O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

о J

bunda ci_a,b_a C(Q₀). Agar biz

i

(9)

w = v- p
^lp_t\vdO

funksiyani kiritsak, v ga nisbatan (9) Volter intgral tenglamasini yechib
t
о
tenglikni hosil qilamiz, bunda p funksiyaga quyilgan shartlarga asoan K<eC¹ bo'ladi. Shuning uchun, \a\ < 1 bo'lganda

D^av

(10)



w\ + \w\ +
V 0
( ¹ |Vw | +1 w | + Vw | +1w |}d6

kelib chiqadi. (9), (10) ga asosan (8) dan Q_CT sohada quyidagini hosil qilamiz

Endi (p₍₎ e ('' (R"^+]) funksiyani shunday tanlaymizki, [x : ц/ < a} to'plamda
₀=0, [x: цг<ол-crj to'plamda esa %=1 bo'lsin, bunda
о
o- = {s-S)/2. (2), (6) va (9) ga asosan ^(Qo-) bo'ladi. Shuning uchun,
ma'ruza 6 va 7 dagi teoremalarga asosan (p₀w funksiya uchun
Г j i^Mt + M² Y^W(h ^ ^C j I ^D Л<РЬ")\²
Qa Qa

e^2wdx
tengsizlikni hosil qilamiz. Agar biz |D _c(^o^w)| - C(0bX P _c ^w I⁺1 ^^w I⁺1^w |) tengsizlikni hisobga olsak, (11) dan foydalanib oxirgi tengsizlikning chap tomonidagi integrallarda integrallash sohasini toraytirish natijasida quyidagi tengsizliklarni hosil qilamiz
т J ||Vw|² + \w\²^e^2wdx J (\Vw\²+\w\²⁾)e^2TI//dx<
(12)
J |Vw|² + \w |² + j"(|Vw | +1 w I)
VQ.
Lemma 1. Har qanday g e £₂(Q_CT) funksiya uchun
f t V J \g{6)de e^2w{-^J)dt < T² J g²e^2wdx
Q_CTV0 J Qa
tengsizlik o'rinli.
Isbot. Gyolder tengsizligidan foydalanib, Fubini teoremasiga asosan quyidagini hosil qilamiz

^ t
\{\g{e)d0)²e^2T4,(-^t)dt

<\g²m\te²^^{e)dt

d6 <

(13)
о 0

T²\g²(efe^2T^^&)de.
(13) tengsizliklarda biz t-y/_t< 0 tengsizlikdan foylandik va ichki integralda у/ funksiyaning qiymatini uning eng katta qiymati ц/{в) bilan almashtirdik. Endi, Q_CT bo'yicha olingan integralni Fubini teoremasiga asosan takroriy integral ko'rinishda, awal di, keyin dx_l,...,dx_n bo'yicha yozib, dt bo'yicha olingan integralga (13) tengsizlikni qo'llasak, lemma lning isboti kelib chiqadi.
Isbotlangan lemmaga asosan (12) tengsizliklardagi g = |Vw| + |w|
/

<
funksiyadan olingan fg²d& integralni C{%) ni kattartirish hisobidan tashlash
mumkin. (12) ning o'ng tomonidagi integralni Q_ct+ct va Q_CT\Q_CT+CT bo'yicha integrallar yg'indisiga ajratib, т ni 2С dan katta qilib olsak, Q_ct+ct bo'yicha integralni tashlash mumkin. Shuning uchun, biz
т J g²e^2wdx < С J g²e^2wdx (14)
tengsizlikka ega bo'lamiz. (14) tengsizlikning o'ng tomonida /// funksiyaning qiymatini uning a + a_x dagi maksimumi bilan, chap tomonida esa uning cr + cr, minumal qiymati bilan almashtirib, tengsizlikni har ikkala tomonini exp(2r (cr + crJ) ga bo'lsak, (14) tengsizlikda eksponenta qatnashmaydi. Endi,
r —> oo bo'lganda oxirgi tengsizlikdan Q_ct+ct da g = |Vw | +1 w | = 0 tenglika ega bo'lamiz. Bu tenglikdan (6), (10) ga asosan Q_ct+ct da и = 0 tenglikka ega bo'lamiz. Bu esa s ni (5) ko'rinishdaolinishigaziddir, chunki a + a_xTeorema 1 isbot bo'ldi.
Endi to'lqin koeffitsienti c(x) ni aniqlashga qaytamiz. u_; quyidagi
masalaning yechimi bo'lsin:

(16) (17)
П Uj=f, agar x e (0,Г)х G, (15)
dUj/dN = 0, agar jce(0,T)xdG, и = и = 0, agar ie{0}xG,
bunda G -R" dagi chegarasi C^k+2 sinfga tegishli shunday sohadan iboratki,
flcG, SczdG. Biz с_; funksiyalarni t ga bog'liq emas va c.eCⁱ⁺²(Q) bo'lgan holga to'xtalamiz.

n + 5

shartni

>
Teorema 2. fe W₂^k+2((0,T)xG) bo'lib, к soni к

qanoatlantiruvchi biror sondan iborat va / funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin

D^af_t= 0, D^af_tt= 0, agar \a\

(18)

!dN = 0, /<

(K')7)

a
к-1
, agar x e (0}x 5G,

/ > 0, agar х е {0} х Q,
с = q bo'lganda ma'ruza 11 yoki 12 dagi teorema shartlari bajarilsin. Agar (15) - (17) masala yechimlari
щ = u₂, agar xe(0,T)xS (20)
shartni qanoatlantirsa, u holda Q₍₁ da c_x = c₂ bo'ladi.
Teorema 2 ning isboti uchun quyidagi lemmani keltiramiz. Lemma 2. Agar / va c\ funksiyalar teorema 2 ning shartlarini qanoatlantirsa, u holda (15) - (17) masala yechimi щ quyidagi xosalarga ega bo'ladi:
и_{ш e} С² ([0,Г] x G), □ _C2 u_{utt e} ((0,Г)x G). Isbot. (15), (16) tenglamalarni t bo'yicha differensiallab u_Jt,u_Jtt,u_Jm
funksiyalar uchun t = 0 bo'lgandagi Koshi berilganlarini (15) va (17) lar orqali ketma - ket ifodalab v = u_Uu funksiya uchun
^Ci^v_tt-^Av = fm, (0, r)x G
dv/dN = 0, (0 ,T)xdG, (21)
^{v = V}t=^ci¹(ftt^+A(^ci¹f)\ ^агаР -*e{0}xG
aralash masalaga kelamiz. Giperbolik masalalar nazariyasidan maTumki, [18, Ill-bet] f\ va c, funksiyalar teorema 2 shartlarini qanoatlantirsa, u holda (21)
Yl 3
masalaning yechimi v e^|[0,r]xGj bo'ladi. k-\> boTganligi uchun
[50, teorema2.5.8, 81-bet] ga asosan veC²^[0,r]xGj bo'ladi. Buesa lemma2
ning birinchi qismini isbotlaydi. Lemmani 2 ning ikkinchi qismini isbotlash uchun 7 = 1 bo'lganda (15) dan quyidagini hosil qilamiz

(19)
^D _C2 ^UXm = (^C2 - ^С>шп + ^Пс^иш = (^c2 - ^Cl)^Ulttttt + flttt ■
Bu tenglikdagi birinchi hadning [0,r]xG da uzluksizligi lemmaning birinchi
qismidan, ikkinchi hadining uzluksizligi esa / ga nisbatan teorema 2 dagi
shartlardan va yuqorida ko'rsatilgan teorema 2.5.8 dan kelib chiqadi.
Teorema 2 ning isboti. (15) - (17) masala yechimlarini / ning manfiy qiymatlarida u_/(-i) = и ft), f{-t) = fit) qilib davom ettiramiz va davom
ettirilgan funksiyalar uchun eski belgilashlarni saqlaymiz. (17) shartlarga asosan davom ettirilgan funksiyalar (-T,T)xG sohada (15) shartni qanoatlantiradi.
7 = 2 bo'lgandagi (15) tenglamadan / = 1 bo'lgandagi (15) tenglamani ayirib, u = u₂-u_r, q = c₂-c_l belgilashlar kiritsak, Q₀ da
tenglamani hosil qilamiz. Bulardan tashqari (16) , (17) va (20) dan (2), (3) shartlarning bajarilishini ko'rish oson. Lemma 2 ga asosan p = u_ltt funksiya (4) regulyarlik shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun, (15) tenglamadan va (17) shartdan {0}xQ sohada ^c\^u\_tt ⁼ f tenglamaga kelamiz. Endi (19) shartdan
teorema 1 ning (4) sharti kelib chiqadi. Teorema 1 ning oxirgi sharti esa, T ga nisbatan teorema 2 dagi shartdan kelib chiqadi.
Demak, teorema 2 ning isboti teorema 1 ga asosan isbot bo'ladi. Agar g₀,g_l lar noldan farqli bo'lsa, c{x) to'lqin koeffitsientini aniqlashning yagonaligini teorema 2 dan hosil qilish mumkin. Biz buning isbotiga to'xtalmaymiz.
Ma'ruzani o'zlashtirishga doir savollar.

1. 
   To'lqin koeffitsientini aniqlash uchun qanday ko'rinishda teskari masalalar qo'yiladi?
   
2. 
   Teskari masalani o'rganishda karleman baholashlari tadbiqi qanday?
   
3. 
   To'lqin koeffitsientini aniqlash qanday masalaga teng kuchli?
   

Ma'ruza 15
Giperbolik tenglamalar sinfi uchun karleman baholashlari.
Reja
1. Ikkinchi tartibli giperbolik tenglamalar uchun karleman baholashlarini tuzish.

2. 
   Giperbolik tenglamalar uchun psevdo-qavariqlik.
   
3. 
   Karleman baholashlarini tuzishda Xyormander teoremasidan foydalanish.
   

Tayanch iboralar
Tekis elliptiklik, energiya integrali, vazn funksiya, Karleman baholashlari. Differensial operatorlarning bosh qismi.
Bu ma'ruzada koeffitsientlari a^ik £
aⁿⁿ > £_0> a^jn = 0 agar j Ф n. a^jk = a^kj, a^j,aeL_m(Q) (1)
bo'lgan chiziqli
A = d²/dt² - J%_ik=1 a^jk(x, t)d²/dxjdx_k + a^j(x, t)d/dx + a (2) operatorni qaraymiz. Bunda Q va Q₀ sohalar ma'ruza 10 da keltirilgan. Teorema 1. ч>(х) vazn funksiyani

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

bo'ladi.