O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi
Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega
Download 1.79 Mb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika
Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega 1.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagonadir. 2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan. Eslatma. Chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lmasligi mumkin. 3. n x va n y soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b limitlarga ega bo’lsa, ularning algebraik yig’indisi ham yaqinlashuvchi bo’lib, b a limitga ega bo’ladi. 4. n x va n y soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b limitlarga ega bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limiti b a ga teng bo’ladi. 5. n x va n y soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b limitlarga ega bo’lsa, ularning nisbati ham maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti b a ga teng bo’ladi. 16-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiya haqida asosiy tushunchalar” mavzu bo‘yicha tayanch konspekt Reja 316 1. O’zgarmas va o’zgaruvchi miqdorlar. 2. Funksiya tushunchasi. 3. Funksiyaning berilish usullari. 4. Funksiyaning ayrim hollari 5. Funksiyaning limit iva uning asosiy xossalari. 6. Aniqmasliklar va ularni ochish. 1. O’zgarmas va o’zgaruvchi miqdorlar. Qaralayotgan jarayonda bir xil son qiymatlarini qabul qiladigan miqdorlarga o’zgarmas miqdorlar deyiladi. Masalan, qanday radiusli aylana olmaylik, uning uzunligining deametriga nisbati bir xil sondan iborat bo’ladi. Bu holda nisbat o’zgarmas miqdordir. Qaralayotgan jarayonda har xil son qiymatlari qabul qiladigan miqdorlarga o’zgaruvchi miqdorlar deyiladi. Masalan, havo harorati (temperaturasi), vaqt, harakatning tezligi o’zgaruvchi miqdorlardir. Bunday misollarni ko’plab keltirish mumkin. Hamma o’zgaruvchi miqdorlarni birdaniga o’rganib bo’lmaydi. Endi ikkita o’zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog’lanishni qaraymiz. 2. Funksiya tushunchasi. Funksiya tushunchasi matematikaning eng asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, uning yordamida tabiat va jamiyatdagi ko’p jarayon va hodisalar modellashtiriladi. Matematik tahlilda elementlari haqiqiy sonlardan iborat, bo’lgan to’plamlarni qaraymiz. X va Y lar haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. X x to’plamda, Y y to’plamda o’zgarsin. Ta’rif. X x har bir x ga biror qoida yoki qonun bo’yicha Y y dan bitta y mos qo’yilsa, X to’plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va u ) (x f y simvol bilan belgilanadi. Ayrim hollarda xf y ham deb belgilanadiki, bunda kompyuterda oldin x qiymati olinib, keyin hisoblanadigan simvol olinadi. Bunda X to’plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, Y to’plamga o’zgarish sohasi yoki qiymatlar to’plami deyiladi. Odatda funksiya aniqlanish sohasini D , qiymatlar to’plamini E bilan belgilanadi. 3. Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta’rifida keltirilgan x o’zgaruvchining har bir qiymatiga mos qo’yiladigan y ni aniqlovchi qoida yoki qonun turlicha bo’lishi mumkin. Demak, funksiyaning berilishi ham turlichadir. Funksiya analitik, jadval va grafik hamda kompyuter usullari yordamida berilishi mumkin. 4. Funksiyaning ayrim hollari 1. Oshkor va oshkormas funksiyalar. Funksiya ) (x f y ko’rinishda, ya’ni y ga nisbatan yechilgan bo’lsa, unga oshkor funksiya deyiladi. Funksiya 0 ) , ( y x F ko’rinishda berilgan bo’lsa, ya’ni y ga nisbatan yechilmagan bo’lsa, oshkormas funksiya ko’rinishda berilgan deyiladi. 2. Murakkab funksiya. ) (u f y bo’lib, ) (x u funksiya berilgan bo’lsa, y funksiyaga ) (x funksiyaning funksiyasi yoki y ga x ning murakkab funksiyasi deyiladi. 3. Teskari funksiya. ) (x f y funksiya berilgan bo’lsin. y funksiyaning qiymatlar to’plamidagi har bir qiymatiga x argumentning aniqlanish sohasidan bitta qiymati mos qo’yilgan bo’lsa, berilgan funksiyaga teskari ) ( y d x funksiya berilgan bo’ladi va ) ( ) ( d E f D va ) ( ) ( d D f E har bir ) ( ) ( 0 d E f D x va ) ( ) ( 0 d D f E y bo’lib. ) ( 0 0 x f y faqat ) ( 0 0 y d x uchun bajariladi. 5. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari 1. 1-ta’rif. ) (x f y funksiya a x nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, istalgan 0 son uchun shunday 0 son mavjud bo’lsaki, a x tengsizlikni 317 qanoatlantiradigan barcha a x nuqtalar uchun A x f ) ( tengsizlik bajarilsa, A chekli son ) (x f y funksiyaning a x nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi A x f a x i A x f a x ) ( ) ( lim bo’ladi. (1) Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki a x cheksiz kichik bo’lganda A x f ) ( ham cheksiz kichik bo’ladi. 2-ta’rif. ) (x f y funksiya, x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 0 son uchun shunday, 0 N mavjud bo’lsaki, N x tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun A x f ) ( tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas A son, ) (x f y funksiyaning x dagi limiti deyiladi, va A x f x ) ( lim (2) bilan belgilanadi. 1-ta’rifda faqat a x yoki a x bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va ) ( lim 0 x f a x , ) ( lim 0 x f a x (3) bilan begilanadi. 3-ta’rif. Limiti 0 A bo’lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) deyiladi. 4-ta’rif. Limiti A yoki A bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va ) ( lim x f a x , ) ( lim x f a x (4) simvollar bilan belgilanadi. Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki C y o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng. Funksiya limitining asosiy xossalari: 1) yig’indining limiti. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti, qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni ) ( 1 x f va ) ( 2 x f funksiyalarning a x dagi limitlari mavjud bo’lsa, ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 2 1 2 1 x f x f x f x f a x a x a x (5) 2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 2 1 2 1 x f x f x f x f a x a x a x (6) Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni, ) ( lim ) ( lim 1 1 x f c x cf a x a x (7) 3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti n ldan farqli bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni 0 lim 2 x f a x bo’lsa, x f x f x f x f a x a x a x 2 1 2 1 lim lim ) ( ) ( lim (8) bo’ladi. Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi: 318 1 sin lim x x a x ; (9) ... 71828 , 2 , ) 1 ( lim 1 1 lim / 1 0 e e x x x x (10) Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi. 6. Aniqmasliklar va ularni ochish 1.Aniqmasliklar. ) ( ) ( lim x x f a x limitni hisoblashda ) ( ), ( x x f funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa, ) ( / ) ( x x f nisbatga a x da (0/0) ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. ) ( ), ( x x f funksiyalar ch.kat.f. lar bo’lsa, ) ( / ) ( x x f nisbatga a x da ) / ( ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga o’xshash 0 0 , 0 , 0 , aniqmasliklar ) ( 1 ) ( lim ) ( ) ( lim , ) ( ) ( lim x a x a x a x x f x x f x x f limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi. ) 0 / 0 ( va ( / ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: ) (x f va ) (x funksiyalar a x nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning a x dagi limiti ham teng bo’ladi. 17-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiyaning uzluksizligi va uzilishi” mavzu bo‘yicha tayanch konspekt Reja 1. Funksiya orttirmasi. 2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari. 3. Funksiyaning uzilish va uning turlari. 4. Iqtisodiyotda qo’llaniladiga ayrim asosiy funksiyalar. 1. Funksiya orttirmasi . Uzluksizlik matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biridir. Matematika uzluksiz funksiya tushunchasiga birinchi navbatda turli harakat qonunlarini o’rganish natijasida keldi. Fazo va vaqt uzluksiz, masalan: harakatdagi nuqtaning bosib o’tgan yo’li s ning t vaqtga bog’lanishini ifodalovchi ) (t f s qonun uzluksiz funksiyaga misol bo’ladi. Qattiq jismlar, suyuqlik va gazlardagi holatlar hamda jarayonlar uzluksiz funksiyalar yordamida tavsiflanadi. Bunday uzluksiz jarayonlar iqtisodiyot modellarida ham mavjud. Bunday jarayonlar mexanika fizika va bir qancha maxsus fanlarda muayyan holda o’rganiladi. Matematikada uzluksiz jarayonni umumiy holda o’rganamiz. Funksiya orttirmasi. ) (x f y funksiya biror b a , kesmada aniqlangan va 0 x shu kesmadagi biror nuqta bo’lsin. x argumentning keyingi qiymati bo’lsa, x x x 0 ga argument orttirmasi deyiladi (1-chizma). 319 1-chizma 2-chizma ) ( ) ( 0 x f x f funksiyaning qiymatlari orasidagi farqqa funksiya orttirmasi deyiladi va odatda y bilan belgilanadi. ) ( ) ( 0 x f x f y yoki ) ( ) ( 0 0 x f x x f y . 1-chizmadan ko’rinadiki 0 x da 0 y bo’ladi. 2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari. 1-ta’rif. ) (x f y funksiya 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning 0 x nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni 0 ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 x f x x f y x x bo’lsa, ) (x f y funksiya 0 x nuqtada uzluksiz deyiladi (2-chizma). Bu ta’rifga qo’yidagi ta’rif ham teng kuchlidir. 2-ta’rif. 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan ) (x f y funksiya shu nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bu limit funksiyaning 0 x nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x bo’lsa, ) (x f y funksiya 0 x nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiya uzluksizligi ta’riflari quyidagi shartlarni o’z ichiga oladi: 1) funksiya 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan; 2) funksiyaning 0 x nuqtadagi chap va o’ng limitlari ) ( lim ), ( lim 0 0 0 0 x f x f x x x x mavjud; 3) 0 x nuqtada chap va o’ng limitlar o’zaro teng, ya’ni ); ( lim ) ( lim 0 0 0 0 x f x f x x x x 4) chap va o’ng limitlar funksiyaning 0 x nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 0 x f x f x f x x x x Funksiya oraliqning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda uzluksiz deyiladi. Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir. ) (x f va ) (x funksiyalar 0 x nuqtada uzluksiz bo’lsa: 1) ); ( ) ( x x f 2) ) ( ) ( x x f ; 3) ) ( / ) ( x x f 0 ) ( ( 0 x bo’lganda) lar ham 0 x nuqtada uzluksiz bo’ladi. y x y 0 y 0 x x a b ) (x f y x y y x ) (x f y y 0 x x x 0 x ) ( 0 x f ) ( 0 x x f O O 320 Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari. ) (x f funksiya b a , kesmada uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4) ) (a f va ) (b f orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. ) (z f y va ) (x z funksiyalar o’z argumentlarining uzluksiz funksiyalari bo’lsa, ) (x f y murakkab funksiya ham uzluksiz bo’ladi. ) (x f y uzluksiz bo’lib, ) ( x teskari funksiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir. 3. Funksiyaning uzilish va uning turlari Ta’rif. ) (x f y funksiya 0 x nuqtaning biror atrofida aniqlangan, lekin bu nuqtaning o’zida uzluksizlik shartlaridan birortasi bajarilmasa, funksiya 0 x nuqtada uzilishga ega deyiladi. ) (x f funksiya uchun ) ( lim 0 0 x f x x , ) ( lim 0 0 x f x x chekli limitlar mavjud bo’lsa, chap va o’ng limitlar hamda ) ( 0 x f sonlar o’zaro teng bo’lmasa, 0 x nuqta 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi. Xususan, ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 0 x f x f x f x x x x bo’lsa 0 x bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi deyiladi. 1-tur uzilish nuqtasi bo’lmagan uzilish nuqtalariga 2-tur uzilish nuqtalari deyiladi. Bunday nuqtalarda, aqalli bitta tomonli limit qiymati cheksiz yoki mavjud bo’lmaydi. Download 1.79 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling