O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

Ta'rif 4. Mto'plamning hamrna limitik nuqtalaridan iborat to'plamga M ning tutashmasi deymiz.
Ta'rif 5. F metrik fazodagi Z! va z₂ nuqtalarni tutashtiruvchi kesma deb, xamma z = az₁+/?z₂ ko'rinishli nuqtalar to'plamiga aytamizki bunda, a> 0 , J3> 0 bo'lib, a + p = 1 bo'lsa.
Ta'rif 6. F metrik fazodagi M to'plam qavariq deyiladi, agar bu M to'plam xar bir zi va z₂ lar bilan birgalikda ularni tutashtiruvchi kesmani xam o'zida saqlasa.
Ta'rif 7. F metrik fazodagi {z_n} ketma-ketlik fundamental deyiladi, agar ixtiyoriy s > 0 son uchun shunday N(s) nomer topilsaki, xamma n,m >N(s) lar uchun p_F(z_n,z_m) bo'lsa.
Ta'rif 8. F metrik fazo to'liq deb aytiladi, agar undagi xar bir {-_n} fundamental ketma-ketlik F fazo elementiga yaqinlashsa.
Ta'rif 9. F fazo chiziqli deb aytiladi, agar undagi ixtiyoriy zi va z₂ uchun Zj + z₂ g F , P son va z e F bo'lsa, fiz e F bo'lib, yig'indi va ko'paytma quyidagi xossalarga ega bo'lsa:

1. 
   z₁+z₂ = z₂+z₁,
   
2. 
   z₁+(z₂+z₃) = (z₁+z₂) + z₃ ,
   
3. 
   F fazoda 0 (nol) element mavjud bo'lib, zgF bo'lganda z + OeF bo'ladi,
   
4. 
   Har bir z bilan birga F fazoda z ga qarama - qarshi bo'lgan - z element mavjud, ya'ni z + (-z) = 0 ,
   
5. 
   Ixtiyoriy a va /3 sonlarva VzgF uchun a(j3z} = (aj3)z o'rinli,
   
6. 
   Ixtiyoriy zgF uchun, 1 • z = z ,
   
7. 
   Ixtiyoriy a,P sonlarva zgF uchun (a + 0)z = az + @z bo'ladi,
   
8. 
   Ixtiyoriy p son va z_x, z_2(Ef uchun p{z._x + z₂) = [3z_x + /?z₂ .
   

Ta'rif 10. Chiziqli F fazoda z funksiyaning normasi deb ||z|| funksialga aytiladiki;

1. 
   I z I > 0 ixtiyoriy z e F uchun,
   
2. 
   I z I > 0 faqat z = 0 bo'lsa,
   
3. 
   Ixtiyoriy z_1?z₂ g F uchun Цг, + z₂|| < || zj +1| z₂|| , (uchburchak tengsizligi)
   
4. 
   Ixtiyoriy p va ixtiyoriy zgF uchun ||/?z || = |/?||| z||.
   

Agar F fazoda norma berilgan bo'lsa bu fazoni metrik fazo qilish mumkin. Buning uchun p_F(z₁,z₂) = ||z₁-z₂|| deb olish kerak. Hosil bo'lgan to'plamni
chiziqli normallashtirilgan fazo deb aytiladi.
Chiziqli normallashtirilgan fazolarga misollar keltiramiz.

1. 
   Haqiqiy z sonlarto'plami R uchun ||z||=|z|,
   
2. 
   
   
   
   b) yaqinlashuvchi - = , -₂,...,} ketma-ketliklar fazosi £₂ uchun
   
   
   - = (-,-₂,...,sonlari guruhidan iborat Evklid fazosi R"uchun
   

d) [a,b] oraliqda kvadrati bilan summalanuvchi z(x) funksiyalar fazosi

Ь₂[а,Щ uchun
и
|z²(x)dx
e) [a,b] oraliqda absolyut integrallanuvchi z(x) funksiyalar fazosi L\a,b\

uchun

и
J| z(x)\dx,
j) [a,b] oraliqda uzluksiz bo'lgan funksiyalar fazosi C[a,b] uchun
z II = max|z(jc)|

dx

dx

|z²{x)dx +1
xt[a,by
z) [a,b] oraliqda kvadrati bo'yicha summalanuvchi umumlashgan hosilaga ega bo'lgan funksiyalar fazosi Wl[a,h\ uchun

I Bob. Korrekt va shartli korrekt masalalar
Ma'ruza 1.
Matematika masalalarini yechishdagi ayrim muammolar
Reja

1. 
   Fredgolmning birinchi va ikkinchi tur integral tenglamalari.
   
2. 
   Integral tenglamaning klassik yechimi.
   
3. 
   Teskari integral operator tushunchasi va uning qo'llanilishi.
   
4. 
   Birinchi tur integral tenglamalar yechimining turg'un emasligi.
   
5. 
   Matritsaviy tenglamalar yechimining turg'unligi masalasi.
   
6. 
   Fure qatorining koeffitsientlari taqribiy berilganda uni summalash masalasining turg'un emaslili.
   
7. 
   Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining turg'un emasligi.
   
8. 
   Sohaning qismida berilgan analitik funksiyaning butun sohaga analitik davom ettirish masalasining turg'un emasligi.
   
9. 
   Gravimetriya teskari masalasi yechimining turg'un emasligi.
   
10. 
    
    
    
    a
    Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan teskari vaqtli Koshi masalasining turg'un emasligi.
    

Tayanch iboralar.
Integral tenglama. Tenglama yadrosi. Xos va xosmas matritsalar. Operator.
Teskari operator. Analitik davom ettirish. Fure qatori.Fure koeffitsientlari.
Gravimetriya. Gravimetriyaning to'g'ri va teskari masalalari.
Matematik fizika masalasini yechishda «masalaning yechimi» deganda nimani tushunamiz va bu yechimni aniqlaydigan usullar qanday shartga bo'ysunishi kerak degan savollar muhim hosoblanadi.
Ko'pchilik hollarda masalaning qo'yilishi amaliyotda keng uchraydigan jarayonlarning muhim xususiyatlarini hisobga olmaydi. Biz bu hollarni misollarda keltiramiz.
Misol 1. Yadrosi K(x,s) boTgan Fredgolmning
ko'rinishli birinchi tur integral tenglamasini qaraymiz. Bunda z(x) F fazoga qarashli noma'lum funksiya, u(x) esa и fazoga tegishli berilgan funksiya bo'lib, K(x,s) yadro va uning hosilasi ^clK/_c[_x larni x ga nisbatan uzluksiz deb faraz
qilamiz.
Agar biz
и
A = |K{x,s)z{s)ds
operatorni kiritsak, (1) tenglamani Az = u birinchi tur operator tenglama ko'rinishida yozish mumkin.
Biz (1) tenglama yechimini ( [<:/,/)] fazoda izlaymiz. Tenglamaning o'ng tomoni chetlanishini (berilganlar orasidagi farqni) kvadrati bo'yicha summalanuvchi fazo L₂ metrikasida baholaymiz, ya'ni
и
\[_Ul(x)-U₂(x)\dx
Tenglama yechimi z(s) ning chetlanishini ( [<:/,/)] fazo metrikasida baholaydigan bo'lsak, u holda
Pf(^z\>^z 2) = max\z_x (s) - z₂ (5)|
se[a,b J
normani baholashimiz kerak bo'ladi.
Fizikaning spektroskopiya bo'limiga taaluqli ko'pchilik masalalar (1) ko'rinishli integral tenglamalarga keltiriladi [31, 10-bet ]. Kuzatayotgan nurlanish chiziqli va z(s) - spektr bo'yicha energiya taksimlanishi zichligi bo'lsin. O'lchov asboblari orqali bu nurlanishni o'tkazsak, biz eksperementda aniqlanadigan u(x) spektrni aniqlagan bo'lamiz. Bunda x o'lchov apparatidagi tok kuchini bildiradigan bo'lsa va o'lchov apparaturasi chiziqli bo'lganda z(s) va u(x) orasidagi munosabat
и
Az = JK(x,s)z(s)ds = u(x)
ko'rinishda yoziladi. Bunda K(x,s) ga apparat funksiyasi deyiladi. U elementar spektrdan iborat bo'lib, Dirak 5 -funksiyasiga mos intevsivlikning spektridan iboratdir.
Endi biz (1) tenglamani yechish masalasiga to'xtalaylik. Agar biror и = и_л(х) o'ng tomon uchun - (.v) funksiya (1) tenglamaning yechimi bo'lsa,
и
|K(x,s)z_l(s)ds = щ(х)
tenglikka ega bo'lamiz.
Agar Mj(jc) o'rniga tajribadan olingan uning taqribiy ifodasi bo'lgan u(x) berilgan bo'lsa va u L₂ fazo metrikasida щ(х) ga yaqin bo'lsa, u holda (1) tenglamaning faqat taqribiy yechimi to'grisida so'z yuritish mumkin.
O'ng tomon u(x) eksperimentdan olinganligi uchun u burchakli nuqtalarga
dK
ega bo'lish mumkin. Lekin — uzluksiz hosilaga ega bo'lganligi sababli u(x)
dx
ham uzluksiz hosilaga ega bo'lishi kerak. Demak, (1) tenglamaning klassik yechimi z = A~^lu mavjud emas. Shuning uchun, (1) tenglamaning taqribiy yechimi qilib taqribiy berilganlariga asoslangan aniq yechimni olish mumkin emas. Chunki bunday yechim mavjud bo'lmasligi ham mumkin. Yuqoridagilarni hisobga olganda taqribiy yechim deganda nimani tushunish kerak bo'lgan muhim masala o'rtaga qo'yiladi.
Endi (1) integral tenglamaning aniq yechimini topishning o'ng tomonning kichik o'zgarishlariga nisbatan turg'un emasligini qaraymiz.
Agar z₂(s) = Z|(л') + Msinojs funksiya (1) tenglamaning yechimi desak, u o'ng tomoni
и

u₂
(x) = u_x sin®^
bo'lgan holgamos keluvchi yechim bo'ladi. Bunda со va N ixtiyoriy sonlar. Ixtiyoriy n soni va etarlicha katta со sonlar uchun
' d b
p_u(u₁,u₂) = |7V|< ^[^(x^s^incosdsf dx
. С a
chetlanishni istalgancha kichik qilish mumkin, chunki
ь
—>0 agar®—»oo.
a
Lekin u_x(x) va u₂(x) larga mos z_x(x) va z₂(x) yechimlarning chetlanishi
p_F(z_l,z₂) = maxIzj(s) - z₂maxlA^sinсоs\ =

bo'lib, u istalgancha katta bo'lishi mumkin. Demak, (1) tenglamaning berilganlari L₂ fazo normasida bir-biriga yaqin bo'lsa, ularga mos keluvchi yechimlar ( '[<:/,/)]
fazo normasida bir-biridan istalgancha uzoq bo'lishi mumkin ekan. Yechimni L₂ normasida ham bir-biridan uzoqda bo'lishini
О /АО