O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi
To’la va o’rtacha xarajatlar egiluvchanligi
Download 1.79 Mb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3. Asosiy integrallar jadvali. Tayanch ibora va tushunchalar
- boshlang’ich (dastlabki) funksiyasi
- 2. Aniqmas integral va uning xossalari.
- funksiyaning aniqmas integrali
- Aniqmas integralning xossalari
- 3. Asosiy integrallar jadvali.
- Mustahkamlash uchun savollar
- 1. Sonli qatorlar haqida. 2. Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi. 3.Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti)
- - hadi
- 2. Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi.
- 3. Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti) Teorema.
- 4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari 1) Qator yaqinlashishining taqqoslash belgisi
5. To’la va o’rtacha xarajatlar egiluvchanligi. Korxona biror mahsulotdan birlik miqdorda ishlab chiqarsa va x k to’la xarajat funksiyasi aniqlangan bo’lsa, to’la xarajat egiluvchanligi ) 7 ( , : ) ( x K dx dK dx dK K x E K E k x bo’ladi, demak, to’la xarajat egiluvchanligi limitik xarajatning o’rtacha xarajatga nisbatini ifodalaydi.. O’rtacha xarajat x K b lsa, uning egiluvchanligi, ) 8 ( , 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 2 2 K E dx dK K x x K dx xdK K x x K dx dK x x K x dx x E x x ladi, demak, o’rtacha xarajat egiluvchanligi to’la xarajat egiluvchanligidan 1 ga kam ekan. 1 T E bo’lsa, o’rtacha xarajat egiluvchanligi 0 ga teng, ya’ni 0 ) ( E x bo’lib, o’rtacha xarajat o’zgarmasligini bildiradi. Bundan ) 9 ( . 0 x K dx dK yoki K dx dk x Shunday qilib, to’la xarajat egiluvchanligi 1 ga teng bo’lsa, to’la limitik xarajat o’rtacha xaraj 22-ma’ruza. Aniqmas integral va uning xossalari Reja 1. Boshlang’ich funksiya va uning xossasi. 2. Aniqmas integral va uning xossalari. 333 3. Asosiy integrallar jadvali. Tayanch ibora va tushunchalar Boshlang’ich funksiya, aniqmas integral, integrallash, aniqmas integral xossalari, asosiy integrallar jadvali. 1. Boshlang’ich funksiya . Ma’lumki matematikada amallar juft-juft bo’lib uchrab keladi. Jumladan, qo’shish va ayirish, ko’paytirish va bo’lish, darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish va boshqalar. Funksiya hosilasini topishga yoki differensialash amaliga teskari amal bormikan degan tabiiy savol tug’iladi. Differensial hisobda funksiya berilgan bo’lsa, uning hosilasini topishni qaradik. Haqiqatda ham fan va texnikaning bir qancha masalalarini hal etishda teskari masalani yechishga to’g’ri keladiki, berilgan ) (x f funksiya uchun shunday, ) (x F funksiyani topish kerakki, uning hosilasi berilgan ) (x f funksiyaga teng bo’lsin. Ma’lumki, bunday ) (x F funksiyaga berilgan ) (x f funksiyaning boshlang’ich (dastlabki) funksiyasi deyiladi. Masalan, 4 x x f y funksiyaning boshlan ich funksiyasi, 5 5 x x F ladi, chunki x f x x x F 4 5 ) 5 ( bo’ladi. 2. Aniqmas integral va uning xossalari. Ta’rif. ) (x F funksiya biror oraliqda ) (x f funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, C x F ) ( (bunda C ixtiyoriy o’zgarmas) funksiyalar to’plami shu oraliqda ) (x f funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va C x F dx x f ) ( ) ( bilan belgilanadi. Bu yerda ) (x f integral ostidagi funksiya, dx x f ) ( integral ostidagi ifoda, integrallash o’zgaruvchisi, integral belgisi deyiladi. Demak, dx x f ) ( simvol, ) (x f funksiyaning hamma boshlang’ich funksiyalari to’plamini belgilaydi. Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amaliga integrallash deyiladi. Aniqmas integralning xossalari: 1) aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga, differensiali esa integral ostidagi ifodaga teng, ya’ni ; ) ( ) ( ) ( ) ( dx x F dx x F d x f dx x f 2) biror funksiyaning hosilasidan hamda differensialidan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng, ya’ni . ) ( ) ( ) ( ) ( C x F x dF C x f dx x f Bu xossalar aniqmas integralning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. Haqiqatan, 1- xossadan ) ( 0 ) ( ) ( ) ( x f x F C x F dx x f b ladi. (Qolganlarini keltirib chiqarish o’quvchiga havola etiladi). Bu xossalardan differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar ekanligini payqash mumkin. 3) zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin, ya’ni 0 const K bo’lsa, ; ) ( ) ( dx x f K dx x Kf 334 4) chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas integrali, shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 dx x f dx x f dx x f dx x f x f x f 3. Asosiy integrallar jadvali. Berilgan funksiyaga asosan uning boshlang’ichini topish, berilgan funksiyani differensiallashga nisbatan ancha murakkabroq masaladir. Differensial hisobda asosiy elementar funksiyalarning, yig’indining, ko’paytmaning, bo’linmaning hamda murakkab funksiyalarning hosilasini topishni o’rgandik. Bu qoidalar istalgan elementar funksiyalarning hosilasini topishga imkon berdi. Elementar funksiyalarni integrallashda esa differensiallashdagidek umumiy qoidalar yo’q. masalan, ikkita elementar funksiyalar boshlang’ichlarining ma’lum bo’lishiga qaramasdan, ular ko’paytmasining, bo’linmasining boshlang’ichini topishda aniq bir qoida yo’q. Integrallashda integral ostidagi ifodaning muayyan berilishiga qarab, unga mos individual usullardan foydalanishga to’g’ri keladi. Boshqacha aytganda, integrallashda ancha kengroq fikr yuritish kerak bo’ladi. Funksiyani integrallash ya’ni boshlang’ich funksiyani topish metodlari bir qancha shunday usullarni ko’rsatadiki, ular yordamida ko’p hollarda maqsadga erishiladi. Integrallashda maqsadga erishish uchun quyidagi asosiy integrallar jadvalini yoddan bilish zarur. . ) ln( ) 13 ; 0 , ln 2 1 ) 12 ; sin 1 ) 11 ; cos 1 ) 10 ; arcsin 1 ) 9 ; 1 1 ) 8 ); 1 0 ( , ln ) 7 ; ) 6 ; sin cos ) 5 ; cos sin ) 4 ; ln 1 ) 3 ; ) 2 ; 1 , 1 ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 C k x x k x dx a C a x a x a a x dx C ctgx dx x C tgx dx x C a x dx x a C a x arctg a dx x a a C a a dx a C e dx e C x xdx C x xdx C x dx x C x dx n C n x dx x x x x x n n Bu formulalarning to’g’riligini, tekshirish tengliklarning o’ng tomonidagi ifodalar differensiali integral ostidagi ifodaga teng ekanligini ko’rsatishdan iboratdir. Masalan, . 1 ) 1 ( 1 1 1 1 dx x dx n x n dx C n x C n x d n n n n Integrallashga bir necha misollar qaraymiz. 1-misol. dx x x ) 9 sin 5 ( 3 integralni hisoblang. Yechish. Integralning 4 va 3 xossalariga asosan, 335 dx dx x dx x dx x x 9 sin 5 ) 9 sin 5 ( 3 3 bo’ladi. Asosiy integrallar jadvalidagi 1), 2), 4) formulalarga asosan, . ) ( 9 9 ), cos ( 5 sin 5 , 4 3 2 1 4 3 C x dx C x xdx C x dx x Demak, ) 9 5 ( 9 cos 5 4 ) 9 sin 5 ( 3 2 1 4 3 C C C x x x dx x x . Yuqoridagi integralni hisoblashda har bir uchta integralda o’zining ixtiyoriy o’zgarmasini qo’shdik, lekin oxirgi natijada bitta ixtiyoriy o’zgarmasni qo’shamiz, chunki 3 2 1 , , C C C ixtiyoriy o’zgarmaslar bo’lsa, 3 2 1 9 5 C C C C ham ixtiyoriy o’zgarmas bo’ladi, shuning uchun, oxirgi natijani quyidagicha yozamiz: C x x x dx x x 9 cos 5 4 ) 9 sin 5 ( 4 3 . Integralning to’g’ri hisoblanganligini tekshirish uchun oxirgi tenglikning o’ng tomonini differensiallash bilan ko’rsatish mumkin(buni bajarishni o’quvchiga havola etamiz). 2-misol. dx x x 2 3 3 1 2 1 integralni hisoblang. Yechish. Manfiy daraja xossasidan, hamda 4) xossadan foydalanib, jadvaldagi 1) formulaga asosan, C x x C x x C x x dx x dx x dx x x dx x x 3 3 1 3 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 3 1 3 1 2 1 2 1 1 3 2 3 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 ladi. 3-misol. x x dx 2 2 cos sin 3 integralni hisoblang. Yechish. 1 cos sin 2 2 x x ayniyatdan hamda integralning 3) va 4) hossalaridan foydalanib hisoblaymiz: . ) ( 3 sin 1 3 cos 1 3 cos sin cos 3 cos sin sin 3 cos sin cos sin 3 cos sin 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C ctgx tgx dx x dx x dx x x x dx x x x dx x x x x x x dx 4-misol. 2 5 x dx integralni hisoblang. 336 Yechish. Jadvaldagi 9) formulaga asosan, . 5 arcsin ) 5 ( 5 2 2 2 C x x dx x dx Mustahkamlash uchun savollar 1. Boshlang’ich funksiya qanday funksiya? 2. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral orasida qanday bog’lanish bor? 3. Integrallash amali nima? 4. Aniqmas integral qanday xossalarga ega? 5. Asosiy integrallar jadvali nimalardan iborat? 6. Integrallash to’g’ri bajarilganligini qanday tekshirish mumkin? Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar Qatorlar -ma‘ruza mashg‘ulotlari “Sonli qatorlar va ularning ayrim yaqinlashish belgilari”mavzu bo‘yicha tayanch konspekt Reja. 1. Sonli qatorlar haqida. 2. Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi. 3.Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti) 4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari. 5. Ishoralari almashinuvchi qatorlar(Leybnis qatori). 6. Absolyut va shartli yaqinlashish. 1. 1-ta’rif. ,... , ... , , , 3 2 1 n u u u u sonlar ketma-ketligidan tuzilgan 1 3 2 1 ... ... n n u u u u u (1) cheksiz yig’indiga sonli qator deyiladi. ... , , ... , , , 3 2 1 n u u u u larga qatorning hadlari, n u ga esa, n - hadi yoki umumiy hadi deyiladi. Qatorlarga bir necha misollar keltiramiz: 1 ... 1 ... 3 1 2 1 1 1 ) 1 n n qatorga garmonik qator deyiladi; . 3 6 7 7 . 12 ; 3 3 9 5 . 11 ; 16 . 10 ; 49 . 9 4 5 9 4 . 8 ; sin 3 5 . 7 ; 5 1 5 . 6 ; 1 . 5 ; 3 . 4 1 1 . 3 ; 5 4 . 2 ; 6 5 . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 3 2 4 8 dx x x dx x x x dx x dx dx x x dx x x tg dx x dx x e e dx x x x dx x x dx x x dx x x x x x x 337 1 3 2 ... 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 2 n n qator birinchi hadi 2 1 1 a , maxraji 2 1 q bo’lgan geometrik progressiyani ifodalaydi; 1 ... 1 ... 3 1 2 1 1 1 ) 3 n n 2. Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi. Sonli qator ta’rifidan ma’lumki, uning hadlari cheksiz ko’p bo’lib, qator yig’indisini oddiy yo’l bilan qo’shib, topib bo’lmaydi. Shuning uchun qatorning yig’indisi tushunchasini kiritamiz. (1) qator hadlaridan n n S u u u u S u u u S u u S u .... ,..., , , 3 2 1 3 3 2 1 2 2 1 1 1 qismiy yig’indilarni tuzamiz. 2-ta’rif. S S n n lim chekli limit mavjud bo’lsa, S ga qator yig’indisi deyiladi va qator yaqinlashuvchi deb ataladi. Chekli limit mavjud bo’lmasa, qatorning yig’indsi bo’lmaydi va u uzoqlashuvchi deyiladi. Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari ) ... ... 2 1 n a a a qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi S bo’lsa, istalgan c 0 son uchun, ... ... 2 1 n ca ca ca qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi cS bo’ladi; ) ... ... ... ... 2 1 2 1 n n b b b a a a a qatorlar yaqinlashuvchi va mos ravishda S S , yig’indalarga ega bo’lsa, ... ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 1 n n b a b a b a qator ham yaqinlashuvchi va yig’indisi ( S S ) dan iborat bo’ladi; s) ... ... ... 1 3 2 1 n k k u u u u u u (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, ... ... 1 n k k u u u (3) qator ham yaqinlashuvchi va aksincha (3) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (2) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. 3. Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti) Teorema. ... ... 2 1 n u u u (4) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, 0 lim n n u 338 shart bajariladi. 4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari 1) Qator yaqinlashishining taqqoslash belgisi ) 6 ( ... ... ) 5 ( , ... ... 2 1 2 1 n n v v v u u u qatorlar uchun ,... ,..., , 2 2 1 1 n n v u v u v u tengsizliklar hamma n lar uchun bajarilib: (6) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (5) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi va uning yig’indisi (6) qator yig’indisidan katta bo’lmaydi; (5) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, (6) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi. Download 1.79 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling