O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi

5. To’la va o’rtacha xarajatlar egiluvchanligi. Korxona biror mahsulotdan 
 birlik 
miqdorda ishlab chiqarsa va 
x
k
 to’la xarajat funksiyasi aniqlangan bo’lsa, to’la xarajat 
egiluvchanligi 
                  
)
7
(
,
:
)
(
x
K
dx
dK
dx
dK
K
x
E
K
E
k
x
 
bo’ladi,  demak,  to’la xarajat egiluvchanligi limitik xarajatning  o’rtacha xarajatga nisbatini 
ifodalaydi.. 
O’rtacha xarajat 
x
K
 b lsa, uning egiluvchanligi, 
                       
)
8
(
,
1
)
(
1
)
(
)
(
2
2
2
K
E
dx
dK
K
x
x
K
dx
xdK
K
x
x
K
dx
dK
x
x
K
x
dx
x
E
x
x
 
ladi, demak, o’rtacha xarajat egiluvchanligi to’la xarajat egiluvchanligidan 1 ga kam ekan. 
1
T
E
 bo’lsa, o’rtacha xarajat egiluvchanligi 0 ga teng, ya’ni 
0
)
(
E
x
 bo’lib, 
o’rtacha xarajat o’zgarmasligini bildiradi. Bundan 
                    
)
9
(
.
0
x
K
dx
dK
yoki
K
dx
dk
x
 
Shunday qilib, to’la xarajat egiluvchanligi 1 ga teng bo’lsa, to’la limitik xarajat o’rtacha xaraj 
22-ma’ruza. Aniqmas integral va uning xossalari 
Reja 
1. Boshlang’ich funksiya va uning xossasi. 
2. Aniqmas integral va uning xossalari. 

 
333
3. Asosiy integrallar jadvali. 
 
                                Tayanch ibora va tushunchalar 
Boshlang’ich funksiya, aniqmas integral, integrallash, aniqmas integral xossalari, asosiy 
integrallar jadvali.  
1. Boshlang’ich funksiya . Ma’lumki matematikada amallar juft-juft bo’lib uchrab 
keladi. Jumladan, qo’shish va ayirish, ko’paytirish va bo’lish, darajaga ko’tarish va ildiz 
chiqarish va boshqalar. Funksiya hosilasini topishga yoki differensialash amaliga teskari amal 
bormikan degan tabiiy savol tug’iladi. 
Differensial hisobda funksiya berilgan bo’lsa, uning hosilasini topishni qaradik. 
Haqiqatda ham fan  va texnikaning bir qancha masalalarini hal etishda teskari masalani 
yechishga to’g’ri keladiki, berilgan 
)
(x
f
 funksiya uchun shunday, 
)
(x
F
 funksiyani topish 
kerakki, uning  hosilasi berilgan 
)
(x
f
 funksiyaga teng bo’lsin. Ma’lumki, bunday
)
(x
F
 
funksiyaga berilgan 
)
(x
f
 funksiyaning boshlang’ich (dastlabki) funksiyasi deyiladi. 
Masalan, 
4
x
x
f
y
 funksiyaning boshlan ich funksiyasi, 
5
5
x
x
F
ladi, 
chunki  
x
f
x
x
x
F
4
5
)
5
(
bo’ladi.  
2. Aniqmas integral va uning xossalari. Ta’rif. 
)
(x
F
 funksiya biror oraliqda 
)
(x
f
 
funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa,  
C
x
F
)
(
  (bunda 
C
  ixtiyoriy o’zgarmas) 
funksiyalar to’plami shu oraliqda 
)
(x
f
 funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va  
                               
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
 
bilan belgilanadi. Bu yerda 
)
(x
f
  integral ostidagi funksiya, 
dx
x
f
)
(
 integral ostidagi ifoda, 
 integrallash o’zgaruvchisi,    integral belgisi deyiladi. 
Demak, 
dx
x
f
)
(
  simvol,    
)
(x
f
 funksiyaning hamma boshlang’ich funksiyalari 
to’plamini belgilaydi. 
Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amaliga integrallash deyiladi. 
 Aniqmas integralning xossalari: 
1) aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga, differensiali esa integral 
ostidagi ifodaga teng, ya’ni 
        
;
)
(
)
(
)
(
)
(
dx
x
F
dx
x
F
d
x
f
dx
x
f
  
2) biror funksiyaning hosilasidan hamda differensialidan aniqmas integral shu funksiya 
bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng, ya’ni 
       
.
)
(
)
(
)
(
)
(
C
x
F
x
dF
C
x
f
dx
x
f
  
Bu xossalar aniqmas integralning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. Haqiqatan, 1-
xossadan  
)
(
0
)
(
)
(
)
(
x
f
x
F
C
x
F
dx
x
f
 b ladi. (Qolganlarini keltirib 
chiqarish o’quvchiga havola etiladi). 
Bu xossalardan differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar ekanligini 
payqash mumkin. 
3)  zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish  mumkin,  ya’ni   
0
const
K
  bo’lsa,  
                               
;
)
(
)
(
dx
x
f
K
dx
x
Kf
 

 
334
            4) chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas integrali, shu funksiyalar 
aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni 
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
x
f
 
           3. Asosiy integrallar jadvali. Berilgan funksiyaga asosan uning boshlang’ichini topish, 
berilgan funksiyani differensiallashga nisbatan ancha murakkabroq masaladir. Differensial 
hisobda asosiy elementar funksiyalarning, yig’indining, ko’paytmaning, bo’linmaning hamda 
murakkab funksiyalarning hosilasini topishni o’rgandik. Bu qoidalar istalgan elementar 
funksiyalarning hosilasini topishga imkon berdi. Elementar funksiyalarni integrallashda esa 
differensiallashdagidek  umumiy qoidalar  yo’q.  masalan,  ikkita elementar  funksiyalar 
boshlang’ichlarining ma’lum bo’lishiga qaramasdan, ular ko’paytmasining, bo’linmasining 
boshlang’ichini topishda aniq bir qoida yo’q. 
Integrallashda integral ostidagi ifodaning muayyan berilishiga qarab, unga mos 
individual usullardan foydalanishga to’g’ri keladi. Boshqacha aytganda, integrallashda ancha 
kengroq fikr yuritish kerak bo’ladi. Funksiyani integrallash ya’ni boshlang’ich funksiyani topish 
metodlari bir qancha shunday usullarni ko’rsatadiki, ular yordamida ko’p hollarda maqsadga 
erishiladi. 
Integrallashda maqsadga erishish uchun quyidagi asosiy integrallar jadvalini yoddan 
bilish zarur. 
.
)
ln(
)
13
;
0
,
ln
2
1
)
12
;
sin
1
)
11
;
cos
1
)
10
;
arcsin
1
)
9
;
1
1
)
8
);
1
0
(
,
ln
)
7
;
)
6
;
sin
cos
)
5
;
cos
sin
)
4
;
ln
1
)
3
;
)
2
;
1
,
1
)
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
C
k
x
x
k
x
dx
a
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
C
ctgx
dx
x
C
tgx
dx
x
C
a
x
dx
x
a
C
a
x
arctg
a
dx
x
a
a
C
a
a
dx
a
C
e
dx
e
C
x
xdx
C
x
xdx
C
x
dx
x
C
x
dx
n
C
n
x
dx
x
x
x
x
x
n
n
 
Bu formulalarning to’g’riligini, tekshirish tengliklarning o’ng tomonidagi ifodalar 
differensiali integral ostidagi ifodaga teng ekanligini ko’rsatishdan iboratdir. Masalan, 
 
.
1
)
1
(
1
1
1
1
dx
x
dx
n
x
n
dx
C
n
x
C
n
x
d
n
n
n
n
 
  Integrallashga bir necha misollar qaraymiz. 
1-misol.  
dx
x
x
)
9
sin
5
(
3
   integralni hisoblang. 
     Yechish. Integralning 4 va 3 xossalariga asosan,  

 
335
dx
dx
x
dx
x
dx
x
x
9
sin
5
)
9
sin
5
(
3
3
    
bo’ladi. Asosiy integrallar jadvalidagi 1), 2), 4) formulalarga asosan,                   
.
)
(
9
9
),
cos
(
5
sin
5
,
4
3
2
1
4
3
C
x
dx
C
x
xdx
C
x
dx
x
   
Demak, 
            
)
9
5
(
9
cos
5
4
)
9
sin
5
(
3
2
1
4
3
C
C
C
x
x
x
dx
x
x
. 
Yuqoridagi integralni hisoblashda har bir uchta integralda o’zining ixtiyoriy o’zgarmasini 
qo’shdik, lekin oxirgi natijada bitta ixtiyoriy o’zgarmasni qo’shamiz, chunki 
3
2
1
,
,
C
C
C
  
ixtiyoriy o’zgarmaslar bo’lsa, 
3
2
1
9
5
C
C
C
C
 ham ixtiyoriy o’zgarmas bo’ladi, shuning 
uchun, oxirgi natijani quyidagicha yozamiz: 
           
C
x
x
x
dx
x
x
9
cos
5
4
)
9
sin
5
(
4
3
. 
        
Integralning  to’g’ri  hisoblanganligini  tekshirish  uchun  oxirgi  tenglikning  o’ng  tomonini 
differensiallash bilan ko’rsatish mumkin(buni bajarishni o’quvchiga havola etamiz). 
2-misol.
dx
x
x
2
3
3
1
2
1
   integralni hisoblang. 
   
Yechish. Manfiy daraja xossasidan, hamda 4)  xossadan foydalanib,  jadvaldagi 1) 
formulaga asosan, 
    
C
x
x
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
3
3
1
3
2
1
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
2
3
3
1
3
1
2
1
2
1
1
3
2
3
1
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
2
3
1
2
1
 
ladi. 
    3-misol. 
x
x
dx
2
2
cos
sin
3
       integralni hisoblang. 
Yechish. 
1
cos
sin
2
2
x
x
 ayniyatdan hamda integralning 3) va 4) hossalaridan 
foydalanib hisoblaymiz: 
    
.
)
(
3
sin
1
3
cos
1
3
cos
sin
cos
3
cos
sin
sin
3
cos
sin
cos
sin
3
cos
sin
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
ctgx
tgx
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
dx
 
4-misol.   
2
5 x
dx
   integralni hisoblang. 

 
336
   Yechish. Jadvaldagi 9) formulaga asosan, 
   
.
5
arcsin
)
5
(
5
2
2
2
C
x
x
dx
x
dx
 
         Mustahkamlash uchun savollar 
1. Boshlang’ich funksiya qanday funksiya? 
2. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral orasida qanday bog’lanish bor? 
3. Integrallash amali nima? 
4. Aniqmas integral qanday xossalarga ega? 
5. Asosiy integrallar jadvali nimalardan iborat? 
           6. Integrallash to’g’ri bajarilganligini qanday tekshirish mumkin? 
          
    Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 
 
 
 
Qatorlar 
-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Sonli qatorlar va ularning ayrim yaqinlashish belgilari”mavzu 
bo‘yicha tayanch konspekt 
   
Reja. 
1.  Sonli qatorlar haqida. 
2.  Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi. 
      3.Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti) 
      4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari. 
 5. Ishoralari almashinuvchi qatorlar(Leybnis qatori). 
      6. Absolyut va shartli yaqinlashish. 
 
1. 1-ta’rif.  
,...
,
...
,
,
,
3
2
1
n
u
u
u
u
 sonlar ketma-ketligidan tuzilgan 
                      
1
3
2
1
...
...
n
n
u
u
u
u
u
                            (1) 
cheksiz yig’indiga sonli qator deyiladi. 
...
,
,
...
,
,
,
3
2
1
n
u
u
u
u
 larga qatorning hadlari, 
n
u
 ga esa,  
n
- hadi yoki umumiy 
hadi deyiladi. 
Qatorlarga bir necha misollar keltiramiz: 
    
1
...
1
...
3
1
2
1
1
1
)
1
n
n
  
qatorga  garmonik qator deyiladi; 
.
3
6
7
7
.
12
;
3
3
9
5
.
11
;
16
.
10
;
49
.
9
4
5
9
4
.
8
;
sin
3
5
.
7
;
5
1
5
.
6
;
1
.
5
;
3
.
4
1
1
.
3
;
5
4
.
2
;
6
5
.
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
4
3
2
4
8
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
tg
dx
x
dx
x
e
e
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
x

 
337
                    
               
1
3
2
...
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1
)
2
n
n
 
qator birinchi hadi 
2
1
1
a
, maxraji 
2
1
q
 bo’lgan geometrik progressiyani ifodalaydi; 
               
1
...
1
...
3
1
2
1
1
1
)
3
n
n
    
     2.  Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi. Sonli qator ta’rifidan ma’lumki, uning hadlari 
cheksiz ko’p bo’lib, qator yig’indisini oddiy yo’l bilan qo’shib, topib bo’lmaydi. Shuning uchun 
qatorning yig’indisi tushunchasini kiritamiz. (1) qator hadlaridan 
                  
n
n
S
u
u
u
u
S
u
u
u
S
u
u
S
u
....
,...,
,
,
3
2
1
3
3
2
1
2
2
1
1
1
 
 
qismiy yig’indilarni tuzamiz. 
 
          2-ta’rif.  
                                                 
S
S
n
n
lim
     
chekli limit mavjud bo’lsa, 
S
 ga qator  yig’indisi deyiladi va qator yaqinlashuvchi deb ataladi. 
Chekli limit mavjud bo’lmasa, qatorning yig’indsi bo’lmaydi va u  uzoqlashuvchi 
deyiladi. 
 
          Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari 
 
)
    
...
...
2
1
n
a
a
a
  
qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi 
S
 bo’lsa, istalgan 
c
0 son uchun, 
          
...
...
2
1
n
ca
ca
ca
 
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi  
cS
  bo’ladi; 
    
)
    
...
...
...
...
2
1
2
1
n
n
b
b
b
a
a
a
a
  
qatorlar yaqinlashuvchi va mos ravishda  
S
S ,
  yig’indalarga ega bo’lsa, 
                  
...
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
b
a
 
qator ham yaqinlashuvchi va yig’indisi (
S
S
)  dan iborat bo’ladi; 
          
s) 
...
...
...
1
3
2
1
n
k
k
u
u
u
u
u
u
                     (2) 
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, 
 
...
...
1
n
k
k
u
u
u
                                                   (3) 
qator ham yaqinlashuvchi va aksincha (3) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (2) qator ham 
yaqinlashuvchi bo’ladi. 
 
3. Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti) 
 
Teorema. 
...
...
2
1
n
u
u
u
                                        (4) 
qator yaqinlashuvchi bo’lsa,  
                                                
0
lim
n
n
u
                              

 
338
shart bajariladi. 
4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari 
 1)  Qator yaqinlashishining taqqoslash belgisi 
 
                        
)
6
(
...
...
)
5
(
,
...
...
2
1
2
1
n
n
v
v
v
u
u
u
                                                  
qatorlar uchun   
                              
,...
,...,
,
2
2
1
1
n
n
v
u
v
u
v
u
   
tengsizliklar  hamma 
n
 lar uchun bajarilib: (6) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (5) qator ham 
yaqinlashuvchi bo’ladi va uning yig’indisi (6) qator yig’indisidan katta bo’lmaydi; (5) qator 
uzoqlashuvchi bo’lsa, (6) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi.