O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

Pf(z_x,Z₁) =
J | z₂(s) - z_x(s)fds > = J sin² cosds
^ a
= ^ - -^—sincoQj - a)cosw(b + a)
tenglikdan ko'rish qiyin emas.
Misol 2. Chiziqli tenglamalar sistemasi bo'lgan
Az = u (2)
tenglamani qaraylik.
Agar A matritsa xosmas, ya'ni det A bo'lsa, Kramer qoidasidan foydalanib uning yagona yechimini topish mumkin. Demak, tenglamaning yechimi uchun A matritsaning xos yoki xos emasligini tekshirish kerak. Buning uchun det A ni hisoblash kerak bo'ladi.
det A ni hisoblash uchun kamida n³ ta amalni bajarish kerak. Shuning uchun, hisoblash xatosi natijasida det ning aniq qiymatidan katta farqlanadigan &QtA ning taqribiy qiymatlarini hosil qilamiz. Shu sababli (2) sistemani yechishda shunday algoritmlarni topishimiz kerakki, u det A ni hisoblashni talab qilmasin.
Yuqoridagi (2) sistema o'rniga uning taqribiy ko'rinishi Az = u berilganda bizga (1) ning faqat taqribiy yechimi to'g'risida so'z yuritish mumkin. Taqribiy berilgan sistema yechimga ega bo'lmasligi ham mumkin. Bu hoi yechimni topishda muammo tug'diradi.

n=0
s
^П n=0
koeffitsientlari ayirmasi £ ₂ f^azo normasida quyidagicha aniqlanadi
Misol 3. Koeffitsientlari i₂ fazo metrikasida taqribiy berilgan Fure qatorini jamlash masalasini qaraylik.
f_x(t) = cosnt - /,(0 funksiyaning Fure qatori bo'lsin. Agar n> 1 da
n=0
s ⁰⁰
c_n = a_n+— va c₀ = a₀ larni olsak, f_x(t) va /₂(0 = X^C« funksiyalar Fure
^n=0 J I n=1
Bunda s ni tanlash orqali l₂ fazoda {a_nj ni {c₍₎] ga istalgancha yaqin qilish mumkin. Lekin tanlanadigan s uchun
00 2
fiit)-fiit)=^£T,~^cosnt
ayirma istalgancha katta bo'ladi. / = 0 da esa qator uzoqlashuvchi ham bo'ladi.

GO

= -\shay a
Misol 4. Laplas tenglamasi uchun yarim tekislikda Koshi masalasi quyidagicha qo'yilishini ma'ruza 2 da qaraladi:
A u(x,y) = 0
du
u(x,0) = f(x), —\_y=0=(pix) -co<jc< dy
bunda f(x) va
berilgan funksiyalar. Agar f{x) = cpix) = 0 bo'lsa, и = 0 bo'ladi. Agar f(x) = f_x(x) = 0, cp{x) = cp_l{x) = 0 bo'lsa, и = щ= 0 bo'ladi. Agar
f{x) = f₂{x) = 0,
₂{x) = — sin ax bo'lsa, yechimini ma'ruza 2 da keltirilgan
a
usul orqali yechganda uning yechimi
u₁(x,y) = -^j sin ax- shay, a>0 a
ko'rinishda ekanligini ko'rish qiyin emas.
Endi /, ni f₂ ga va (p_x ni (p₂ ga yaqinligini Cj_a ^ fazo normasida qaraymiz.
Shu sabali p_r( f\, f₂), p_c(
_},
₂) larni hisoblaymiz:
PcifJi) = sup|/(jf) - fix) I = 0,
X
PciMi) = sup|^(jf) - (p₂ix) | = -.
x a
Oxirgi tenglikda a ni etarlicha katta qilish hisobidan - ni istalgancha kichik
a
qilish mumkin. Ammo Cj_a ^ fazo normasida щ va u₂ ning bir-biridan istalgancha farq qilishini
p_c (щ, u₂) = sup|wj (jc, y) - u₂ (jc, y) | = sup
—rsin ax shay a
formuladan ko'rish mumkin. Haqiqatdan ham oxirgidan у > 0 ekanligi hisobga olinsa, щ va u₂ larning ayirmasi fazo normasida istalgancha katta
farqlanganligini ko'ramiz. Shuning uchun, bu masala ham turg'unlik xususiyatiga ega emas.
Misol 5. Sohaning qismida berilgan analitik funksiyani butun sohaga davom ettirish masalasini chekli D soha valcD (L-chiziq) uchun qaraymiz. z₀ nuqta D ning chegarasidagi nuqta bo'lib, z₀ dan L gacha bo'lgan masofa d> 0
bo'lsin. Agar f_x(z) D da analitik funksiyadan iborat bo'lsa, s>() uchun g
f₂{z) = f_l{z)-\ funksiya ham D da analitik bo'ladi. f^z), f₂{z)
z-z₀
funksiyalar L chiziqda bir-biridan \f₂(z)~ f_x(z)\<- ga farq qiladi. z₀ ning
tanlanishidan |/₂(z)-/₁(z)|<— tengsizlikni hosil qilamiz. s ni tanlash hisobidan uni istalgancha kichik qilish mumkin. Ammo D sohada
f₂(z)-f_x{z) = -?—
z-z₀
ning chegaralanmaganligini ko'rish oson.
Misol 6. Gravimetriyaning teskari masalasini qaraymiz. Jism massa zichligi uni o'rab turgan muhit massa zichligidan katta bo'lsin. Bu jismni uning og'irlik kuchining kuchlanishiga asosan aniqlash masalasiga gravimetriyaning teskari masalasi deyiladi.
Er ostidagi jism p₂ massa zichlikka ega bo'lib, zichligi p_x bo'lgan muhitda joylashgan bo'lsin. Jism va muhitning chegarasi z(x) funksiya
grafigidan iborat. Agar a dan tashqarida z(x) = -H va a da
z(x) = -H + z(x) bo'lsa, p = p₂- p_x massa zichlik natijasida er yuzida tortish kuchining potensiali v quyidagicha aniqlanadi
V = dr7, r = V(x-^)²+(Z-77)² .
s w
Bunda S-p massato'ldirib turuvchi soha.
Agar Er tortish kuchi tezlanishi g dan iborat bo'lsa,
b -H+z(x) ~ _л b , y-^2 , tt2
j -fini^u=f jin
2л- i _^J_ff drj r In i (x-4) +(Я-z(^))
dV
formula o'rinli [31, 22-bet], Bunda Ag = \_z=0 - tortish kuchining kuchlanishi
dz
dV
deyiladi. |_z=0 kattalik fizik asboblar bilan o'lchanadi. Shunday qilib, Ag
dz
kattalikka asosan z(x) ni topish masalasi qo'yiladi. Bu masalaning yechimi
, r, (x-zf+H² Az = In ^v . ⁷ = u(x)
birinchi tur integral tenglamaga keltiriladi. Shuning uchun, bu masala yechimi ham turg'unlik xususiyatiga ega emas.
Misol 7. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan teskari vaqtli Koshi masalasi quyidagicha qo'yiladi:
= {0<х<тг, 0
u(0,t) = u(x,t) = 0 t = T da u(x,T) = y/(x)
Bu masala berilganlariga ko'ra yechimning / = 0 dagi qiymati u(x,0) = ср(х) ni topish masalasini qaraymiz.
Agar y/(x) = asinnx bo'lsa masala уechimini
^гт
ko'rinishda ekanligi Fure usuli orqali topiladi. Yechimning bu ko'rinishidan qaralayotgan masala yechimi turg'un emasligini ko'rish qiyin emas.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Fredgolmning birinchi va ikkinchi tur integral tenglamalari qanday qo'yiladi?
   
2. 
   Teskari operator qanday aniqlanadi?
   
3. 
   Fure qatori qanday aniqlanadi?
   
4. 
   L₂ \ci,b\ fazodagi funksiyalar normasi qanday aniqlanadi?
   
5. 
   Gravimetriyaning to'g'ri va teskari masalalari qanday masalalar?
   
6. 
   Analitik davom ettirish masalasi qanday qo'yiladi?
   

7. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan teskari vaqtli Koshi masalasi qanday qo'yiladi va uning yechimi qanday xossalarga ega?
Ma'ruza 2.
Laplas tenglamasi uchun yarim fazoda Koshi masalasini yechish.
Reja

1. 
   Laplas tenglamasi uchun Dirixle ichki va tashqi masalalari.
   
2. 
   Laplas tenglamasi uchun Neyman ichki va tashqi masalalari.
   
3. 
   Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi.
   
4. 
   Laplas tenglamasi uchun yarim fazoda Koshi masalasi.
   
5. 
   Koshi masalasi yechimining mavjudligi, yagonaligi va turg'unligi.
   
6. 
   Koshi masalasi yechimini topishga doir misollar yechish.
   

Tayanch iboralar:
Garmonik funksiya. Laplas tenglamasi. Dirixle masalasi. Neyman masalasi. Koshi masalasi.
Biz matematik fizika tenglamalari kursida Laplas tenglamasi uchun qo'yilgan Dirixle va Neyman masalalarini qaraganmiz. Biror D sohada garmonik bo'lgan va sohaning chegarasida berilgan qiymatni qabul qiluvchi funksiyani izlash masalasiga Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi deyiladi. Sohada garmonik bo'lgan va soha chegarasida berilgan normal hosilaga ega funksiyani topish masalasiga Laplas tenglamasi uchun Neyman masalasi deyiladi. Bu masalalarni yechishda yechimning mavjudligi, yagonaligi va turg'unligi isbotlangan edi. Agar biz Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini qaraydigan bo'lsak, bu masala yuqorida keltirilgan turg'unlik xossasiga ega emasligini keyingi ma'ruzalarda qaraymiz. Biz bu ma'ruzada faqat Laplas tenglamasi uchun yuqori yarim fazoda Koshi masalasi yechimini topishning usullaridan biriga to'xtalamiz. Ushbu masala

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

(2k)\ ¹'" ⁿ~¹' (2k + X)\ 18
ko'rinishda bo'lishini ko'rsatamiz. Xaqiqatdan ham,

+ u„ .. =

x,x
Au = u„„ + + u„
и—\и—\ ^лп^лп

=E««=EH)