O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi

2. Fazoda sirt va uning tenglamasi. Ma’lumki, tekislikda 
                                                  
0
)
,
(
y
x
F
  
tenglama biror chiziqni ifodalaydi. 
                                    
0
)
,
,
(
z
y
x
F
                                            (1) 
tenglama 
OXYZ
, 
3
R
 fazoda koordinatlari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami, 
biror sirtni aniqlaydi. Bu tenglamaga sirt tenglamasi deyiladi. (1) tenglama darajasiga sirtning 
tartibi deb ataladi.  
3. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik 
tenglamasi. 
OXYZ
 to’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida 
)
,
,
(
0
0
0
0
z
y
x
M
 nuqta va 
k
C
j
B
i
A
N
   vektor berilgan bo’lsin. 
0
M
  nuqtadan o’tuvchi, 
N
  vektorga 
perpendikulyar 
Q
 tekislikning fazodagi vaziyati aniq bo’ladi. Uning tenglamasini keltirib 
chiqaramiz. 
Q
 tekislikda ixtiyoriy 
)
,
,
(
z
y
x
M
 nuqta olamiz(1-chizma). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1-chizma. 
M
M
0
va 
N
 vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lganda va faqat shundagina 
M
 
nuqta 
Q
  tekislikda  yotadi.  Ma’lumki 
M
M
0
  vektorning  koordinatlari 
)
(
),
(
),
(
0
0
0
z
z
y
y
x
x
 bo’ladi. Ikki vektorning perpendikulyarlik shartiga asosan: 
          
0
)
(
)
(
)
(
0
0
0
z
z
C
y
y
B
x
x
A
                                   (2) 
bo’ladi. Bu 
Q
 tekislik tenglamasi bo’ladi. 
Ta’rif. 
Q
 tekislikka perpendikulyar 
k
C
j
B
i
A
N
 vektorga bu tekislikning 
normal vektori deyiladi. 
4. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari. 
(2) tenglamadan  
0
0
0
0
Cz
Cz
By
By
Ax
Ax
 yoki -
D
Cz
B
Ax
0
0
0
y
  
bilan belgilashdan keyin 
z 
x 
y 
O 
Q 
M 
N  M
0 

 
305
 
               
0
D
Cz
By
Ax
                                    (3) 
tenglamani hosil qilamiz. (3) tenglamaga fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. 
     Umumiy tenglamaning xususiy hollarini qaraymiz: 
1) 
0
D
 bo’lsa, 
0
Cz
By
Ax
 bo’lib, tekislik koordinatlar boshidan o’tadi; 
2)    
0
C
  bo’lsa, 
0
D
By
Ax
 bo’lib, tekislik 
OZ
 o’qiga parallel; xuddi shunday 
0
D
Cz
Ax
, 
0
D
Cz
By
 tekisliklar  mos ravishda 
OY
  va 
OX
  o’qlariga 
paralleldir; 
3)  2-holda 
0
D
  bo’lsa,  tekislik  tenglamalari 
0
By
Ax
, 
0
Cz
Ax
, 
0
Cz
By
bo’lib, ular mos ravishda 
OZ
, 
OY
, 
OX
  koordinat o’qlaridan o’tadi; 
4)    
0
B
,  bo’lsa, 
0
D
Ax
 tekislik  
YOZ
 koordinat tekisligiga parallel, xuddi 
shunday 
0
D
By
, 
0
D
Cz
  tekisliklar  mos  ravishda 
XOZ
, 
XOY
  koordinat 
tekisliklariga parallel bo’ladi; 
5)
0
D
C
B
 bo’lsa, 
0
Ax
 bo’lib, 
YOZ
 koordinat tekisligi bilan ustma-ust tushadi, 
ya’ni 
0
x
, 
YOZ
 koordinat tekisligining tenglamasi bo’ladi. Xuddi shunday 
0
y
  va 
0
z
, mos ravishda 
XOZ
 va 
XOY
 koordinat tekisliklarining tenglamasini ifodalaydi . 
5. Tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi. (3) tenglamada 
D
C
B
A
,
,
,
 koeffisiyentlar 
hammasi 0 dan farqli bo’lsa, tekislik koordinat o’qlaridan  
OL
, 
ON
 va 
OP
 kesmalar ajratadi. 
(3) tenglamani quyidagicha o’zgartiramiz: 
     
1
/
/
/
,
C
D
z
B
D
y
A
D
x
D
Cz
By
Ax
.    
Oxirgi tenglamad  
a
A
D /
,   
b
B
D /
,    
c
C
D /
  
belgilash kiritsak, 
                
1
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaga fazoda tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi 
deyiladi. 
6. Berilgan uchta   
)
;
;
(
1
1
1
z
y
x
A
, 
)
;
;
(
2
2
2
z
y
x
B
 va 
)
;
;
(
3
3
3
z
y
x
C
 
 nuqtalardan o’tuvchi tekislik  tenglamasi 
           
0
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
1
1
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
   
 
     (4) 
ko’rinishda bo’lib, uchta vektorning komplanarligidan kelib chiqadi. 
)
,
,
(
z
y
x
M
 tekislikdagi 
ixtiyoriy nuqta.
AC
AB
AM
,
,
 vektorlar komplanardir. 
7. Ikki tekislik orasidagi burchak. Nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa. 
    
,
0
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
 
    
0
2
2
2
2
D
z
C
y
B
x
A
 

 
306
tekisliklar orasidagi burchak, ularning normal 
1
n
    va    
2
n
2
n
  vektorlari orasidagi burchakka 
teng bo’lib, 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
C
B
A
C
B
A
C
C
B
B
A
A
 
 
 
(5) 
 formula o’rinli bo’ladi. (5) ga ikkita tekislik orasidagi burchak kosinusini topish formulasi 
deyiladi. 
1
n
  va  
2
n
 normal vektorlar kollinear bo’lsa, 
 
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
 
bo’lib, bu ikki tekislikning parallellik sharti deyiladi.. 
1
n
  va  
2
n
 
 
normal vektorlar perpendikulyar bo’lsa, 
 
0
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
 
bo’lib,  bu ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti  bo’ladi.            
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
 nuqtadan 
0
D
Cz
By
Ax
 tekislikkacha bo’lgan masofa,   
               
2
2
2
0
0
0
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
               
 
          (6) 
formula bilan topiladi. 
12,13-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Fazoda to’g’ri chiziq va uning tenglamalari”mavzu 
bo‘yicha tayanch konspekt 
Reja 
1. Fazoda berilgan nuqtadan o’tuvchi va berilgan yo’naltiruvchi vektorga      ega bo’lgan to’g’ri 
chiziq  vektorli tenglamasi.  
2. Fazoda to’g’ri chiziq(FTCh)ning parametrik va kanonik tenglamalari. 3.   Fazoda umumiy va 
proyeksiyalarga nisbatan  hamda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari.  
4. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.  
5.Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. 
1.Fazoda berilgan nuqtadan o’tuvchi va berilgan yo’naltiruvchi vektorga ega 
bo’lgan to’g’ri chiziq  vektorli tenglamasi. Fazoda to’g’ri chiziqning holati u o’tadigan biror 
)
,
,
(
1
1
1
z
y
x
A
 nuqta va to’g’ri chiziq parallel bo’lgan 
k
p
j
n
i
m
s
  yo’naltiruvchi 
vektorning berilishi bilan to’la aniqlanadi. Uning tenglamasini yozish uchun unda ixtiyoriy 
)
,
,
(
z
y
x
B
 nuqta olamiz  
Ma’lumki, 
AB
OA
OB
   bo’lib, 
AB
  vektor 
s
  vektorga  kollinear,  ya’ni 
s
t
AB
,  
t
 skalyar parametr. 
0
r
OA
,
r
OB
 desak,  
          
                    
s
t
r
r
0
                                                    (1) 
bo’ladi. (1) tenglikka  fazoda to’g’ri chiziqning vektorli tenglamasi deyiladi.  
2. Fazoda to’g’ri chiziq(FTCh)ning parametrik va kanonik tenglamalari. 

 
307
,
k
z
j
y
i
x
r
 
,
1
1
1
0
k
z
j
y
i
x
r
 
k
p
j
n
i
m
s
  bo’lganligi 
uchun (1) tenglamadan vektorlarning tengligiga asosan, 
                                    
tp
z
z
tn
y
y
tm
x
x
1
1
1
,
,
                                                   (2) 
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bunga to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi, 
bunda 
t
 parametr.  
(2)tenglamadan
t
parametrni 
yo’qotsak,ya’ni         
t
p
z
z
t
n
y
y
t
m
x
x
tm
x
x
1
1
1
1
,
,
,
bo’lib 
                              
p
z
z
n
y
y
m
x
x
1
1
1
                                                  (3)    
tenglama kelib chiqadi. (3)  tenglamaga to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.  
3.   Fazoda umumiy va proyeksiyalarga nisbatan  hamda berilgan ikki nuqtadan 
o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari. Fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesimidan iborat 
deb ham qarash mumkin. Shuning uchun to’g’ri chiziqni analitik holda quyidagi sistema 
                        
0
,
0
2
2
2
2
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
                                     (4) 
orqali ham ifodalash mumkin. (4) tenglamada 
1
1
1
,
,
C
B
A
 koeffisiyentlar  mos ravishda 
2
2
2
,
,
C
B
A
 koeffisiyentlarga proporsional bo’lmasa u to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Bunga 
to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.  
(4) sistemadan birinchi 
y
 noma’lumni, keyin 
x
 noma’lumni yo’qotsak, 
                          
nz
y
y
mz
x
x
1
1
,
                                                          (5) 
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bundagi birinchi tenglama 
OY
 o’qqa parallel bo’lgan 
tekislik, ikkinchisi 
OX
 o’qqa parallel bo’lgan tekislik bo’lib, berilgan to’g’ri chiziqni 
XOZ
 
va 
YOZ
   koordinat tekisliklariga proyeksiyalaydi. (5) sistemaga to’g’ri chiziqning 
proyeksiyalarga nisbatan tenglamasi deyiladi. 
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
M
  va 
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
M
  berilgan  ikki  nuqtadan  o’tuvchi 
to’g’ri chiziq tenglamasi tekislikda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq 
tenglamasidagidek ushbu ko’rinishda 
           
1
2
1
1
2
1
1
2
1
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
   
 
         (6) 
bo’ladi. 
 4. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. Fazoda ikkita to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari 
bilan berilgan bo’lsin: 
;
1
1
1
1
1
1
p
z
z
n
y
y
m
x
x
                     
.
2
2
2
2
2
2
p
z
z
n
y
y
m
x
x
 
Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak, ularning yo’naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka 
teng bo’lib,  

 
308
 
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
p
n
m
p
n
m
p
p
n
n
m
m
   
 
(7) 
 
formula yordamida topiladi. 
Berilgan to’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa, 
         
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
 
 
 
 
 
 
(8) 
bo’lib, bu fazoda ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti deyiladi. 
To’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, yo’naltiruvchi vektorlar ham perpendikulyar 
bo’lib, 
            
0
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
 
 
 
 
         (9) 
bo’ladi, bu ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartidir.  
 
5.Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik 
orasidagi burchak deb, to’g’ri chiziqning tekislikdagi proyeksiyasi bilan to’g’ri chiziq orasidagi 
qo’shni burchaklardan biri olindi (2-chizma). 
 
 
 
 
 
 
                                           
        
                                              2-chizma.                          
To’g’ri chiziq     
p
z
z
n
y
y
m
x
x
0
0
0
  
kanonik  tenglamasi  bilan 
tekislik 
0
D
Cz
By
Az
 umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. 
1
  burchakni 
topish uchun to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori 
k
p
j
n
i
m
s
  vektor bilan 
tekislikning normal vektori orasidagi 
2
 
 burchakni hisoblaymiz: 
 
2
2
2
2
2
2
2
cos
n
p
m
C
B
A
Cp
Bn
Am
. 
1
 burchak 
 
2
 burchakni 
2
/
 gacha to’ldiradi. Demak,  
1
1
2
sin
)
2
/
(
cos
cos
 
Shunday qilib, 
  
2
2
2
2
2
2
1
sin
n
p
m
C
B
A
Cp
Bn
Am
 
 
        (10) 
bo’ladi. (10) fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish formulasi bo’ladi. 
To’g’ri chiziq tekislikka parallel  bo’lsa 
p
n
m
s
,
,
  va 
C
B
A
n
,
,
  vektorlar 
perpendikulyar bo’lib, 
n 
s 
1
 
2
 

 
309
 
                   
0
Cp
Bn
Am
     
 
                   (11) 
tenglik o’rinli bo’ladi. (11) tenglikka to’g’ri chiziq va tekislikning parallellik sharti  deyiladi. 
To’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, 
p
n
m
s
,
,
 va 
C
B
A
n
,
,
   vektorlar parallel 
bo’ladi va 
 
                    
p
C
n
B
m
A
   
 
                              (12) 
munosabat kelib chiqadi. (12) tenglik to’g’ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik sharti 
bo’ladi. 
(11) shart bajarilmasa to’g’ri chiziq va tekislik kesishadi. Kesishish nuqtasini topish 
uchun, ushbu 
                                    
0
,
0
0
0
D
Cz
By
Ax
p
z
z
n
y
y
m
x
x
   
 
 
uch noma’lumli tenglamalar sistemasini yechish kerak bo’ladi.  
 
14-ma‘ruza mashg‘ulotlari “To’plamlar nazariyasi”mavzu bo‘yicha tayanch konspekt 
  Reja 
 1. To’plamlar va ular haqida asosiy tushunchalar. 
 2. To’plamlar ustida amallar.   
 3. To’plamning quvvati. 
1. To’plamlar va ular haqida asosiy tushunchalar. To’plam tushunchasi  matematikaning 
boshlang’ich va  muhim tushunchalardan biridir.  Masalan: Natural sonlar to’plami, 
auditoriyadagi talabalar to’plami, bibleotekadagi kitoblar to’plami, bir nuqtadan o’tuvchi to’g’ri 
chiziqlar to’plami biror xildagi mahsulot ishlab chiqaruvchi korxonalar to’plami va boshqalar. 
To’plamni tashkil etgan narsalar to’plamning elementlari deyiladi. Matematikada 
to’plamlar bosh harflar bilan, masalan: 
,......
,
,
,
Y
X
B
A
 uning elementlari esa kichik harflar, 
masalan: 
,.....
,
,
,
y
x
b
a
 bilan belgilanadi. 
To’plam chekli sondagi elementlardan tashkil topgan bo’lsa, unga chekli to’plam deb 
ataladi. Masalan, bibleotekadagi kitoblar soni yoki guruhdagi talabalar soni chekli bo’ladi. 
Cheksiz elementlardan tashkil topgan to’plam cheksiz to’plam  deb ataladi. Masalan, natural 
sonlar to’plami, bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri  chiziqlar to’plami va boshqalar. 
x
 element 
X
 to’plamga tegishli bo’lsa, 
X
x
 deb belgilanadi, aks holda 
X
x
 
yoziladi. 
)
(
/
x
P
X
x
 belgi 
P
 xossaga ega bo’lgan 
X
x
 lar to’plamini bildiradi. Bo’sh 
to’plamni  
x
x
x
/
 deb yozish mumkin.