O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari
Download 391.68 Kb.
|
O
- Bu sahifa navigatsiya:
- Maruzani ozlashtirish uchun savollar.
- Maruza 4 Shartli korrekt masala yechimi turgunligini baholash va taqribiy yechimni oddiy tanlash usuli orqali topish Reja
|
u(x,y) =
y), shu sababli masala korrekt qo'yilmagan. Misol 2. y2uxx + yuyy +\uy = 0 (y < 0) u{x, 0) = (p{x), uy(x, 0) = ч>(х). Tenglama giperbolik turda. Tenglamaning xarakteristik sistemasi 2 (_y)-1/2 dy = +dXf _ (-y)-l/2 = ±x + C kJ ci=x + l (~УУ/2> C2 = x- 2/3(—y)3/2 xarakteristikalarni hosil qilamiz. 2 3(-y)2 belgilashlarga asosan tenglamaning sodda ko'rinishi V^ = 0 bo'ladi. Uning umumiy yechimi v(W=fi(0+f2(n) dan iborat. u(x, 0) = (p{x), 1 lim(—y)2u(x,y) = w(x) u->0 shartlardan foydalanamiz: /1W+/2W = Пт(-У)1/2 {-П[х + 2/3(—y)3/2] + f{ [x - \(-y)3/2]} = ч>(х). Agar ч>(х) ^ 0 bo'lsa, oxirgi tenglik o'rinli bo'lmaydi. Agar ч>(х) = 0 bo'lsa, u holda u(x,y) = 2 x + 3 ("У)3/2 - /2О + 2/3)(—у)3/2 + f2[x - 2/3(—y)3/2] bo'ladi, bunda/2(x) ixtiyoriy ikki marta differensiallanuvchi funksiya. Demak, bu holda masala yechimi yagona bo'lmaydi. Shu sababli qo'yilgan masala korrekt emas. Misol 3. utt = uxx tenglamaning xarakteristik to'rtburchakda berilgan Dirixle masalasini korrekt qo'yilmaganligini isbotlaymiz. Gursa masalasida xarakteristik to'rtburchakning qo'shni tomonida berilganlariga ko'ra yagona ravishda xarakteristik to'rtburchak ichida tenglama yechimini aniqlash mumkin. Shuning uchun tenglama yechimini xarakteristik to'rtburchakda aniqlash uchun soha chegarasida Dirixle shartini qo'yish shart emas. To'lqin tenglamasi uchun Dirixle sharti yagona yechimni aniqlashda ortiqchalik qiladi. Ortiqcha shartlar asosida masala yechimga ega bo'lmasligi mumkin. Bu aytilganlarga ko'ra to'lqin tenglamasi uchun Dirixle masalasi korrekt qo'yilmagan bo'ladi. Misol 4. utt = uxx 0 < x < oo u(x, 0) = 0 < x < oo u(0, t) = ч>(t), 0 < t < oo (p{0) = ч/(0), 0) = V(0) aralash masalani korrekt qo'yilmaganligini isbotlang. Bu masalaga mos bir jinsli masala nolmas yechimga ega: bunda (jL>(x,t) ixtiyoriy ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi va Matematik fizika masalasi shartli korrekt qo'yilgan yoki A.N. Tixonov ma'nosida korrekt qo'yilgan deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa: Tajribadan maTumki, qo'yilgan masalaning yechimi mavjud va u yechim biror funksional fazoning to'plam ostisi M ga tegishli, Masalaning yechimi M to'plamda yagona, M ga karashli yechim masalaning berilganlariga uzluksiz ravishda bog'liq, ya'ni masala berilganlarining yechimni M dan tashqariga chiqarmaydigan cheksiz kichik variatsiyasiga yechimni M dagi cheksiz kichik variasiyasi mos kelsa. M to'plamga masalaning korrektlik to'plami deb aytiladi. Ko'pchilik hollardaM to'plam kompakt bo'ladi. Korrektlikning klassik ta'rifi va A.N. Tixonov ma'nosidagi ta'rifi orasidagi farqni qarash muhimdir. Korrektlikning klassik ta'rifida yechimning mavjudligi isbotlanadi. Keyingi ta'rifda yechimning mavjudligi tajribadan kelib chiqadi. Yechimning yagonaligi esa xar ikkala holda bir xildir, ya'ni yagonalik teoremasini isbotlash orqali beriladi. Yechimning turg'unligi esa xar ikkala ta'rifda ham isbotlanadi. Keyingi ta'rifda esa turg'unlik korrektlik to'plami M da isbotlanadi. Yuqorida qaralgan masalalarning ayrimlarini Tixonov ma'nosida korrekt qo'yilgan bo'lishini ko'rsatamiz. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan teskari vaqtli Koshi masalasidagi noma'lum funksiya n(x,l) temperaturani, diffuziya masalasi uchun esa konsentratsiyani anglatishini bilamiz. Bu masalalar uchun yechimni mavjud deyish tabiiydir. Masalaning fizik mohiyatidan yechimni biror M to'plamga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Masalan, diffuziya masalasida | z/1 < 1 bo'ladi. С2 fazoda | w | < 1 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar klassini M desak, u kompakt to'plamdan iboratdir. Analitik davom ettirish masalasi uchun ham potensiallar xossasidan yechimni M ga qarashliligi tabiy ekanligini ko'rish mumkin. Agar shartli korrekt masala berilgan bo'lsa va korrektlik klassi M kompakt bo'lsa, masalaning yechimi yagonaligidan uning turg'unligi kelib chiqishini qaraymiz. Biz birinchi tur operator tenglama uchun kompakt to'plamda yechimning yagonaligidan turg'unligi kelib chiqishini qaraymiz. Teorema. (A.N.Tixonov) X va F Banax fazolari bo'lib, A - to'la uzluksiz operator bo'lsin. A ning aniqlanish soxasi X, qiymatlar sohasi F bo'lsin va M а X kompakt to'plamdan iborat. U holda, agar Ax = f (xel, /eF) (1) tenglama yechimi M da yagona bo'lsa, M to'plamda bu yechim berilganlarga tekis uzluksiz ravishda bog'liq bo'ladi, ya'ni ixtiyoriy s > 0 son uchun S > 0 son mavjudki, agar xl,x2eM nuqtalar I Ax1 - Ax2j < 8 tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda || 1| ~ ^ tengsizlik bajariladi. Bunday tekis uzluksiz bog'liqlik shunday co{z) funksiya mavjudligiga tengkuchliki, Итсо(т) = 0 bo'lib, \Axx - Ax:2|| M to'plamning F to'plamga A akslashdagi obrazini (aksini) MA deymiz. U holda co(t) laming eng kichigi A'1 operatorning MA dagi uzluksizlik moduli bo'ladi. Teorema isboti. Teskarisidan faraz qilamiz, ya'ni s> 0 son uchun shunday 8 > 0 son mavjudki, ? X2 e M bo'lganda -x2||, I Axx — Ax2I — ^ (2) bo'lsin. Shunday \8n} ketma-ketliklarni olamizki, lime), = 0 bo'lsin. x k e M ( / = 1,2) ketma-ketliklarni (2) ga asosan x\k ~ x2k I> s ■> I ~ Лх2к I < Sk (3) shartlarini bajaradigan qilib tanlaymiz. M to'plam kompakt bo'lganligi uchun xjk kema-ketliklardan qismiy xjk ketma-ketliklarni ajratish mumkinki: limjc , = x. , x. eM p—^00 Jkp J J bo'ladi. U holda (3) dan limitga o'tish natijasida quyidagilar kelib chiqadi 11 ~ ^ 5 || j j — 0 • Bundan Axl=Ax2 hosil bo'ladi. Oxirgi tengliklardan biz M to'plamda yechim yagona degan shartga qarama - qarshi xulosaga keldik. Bu ziddiyat teoremani isbotlaydi. Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar. Adamar (klassik) ma'nosida korrekt ko'yilgan matematik fizika masalalari qanday qo'yiladi? Klassik ma'noda korrekt qo'yilmagan masalalar qanday xususiyatga ega? Klassik korrekt masalalarga qanday fizik jarayonlar keltiriladi? Klassik korrekt bo'lmagan masalalarga qanday fizik jarayonlar keltiriladi? Qanday masalalarga shartli korrekt masalalar deymiz? Shartli korrekt masalalarning korrektlik sinfi nima? Uzluksizlik moduli nima? Uzluksizlik moduli qanday aniqlanadi? Kompakt to'plam qanday xossalarga ega? Ma'ruza 4 Shartli korrekt masala yechimi turg'unligini baholash va taqribiy yechimni oddiy tanlash usuli orqali topish Reja Matematik fizika masalalari yechimining turg'unligi tushunchasi. Masala yechimini turg'unligini majorantalari. Teskari vaqtli issiqlik tarqalish tenglamasi yechimining turg'unligi. Analitik davom etirish masalasi yechimining turg'unligi. Taqribiy berilganlarga ko'ra taqribiy yechimni topish. Korrektlik to'plami kompakt bo'lgan holda taqribiy yechimni topish. Oddiy tanlash usuli orqali taqribiy yechimni topish. Tayanch iboralar. Yechim turg'unligi. Turg'unlik boholashining majorantasi. Analitik davom ettirish. Uzluksizlik moduli. Gilbert fazosi. Oddiy tanlash. Taqribiy yechim. Kompakt to'plam. s- to'r. Aniqlik darajasi. Hisoblash qiyinchiligi. Operator tenglama. Shartli korrekt masala. Tixonov teoremasidan A operatorning MA dagi uzluksizlik moduli bo'lgan co(t) funksiyaning mavjudligi kelib chiqadi. Ammo bu teoremada qanday qilib co(t) ni topish qoidasi keltirilmagan. Ko'pchilik hollarda operatorning uzluksizlik modulini topish qiyin bo'lganligi uchun, co{z) ning biror majorantasini aniqlash bilan qanoatlanadilar. Biz teskari vaqtli Koshi masalasi va analitik davom ettirish masalasi uchun co(z) laming majorantasini tuzishni qaraymiz. Bunda biz yechimni L2 Gilbert fazosiga qarashli deb faraz qilamiz. u(x,t) funksiya quyidagi masala yechimi bo'lsin lit ~~ Ww V ЛЛ / л \ u(0, t) = u{n, t) = 0, 0 < t < T t1 J f(t) funksiyani f(t) = J™ u2(x,t)dx ko'rinishda kiritib, uning hosilalarini hisoblaymiz: n п f\t) = 2 J и ■ utdx Download 391.68 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|