O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

k=0
oo
= X(-D
k=0

2k

2k+\

n-1

X„ , к+i X

A*V

A (p +

(2k)

(2fc + l)

i=l

2£-2 2k+\ n \k„ , ^X„ л к

A > +

A>

u.

(2к)

(2fc + l)

2£ 2£+l -A+ д^у
oo

(2к+ \)

yfc=0
-Z(-i)
(2*)'

bo'lganligi uchun (4) va (5) tengliklardan Au = 0 kelib chiqadi. Demak, (1),
(2) masalada (p, у/, e bo'lganda uning yechimi (3) formula orqali berilar ekan.
Endi (3) formula tadbiqiga doir misollar qaraymiz .
Misol 1. Au(x,y,z) = 0, u(x,y,0) = x + 2y, u_z(x,y,0) = 2x-y¹ masala

i//(x,y) = 2x-y²

bo'ladi.

Bundan
uchun

A°(p = x + 2y, AV = 0 bo'lganligi uchun k> 0 da A^k(p = Q tengliklarga
kelamiz. Xuddi shunday A⁰if/ = 2x- y², AV = -2, А²ц/ = 0 dan k> 2
bo'lganda А^кц/ = 0 bo'ladi. Bu topilgan A^kcp va A^ky/ larni (3) ga qo'yib, berilgan Koshi masalasi yechimini topamiz. Natijada qo'yilgan Koshi masalsining yechimi
u(x,y,z) = x + 2 у + z(2x -y²) + ^z²
ko'rinishda bo'ladi.
Misol 2. Au(x,y,z) = 0, u(x,y,0) = xe^y u_z(x,y, 0) = 0 masala uchun (p{x,y) = xe^y, y/(x,y) = 0 dan iborat. Bunda ham cp va /// funksiyalarga Laplas operatorining darajalarini qo'llasak ^(p(x,y) = xe^y, A\p{x,y) = -xe^y,
A^k(p(x,y) = xe^y, y/^k(x,y) = 0, k = 0,1,... tengliklarni hosil qilamiz. Bularga asosan (3) dan qo'yilgan Koshi masalasining yechimi
A°^ = xsin_y, l^(p = xsmy, h^k(p = {-\)^k xsmy k = 0,1,2, ,
AV = cosj>, AV = -cosj^, AV = (-1)**COSу k = 0,1,2, ,
kelib chiqadi. Shuning uchun (3) ga asosan berilgan Koshi masalasi yechimi
u(x, y,z) = x sin у chz + shz cos у
ko'rinishda ekanligini aniqlaymiz.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Ko'p o'lchamli Laplas tenglamasi qanday ko'rinishga ega?
   
2. 
   Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi qanday qo'yiladi?
   
3. 
   Laplas tenglamasi uchun Neyman masalasi qanday qo'yiladi?
   
4. 
   Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi qanday qo'yiladi?
   

Ma'ruza 3. Korrekt va shartli korrekt masalalar
Reja.

1. 
   Matematik fizika va analizning korrekt qo'yilgan masalalari.
   
2. 
   Matematik fizika va analizning nokorrekt qo'yilgan masalalari.
   
3. 
   Birinchi tur Fredgolm integral tenglamalarini yechishning korrekt qo'yilmaganligi.
   
4. 
   Analitik davom ettirish masalasi yechimining korrekt qo'yilmaganligi.
   
5. 
   Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan teskari vaqtli Koshi masalasini yechishning korrekt qo'yilmaganligi.
   
6. 
   Gravitatsiya teskari masalasining korrekt emasligi.
   
7. 
   A.N.Tixonov ma'nosida korrekt (shartli korrekt) qo'yilgan masalalar.
   
8. 
   Klassik ma'noda korrektlik va A.N.Tixonov ma'nosida korrekt qo'yilgan masalalar ta'rifi orasidagi farqlar.
   
9. 
   Gravitatsiya teskari masalasining shartli korrektligi.
   
10. 
    Analitik davom ettirish masalasining shartli korrektligi.
    

11.Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan teskari vaqtli Koshi
masalasining shartli korrektligi. 12.Tixonov teoremasi.
Tayanch iboralar
Korrekt masalalar. Korrekt bo'lmagan masalalar. Gravitatsiya. Gravitatsiya masalasi. Maydon kuchlanganligi. Uzluksiz bog'liqlik. Shartli korrekt masalalar.
Korrektlik sinfi. Yechimning yagonaligi. Yechimning turg'unligi. Tixonov teoremasi. Kompakt to'plam.
Matematik fizika masalasi Adamar (klassik) ma'nosida korrekt qo'yilgan deyiladi, agar

1. 
   masala yechimi mavjud,
   
2. 
   masala yechimi yagona,
   
3. 
   masala yechimi uning berilganlariga uzluksiz ravishda bog'liq.
   

Matematik fizika masalasining yechimi va uning berilganlari biror
funksional fazoning elementlari bo'lganligi uchun yechimning mavjudligi, yagonaligi va turg'unligi shu fazo elemetlari asosida olinadi. Shuning uchun, korrektlik shartlari quyidagicha kiritiladi:

1. 
   Masala berilganlarining C^{k\ H, L_p yoki W⁽_r'⁾ fazolarning yopiq
   

to'plam ostidagi hamrna qiymatlari uchun masala yechimi mavjud. Ko'pchilik hollarda fazoning to'plam ostisi o'rnida fazoning o'zi bo'lishi ham mumkin.

2. 
   Masala berilganlarining biror sinfdagi har bir elementi uchun yechim biror sinfda yagona.
   
3. 
   Berilganlarning C^{k\ H, L_p yoki dagi cheksiz kichik
   

variatsiyasiga yechimning biror C^{k) yoki W^<_p'^,> dagi cheksiz kichik variatsiyasi mos kelsa.
Fizik jarayonlarning matematik modellarini yaratishda nokorrekt masalalar uchrashi ancha ilgari qayd qilingan. Ammo nokorrekt masalalar hech qanday fizik jarayonlar bilan bog'liq emas deb kelingan. Bu xildagi masalalarni o'rganish o'tgan asrning 40-yillarida geofizik jarayonlarni talqin qilishda A.N. Tixonovning ilmiy ishlarida zaruriyat paydo bo'ldi. Bunda u birinchi bo'lib nokorrekt masalalarni quyilishida qo'shimcha shartlar qo'yilishi va bu shartlarni fizik jarayonlarning o'zidan kelib chikishining ta'kidlab o'tdi. Keyinchalik ko'pchilik fizik jarayonlarga mos keluvchi masalalar nokorrekt masalalardan iborat ekanligi aniqlandi. Shulardan bir nechtasini misol qilib keltiramiz.
Issiqlik tarqalish jarayoni sodir bo'layotgan sterjenda uning nuktalari temperaturasini o'lchash masalasini yoki diffuziya jarayonini kuzataylik. Har ikkala jarayon issiqlik tarqalish tenglamasi orqali yozilishini ham bilamiz. Bu masalalarda Koshi sharti sifatida asboblar ko'rsatkichi olinadi. Agar bizni issiqlik tarqalishining yoki diffuziya hodisasining kelajagi qiziqtirsa biz klassik ma'noda korrekt qo'yilgan masalaga kelamiz. Agar bizni issiqlik tarqalishining yoki diffuziya hodisasining ta'rixi qiziqtirsa biz klassik ma'noda korrekt bo'lmagan masalaga kelamiz.
Matematik fizikaning korrekt bo'lmagan masalalaridan biri bo'lgan analitik davom ettirish masalasi geofizikaning quyidagi masalasi bilan bog'liq. Er yuzida gravitatsion maydon kuchlanganligining biror komponentasini o'lchash jarayonini qaraylik. Agar er osti tuzilishidagi fundament birjinsli bo'lmagan xususiyatga ega bo'lsa, gravitatsion maydon potensiali grafigi nochiziqli bo'ladi. Maydonning potensialiga asosan fundament tuzilishini aniqlash muhim masala bo'lib, bu geofizikaning asosiy masalalaridan hisoblanadi.
Gravitatsion maydon kuchlanganligining vertikal komponentasi Laplas tenglamasini qanoatlantirganligi uchun biz analitik davom ettirish masalasiga kelamiz.
Matematik fizika masalalrini yechishdagi asosiy usullardan biri integral tenglamalar usulidir. Matematik fizikaning nokorrekt quyilgan masalalari Fredgolmning birinchi tur integral tenglamasiga keltiriladi [14, 11- bet], Matematik fizikaning korrekt qo'yilgan masalalari esa Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamasiga keltirilishi matematik fizika tenglamalari bo'yicha adabiyotlarda keltirilgan.
Ma'ruza 1 da keltirilgan Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi, issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasining ta'rixi yoki analitik davom ettirish masalasi
и

3). K(x,s) = ^—j- a = -oo, Ь = ж.
^K{x,s)u{s)ds = f(x) (1)
integral tenglamaga keltiriladi, bunda K(x,s) va a hamda b integrallash chegaralari quyidagicha aniqlanadi [12, 11-bet]
I ' ]

1. 
   . K(x,s) = — V—s h(-ky) sin kx sinks a = 0, Ь = ж
   

ж i к
chegaralanmaganligidadir. Shu sababli, и funksiyani o'lchashdagi kichik xatolar z funksiyani aniqlashda katta xatolarga olib keladi.
(1) operator tenglamani yechishning korrektligi F va U fazolarga bog'liq. Berilgan masala F va U ning ba'zi juftligi uchun korrekt bo'lsa, boshqa juftligi uchun nokorrekt bo'lishi mumkin. Lekin, (1) operator tenglamani yechish fizik masalalardan kelib chiqsa, / funksiya ixtiyoriy fazo elementlari bo'laolmaydi. Ko'pchilik hollarda F fazo С yoki l₂ bo'lishi mumkin. Matematik analizning differensiallash masalasi
X

(3)

a
integral tenglamaga keladi. Differensiallash masalasi С, C¹ va L₂, W\ fazolar jufti uchun korrekt qo'yilgan bo'lib, С, С va L₂, L₂ fazolar jufti uchun korrekt qo'yilmagan bo'ladi. Lekin f(x) ning qiymatlari С yoki L₂ fazo normasida berilganligi uchun bu masalani korrekt qo'yib bo'lmaydi.
Ma'ruza 1 da keltirilgan masalalar asosan turg'unligi bo'lmagan masalalarga misol bo'la oladi. Quyida keltiriladigan masalalar korrektlikning boshqa shartlari bajarilmaganda korrekt bo'lmagan masalalarga misol bo'la oladi.

Misol 1. = 0 tenglama yechimi

shartlar asosida topish masalasini korrekt qo'yilmaganligini isbotlaymiz.

Tenglama xarakteristik sistemasi dy — dx = 0, dy + dx = 0 bo'lib, uning xarakteristik chiziklari у — x = c_v у + x = c₂ bo'ladi.
= x + y, 7] = x — y almashtirishlar natijasida tenglamaning sodda ko'rinishi = 0 bo'ladi. Bu tenglamaning umumiy yechimi
— /(0 + F(jl) bo'lib, u(x,y) = f(x + y) + F(x — y) bo'ladi. Berilgan shartlardan foydalanib, f va F funksiyalarni topamiz
/(2x) + F(0) =
F'7]_x + + F' ■ 7]_x)
Bulardan
/(2x) + F(0) = (pipe), л/2/'(2х) = ч>(х) => fix) =

Oxirgi tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyalar cheksiz ko'p. Shuning uchun qo'yilgan tenglama yechimi yagona bo'lmaydi. Bu yechimlar