O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega  
1.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagonadir. 
2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan.  
Eslatma. Chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lmasligi mumkin. 3. 
n
x
va    
n
y
 
soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda 
a
 va 
b
 limitlarga ega bo’lsa, ularning 
algebraik yig’indisi ham yaqinlashuvchi bo’lib, 
b
a
 limitga ega bo’ladi. 
4. 
n
x
va   
n
y
 soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda 
a
 va 
b
 limitlarga 
ega bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limiti 
b
a
 ga teng bo’ladi. 
5. 
n
x
va    
n
y
 soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda 
a
 va 
b
 limitlarga 
ega bo’lsa, ularning nisbati ham maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, yaqinlashuvchi 
bo’lib, uning limiti 
b
a
 ga teng bo’ladi.  
16-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiya haqida asosiy tushunchalar” mavzu 
bo‘yicha tayanch konspekt 
Reja 

 
316
 1.  O’zgarmas va o’zgaruvchi miqdorlar.  
 2. Funksiya tushunchasi. 
3. Funksiyaning berilish usullari.  
4. Funksiyaning ayrim hollari  
5. Funksiyaning limit iva uning asosiy xossalari.   
6. Aniqmasliklar va ularni ochish.  
1.  O’zgarmas va o’zgaruvchi miqdorlar. Qaralayotgan jarayonda bir xil son qiymatlarini 
qabul qiladigan miqdorlarga o’zgarmas miqdorlar deyiladi. Masalan, qanday radiusli aylana 
olmaylik, uning uzunligining deametriga nisbati bir xil 
 sondan iborat bo’ladi. Bu  holda  
nisbat o’zgarmas miqdordir.  
     
Qaralayotgan  jarayonda  har  xil  son  qiymatlari qabul  qiladigan  miqdorlarga  o’zgaruvchi 
miqdorlar deyiladi. Masalan, havo harorati (temperaturasi), vaqt, harakatning tezligi o’zgaruvchi 
miqdorlardir. Bunday misollarni ko’plab keltirish mumkin. Hamma o’zgaruvchi miqdorlarni 
birdaniga o’rganib bo’lmaydi. Endi ikkita o’zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog’lanishni 
qaraymiz. 
2. Funksiya tushunchasi.  Funksiya tushunchasi matematikaning eng asosiy tushunchalaridan 
biri bo’lib, uning yordamida tabiat va jamiyatdagi ko’p jarayon va hodisalar modellashtiriladi. 
     Matematik tahlilda elementlari haqiqiy sonlardan iborat, bo’lgan to’plamlarni qaraymiz. 
X
 
va 
Y
 lar haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. 
X
x
 to’plamda, 
Y
y
 to’plamda o’zgarsin. 
     Ta’rif. 
X
x
 har bir 
x
 ga biror qoida yoki qonun bo’yicha 
Y
y
 dan bitta 
y
  mos 
qo’yilsa, 
X
 to’plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va u 
                                             
)
(x
f
y
 
simvol bilan belgilanadi. Ayrim hollarda 
xf
y
 ham deb belgilanadiki, bunda kompyuterda 
oldin 
x
 qiymati olinib, keyin hisoblanadigan simvol olinadi. Bunda 
X
 to’plamga funksiyaning 
aniqlanish sohasi, 
Y
 to’plamga o’zgarish sohasi yoki qiymatlar to’plami deyiladi. Odatda 
funksiya aniqlanish sohasini 
D
, qiymatlar to’plamini 
E
 bilan belgilanadi. 
3. Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta’rifida keltirilgan 
x
 o’zgaruvchining 
har bir qiymatiga mos qo’yiladigan 
y
  ni aniqlovchi qoida yoki qonun turlicha bo’lishi mumkin. 
Demak, funksiyaning berilishi ham turlichadir. Funksiya analitik,  jadval  va  grafik  hamda 
kompyuter usullari yordamida berilishi mumkin. 
4. Funksiyaning ayrim hollari  
1. Oshkor va oshkormas funksiyalar. Funksiya 
)
(x
f
y
 ko’rinishda, ya’ni 
y
 ga 
nisbatan yechilgan bo’lsa, unga oshkor funksiya deyiladi. Funksiya 
0
)
,
(
y
x
F
 ko’rinishda 
berilgan bo’lsa,  ya’ni 
y
 ga nisbatan yechilmagan bo’lsa, oshkormas  funksiya  ko’rinishda 
berilgan deyiladi. 2. Murakkab funksiya.   
)
(u
f
y
  bo’lib, 
)
(x
u
 funksiya berilgan 
bo’lsa, 
y
 funksiyaga 
)
(x
 funksiyaning funksiyasi yoki 
y
 ga 
x
 ning murakkab funksiyasi 
deyiladi. 3. Teskari funksiya. 
)
(x
f
y
 funksiya berilgan bo’lsin. 
y
 funksiyaning qiymatlar 
to’plamidagi har  bir  qiymatiga 
x
 argumentning aniqlanish sohasidan bitta qiymati mos 
qo’yilgan  bo’lsa,  berilgan  funksiyaga  teskari 
)
( y
d
x
 funksiya  berilgan  bo’ladi  va 
)
(
)
(
d
E
f
D
 va 
)
(
)
(
d
D
f
E
 har bir 
)
(
)
(
0
d
E
f
D
x
 va 
)
(
)
(
0
d
D
f
E
y
 
bo’lib. 
)
(
0
0
x
f
y
 faqat 
)
(
0
0
y
d
x
 uchun bajariladi.  
5. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari  
1. 1-ta’rif.
)
(x
f
y
 funksiya 
a
x
 nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, 
istalgan 
0
  son uchun shunday 
0
 son mavjud bo’lsaki, 
a
x
  tengsizlikni 

 
317
qanoatlantiradigan  barcha 
a
x
 nuqtalar  uchun 
A
x
f
)
(
 tengsizlik  bajarilsa, 
A
 
chekli son 
)
(x
f
y
funksiyaning 
a
x
 nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi 
            
A
x
f
a
x
i
A
x
f
a
x
)
(
)
(
lim
 bo’ladi.                   (1) 
Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki 
a
x
 cheksiz kichik bo’lganda 
A
x
f
)
(
  ham cheksiz kichik bo’ladi. 
2-ta’rif. 
)
(x
f
y
 funksiya, 
x
 ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, 
istalgan 
0
  son  uchun  shunday, 
0
N
  mavjud  bo’lsaki, 
N
x
  tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi barcha 
x
 lar uchun 
A
x
f
)
(
 tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas 
A
 son, 
)
(x
f
y
 funksiyaning 
x
 dagi limiti deyiladi, va 
                                       
A
x
f
x
)
(
lim
   
             
 
(2)   
bilan belgilanadi. 
1-ta’rifda faqat 
a
x
 yoki 
a
x
 bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki  
o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va  
                               
)
(
lim
0
x
f
a
x
  ,  
)
(
lim
0
x
f
a
x
  
            (3) 
bilan begilanadi. 
3-ta’rif.  Limiti 
0
A
 bo’lgan funksiyaga  cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) 
deyiladi. 
4-ta’rif. Limiti 
A
 yoki 
A
 bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya  
(ch. kat. f.) deyiladi va  
              
)
(
lim
x
f
a
x
  , 
)
(
lim
x
f
a
x
 
 
 
                     (4) 
simvollar bilan belgilanadi. 
Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki 
C
y
 o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng. 
  Funksiya limitining asosiy xossalari: 
1)  yig’indining limiti. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti, 
qo’shiluvchi funksiyalar  limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni 
)
(
1
x
f
  va 
)
(
2
x
f
 
funksiyalarning 
a
x
 dagi limitlari mavjud bo’lsa, 
          
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
a
x
a
x
a
x
 
 
          (5) 
2)  chekli  sondagi  funksiyalar  ko’paytmasining limiti  funksiyalar  limitlarining 
ko’paytmasiga teng, ya’ni 
                    
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
a
x
a
x
a
x
 
 
          (6) 
Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni, 
 
               
)
(
lim
)
(
lim
1
1
x
f
c
x
cf
a
x
a
x
 
 
 
 
 
(7) 
3)  Ikkita  funksiya  nisbatining limiti, maxrajning  limiti n ldan farqli bo’lsa, bu  
funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni                           
0
lim
2
x
f
a
x
  bo’lsa, 
                        
x
f
x
f
x
f
x
f
a
x
a
x
a
x
2
1
2
1
lim
lim
)
(
)
(
lim
      
 
 
(8) 
bo’ladi.  
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi: 

 
318
                           
1
sin
lim
x
x
a
x
;
 
 
 
 
                    (9) 
...
71828
,
2
,
)
1
(
lim
1
1
lim
/
1
0
e
e
x
x
x
x
 
 
(10) 
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi. 
6. Aniqmasliklar va ularni ochish 
1.Aniqmasliklar. 
)
(
)
(
lim
x
x
f
a
x
     limitni hisoblashda  
)
(
),
(
x
x
f
   funksiyalar 
ch.kich.f.  lar  bo’lsa, 
)
(
/
)
(
x
x
f
  nisbatga 
a
x
  da  (0/0) ko’rinishdagi aniqmaslik 
deyiladi. 
)
(
),
(
x
x
f
 funksiyalar ch.kat.f. lar bo’lsa, 
)
(
/
)
(
x
x
f
  nisbatga 
a
x
  da 
)
/
(
 
ko’rinishidagi 
aniqmaslik  deyiladi.  Xuddi  shunga  o’xshash  
0
0
,
0
,
0
,
 aniqmasliklar 
)
(
1
)
(
lim
)
(
)
(
lim
,
)
(
)
(
lim
x
a
x
a
x
a
x
x
f
x
x
f
x
x
f
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni 
ochish deyiladi.           
)
0
/
0
(
  va  (
/
) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda   quyidagi xossadan foydalaniladi: 
)
(x
f
va 
)
(x
  funksiyalar 
a
x
 nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng 
bo’lsa, ularning 
a
x
 dagi limiti ham teng bo’ladi.  
 
 
17-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiyaning uzluksizligi va uzilishi” mavzu bo‘yicha tayanch 
konspekt 
Reja 
1. Funksiya orttirmasi.  
2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari.  
3. Funksiyaning uzilish va uning turlari.  
4.  Iqtisodiyotda qo’llaniladiga ayrim asosiy funksiyalar. 
                  
1. Funksiya orttirmasi . 
           Uzluksizlik matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biridir. Matematika uzluksiz 
funksiya tushunchasiga birinchi navbatda turli harakat qonunlarini o’rganish natijasida keldi. 
Fazo va vaqt uzluksiz, masalan: harakatdagi nuqtaning bosib o’tgan yo’li 
s
  ning 
t
  vaqtga 
bog’lanishini ifodalovchi 
)
(t
f
s
 qonun uzluksiz funksiyaga misol bo’ladi. 
Qattiq jismlar, suyuqlik va gazlardagi holatlar hamda jarayonlar uzluksiz funksiyalar 
yordamida tavsiflanadi. Bunday uzluksiz jarayonlar iqtisodiyot modellarida ham mavjud. 
Bunday jarayonlar mexanika fizika va bir qancha maxsus fanlarda muayyan holda o’rganiladi. 
Matematikada  uzluksiz jarayonni umumiy holda o’rganamiz. 
 Funksiya orttirmasi.  
)
(x
f
y
 funksiya biror 
b
a ,
 kesmada aniqlangan va 
0
x
 
shu kesmadagi biror nuqta bo’lsin. 
x
 argumentning keyingi qiymati bo’lsa, 
x
x
x
0
 ga 
argument orttirmasi deyiladi (1-chizma). 
 
 
 
 

 
319
 
 
 
 
 
 
 
 
    1-chizma                                                                2-chizma 
)
(
)
(
0
x
f
x
f
 funksiyaning qiymatlari orasidagi farqqa funksiya orttirmasi  deyiladi  va 
odatda 
y
 
bilan 
belgilanadi. 
)
(
)
(
0
x
f
x
f
y
 
yoki                                                                                                                                                                                                   
)
(
)
(
0
0
x
f
x
x
f
y
. 
     1-chizmadan ko’rinadiki 
0
x
 da 
0
y
 bo’ladi. 
    2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari.  1-ta’rif. 
)
(x
f
y
 funksiya 
0
x
 nuqtada va 
uning biror atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning 
0
x
 nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga 
funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni 
                 
0
)
(
)
(
lim
lim
0
0
0
0
x
f
x
x
f
y
x
x
 
bo’lsa, 
)
(x
f
y
 funksiya 
0
x
  nuqtada uzluksiz deyiladi (2-chizma). Bu ta’rifga qo’yidagi 
ta’rif ham teng kuchlidir. 
2-ta’rif. 
0
x
 
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan 
)
(x
f
y
  funksiya  shu 
nuqtada chekli limitga ega bo’lib,  bu limit funksiyaning 
0
x
 nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni 
                                 
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
 
bo’lsa, 
)
(x
f
y
 funksiya 
0
x
 nuqtada uzluksiz deyiladi. 
Funksiya uzluksizligi ta’riflari quyidagi shartlarni o’z ichiga oladi: 
1) 
funksiya 
0
x
 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan; 
2) funksiyaning 
0
x
 nuqtadagi chap va o’ng limitlari  
                            
)
(
lim
),
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
   
 mavjud; 
3) 
0
x  nuqtada chap va o’ng limitlar o’zaro teng, ya’ni 
                            
);
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
 
4) 
chap  va  o’ng  limitlar  funksiyaning 
0
x
  nuqtadagi qiymatiga  teng,  ya’ni 
                   
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
 
Funksiya oraliqning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u  shu oraliqda  uzluksiz 
deyiladi. 
Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir. 
)
(x
f
 va 
)
(x
 funksiyalar 
0
x
 nuqtada uzluksiz bo’lsa:  
1) 
);
(
)
(
x
x
f
 2) 
)
(
)
(
x
x
f
; 3) 
)
(
/
)
(
x
x
f
   
0
)
(
(
0
x
 bo’lganda) lar 
ham 
0
x
 nuqtada uzluksiz bo’ladi. 
 
 
y 
x 
y
 
0
y  
0
x  
x  
a  
b
 
)
(x
f
y
 
x
 
y  
y 
x 
)
(x
f
y
 
y  
0
x  
x
x
0
 
x
 
)
(
0
x
f
 
)
(
0
x
x
f
 
O 
O 

 
320
   Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari. 
)
(x
f
  funksiya 
b
a ,
  kesmada 
uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta 
qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning 
biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4) 
)
(a
f
 va 
)
(b
f
 orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. 
)
(z
f
y
va 
)
(x
z
  funksiyalar o’z argumentlarining uzluksiz  funksiyalari 
bo’lsa, 
)
(x
f
y
 murakkab funksiya ham uzluksiz bo’ladi. 
)
(x
f
y
 uzluksiz bo’lib, 
)
(
x
 teskari funksiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir. 
3. Funksiyaning uzilish va uning turlari 
Ta’rif. 
)
(x
f
y
funksiya 
0
x
 nuqtaning biror atrofida aniqlangan, lekin bu nuqtaning 
o’zida uzluksizlik shartlaridan birortasi bajarilmasa, funksiya 
0
x
  nuqtada  uzilishga  ega 
deyiladi. 
)
(x
f
 funksiya uchun 
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
, 
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
   chekli limitlar mavjud bo’lsa,  chap va o’ng limitlar 
hamda 
)
(
0
x
f
 sonlar o’zaro teng bo’lmasa, 
0
x
 nuqta 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi. 
Xususan,   
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
   bo’lsa 
0
x
 
bartaraf qilinadigan 
(yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi deyiladi. 
1-tur uzilish nuqtasi bo’lmagan uzilish nuqtalariga 2-tur uzilish nuqtalari  deyiladi. 
Bunday nuqtalarda, aqalli bitta tomonli limit qiymati cheksiz yoki mavjud bo’lmaydi.