzluksiz funksiya kompakt to'plamda o'zining eng kichik qiymatiga erishadi.
Kvaziyechim tushunchasini (1) operator tenglamalarni yechishda qo'llanilishini qaraymiz. (1) tenglamaning o'ng tomoni taqriban berilgan bo'lsin. Ya'ni / funksiya o'rniga /,. berilgan bo'lib,
II /-/.I" (3)
bo'lsin. Bu hoi uchun, yani
tenglamaning kvaziyechimini x_s deb belgilab, tenglamaning aniq yechimi va kvaziyechimi x_s orasidagi yaqinlikni baholaymiz. Kvaziyechimning (2) ko'rinishda aniqlanganligidan (3) ga asosan