O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

A operatorning у o'zgaruvchida bosh qismini P orqali, a^;k, ч> ni b^lk, (p orqali belgilaymiz. Natijada
n
P(у, О = -Co² + Yj ^bJkW^{k + 4dT}~²' ~ ^4dT~⁴y°ti> j,k=l
(p{y) = _е^лУп - l , V<p = (0,0,... ,0, Я е^Лу") (10)
80
С = tfo.Zi,-, tn-1, tn + iy), У = тЛ е^Луп
bo'ladi.
Lemma 1. (4), (5) shartlardan ma'ruza 12 dagi Xyormander teoremasining shartlari bajariladi. Ya'ni H(y, 0 bo'ladi. Lemma 1 ning isboti. Ma'ruza 12 dagi

dP m(y,0
dti

d? _m(y,Q dy.

PiP(y,0 =

, Pmjiy, 0 =

va (10) shartlardan
n
p(") = -2(o + B(_n> ?W = 2 l
j=i
p (n) _{= FCn} + _Bf₀
bunda
В = 4d.T~²y_0> F = 2bⁿⁿ - M²T~²yl . Xuddi shunga o'xshash

в -

+
_ Vtt-1 uJ^kc с с с J^lu г2
Рг — YIj,k=i fiffe + _0n +-F_y^_n .
Ma'ruza 12 dagi 13 formulalardan va (11),(12),(13) lardan elementar hisoblashlar orqali H(y; Q formula uchun quyidagi tenglikni hosil qilamiz А~¹е~^ЛупН(у; О = + £f₀)² + AF²y² +
71—1
" ^ by₀^_n - (b™ - 8d²T^-4yo)(y²) - \&²T~²^, jk=1
-[(2(b™ - 8d²r-⁴y₀)fn " 4dT-%)(2f₀ - BU +

= X(-D 19
|| 1| ~ ^ 31
\l, 0<(р<7Г 68
0, 123
1, 123
2,—<в<2п A 123

~ ir_H(_) ^qpdF ~ q$odp/dx_ndx > 0.
Chunki qavs ichidagi ifoda nolga teng va oxirgi ikkita hadlar manfiy. Haqiqatdan ham (1) shartlarga ko'ra va П_ ning aniqlanishiga asosan bu integrallar nomusbat. Agar bu integrallar Г_я(_) va П_ bo'yicha nolga teng bo'lsa, u holda (1) va (8) hamda П_ ning aniqlanishiga ko'ra Г_я (—) da p = 0, П_ da др/дх_п = 0 shuning uchun П_ da p = 0 bo'lib, Supp p = П ga qarama - qarshi bo'ladi.
Hosil qilingan qarama - qarshilikdan q = 0 va (2) Dirixle masalasining yagonaligidan и = 0 kelib chiqadi.
Natija. Agar A operator oldingi ma'ruza teoremasi va shu ma'ruza teorema- 1 ning shartlarini qanoatlantirsa, u holda oldingi ma'ruzadagi (4) tengsizlik |u|°(/3) hadsiz hamto'g'ri bo'ladi.
Isbotni teskarisidan faraz qilamiz. Bu holda shunday Uj va qj ketma -
ketliklar mavjudki, ular uchun

1 = \Uj
,2+A.
\П) + 1_4j\\n) >j(\fj\\n) + \gj\²⁺\n)) + Ы^1+Я(Го)-
fj, gj, hj funksiyalar qaralayotgan normalarda j oo da nolga intiladi. Uj ketma - ketliklar С^2+Л(П) da qj ketma - ketliklar С^Л(П') da chegaralangan bo'lganligi uchun shunday Uj_k, q_jk ketma - ketliklar mavjudki ular C²(fl), C°(n')dau vaq gayaqinlashadi [19, 228-bet],
^ujk>4jk laming normasi С^2+Л(П), С^Л(П') fazolarda chegaralangan. Shuning uchun и £ С^2+Л(П), q £ С^Л(П') oldingi ma'ruzadagi (2), (3) tengliklarda limitga o'tsak, (u, q) (2), (3) masalaning f = 0, g = 0, h = 0
shartlardagi yechim bo'ladi. Shu ma'ruzadagi teorema 1 ga ko'ra и = 0, q = 0 bo'ladi.
Shauder baholashlariga ko'ra |Uj_k|° normalarning limiti \и\°(П) > С^-1. Ikkinchi tomondan bu limit \и\°(П) = 0. Bu qarama - qarshilikdan natija isboti kelib chiqadi.
Oldingi ma'ruzadagi teskari masalaga qaytaylik
Au = pq + f, dq/dx_n = 0 x E (П) (9)
du
и = g x E дП , -— = h, x E Г₀ . (10)
ox_n
Teorema 2. Ma'ruza 20 va maruza 21 dagi teoremalarning shartlari bajariladigan bo'lsa, u holda (9), (10) masalaning yechimi turg'un bo'ladi.
Isbot. Buning uchun (9), (10) masalaning yechimi uning berilganlariga uzluksiz bog'liqligini ko'rsatishimiz kerak.
(9), (10) masalada berilganlar f, g, h lardan iborat. f_t, g_lt h_t lar uchun yechim (щ , q₁), f₂, g₂, h₂ lar uchun yechim (u₂ , q₂) bo'lsin. Berilganlar orasidagi farq:
\f₁-f₂\Kn)<£, \g_± - д₂\^2+л < £, \h_± — h₂\^1+A(T₀ ) < £,
ko'rinishda bo'lsa, shauder baholashlaridan
\щ-и₂\^2+л(П) + \_Ч1-_Ч2\^л(П')<
< (lA -f₂\^xw + \9i -д₂\^2+л(дП) + |h_±- h₂|^1+я(г₀)) < с ■ 3£ ^ о
agar £ 0 bo'lsa.
Teorema isbot bo'ldi.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Elliptik turdagi tenglamalar uchun manba'ni aniqlash teskari masalasi nimadan iborat?
   
2. 
   Manba'ni aniqlash teskari masalasi nimaga asosan yagonalik isbotlanadi?
   
3. 
   Manba'ni aniqlash teskari masalasi turg'unligi nimaga asosan isbotlanadi?
   

Ma'ruza 22
Manba'ni aniqlash teskari masalasi yechimining mavjudligi haqida.
Reja

1. 
   Parametrga nisbatan davom ettirish usuli yordamida shauder baholashlariga asosan teskari masalalar yechimining mavjudligini isbotlash.
   
2. 
   Parametrga nisbatan davom ettirish usuli bilan mavjudlik teoremasini isbotlash.
   

Tayanch iboralar.
Operatorning xos qiymatlari, to'liq xos funksiyalar sistemasi, Sobolyevning joylashtirish (вложение) teoremalari, kompakt joylashish, qoplama, taqsimot (разбиение), ochiq to'plam, yopiq to'plam.