O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi

4.  Iqtisodiyotda qo’llaniladiga ayrim asosiy funksiyalar 
1. Chiziqli funksiya.  
Ma’lumki, 
 
 
 
                         
b
ax
y
                           (1) 
formula bilan aniqlangan funksiyaga chiziqli funksiya deyiladi. Bu burchak koeffisiyenti 
a
k
, 
boshlang’ich ordinatasi 
b
 bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasidir. 
1-misol. Biror korxonada ishlab chiqarilayotgan bir xil mahsulot xarajatini ikki 
guruh: 
1) mahsulot hajmiga, proporsional o’zgaruvchi xarajat, masalan, materiallar sarfi; 
2) ishlab chiqarilgan mahsulot hajmiga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas xarajatlar, 
masalan, ma’muriyat binosi ijarasiga, uni isitishga ketadigan va boshqa xarajatlar deb qarash 
mumkin. 
O’zgarmas xarajatlarni 
b
 bilan, o’zgaruvchi xarajatlarni, mahsulotning hir bir birligi 
uchun 
a
 bilan belgilasak, biror davrda 
x
 birlik hajmdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun 
ketgan umumiy xarajat                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
                                                       
ax
b
y
 
bo’lib, bu chizi li funksiyadir. 
2.  Darajali funksiya. Bunday funksiya 
                                
x
y
                                             (2) 
formula bilan ifodalanadi, bunda  
0
 dan farqli ixtiyoriy haqiqiy son. Bu funksiyaning 
aniqlanish sohasi 
 ko’rsatgichga bog’liq. 
  natural son bo’lsa, hamma haqiqiy sonlar uchun 
aniqlangan, 
 butun manfiy son bo’lsa, 
 
 
                                 
n
n
x
x
y
1
 

 
321
bo’lib, 
0
x
 bo’lgan hamma 
x  lar uchun aniqlangan (bunda 
n
 natural son). 
n
/
1
 
ko’rinishdagi son bo’lsa, 
                        
n
n
x
x
x
x
f
y
/
1
)
(
 
bo’lib, 
n
  toq son bo’lsa, 
)
,
(
  intervalda, 
n
  juft  son bo’lsa, 
,
0
  intervalda 
aniqlangan. 
Umuman olganda darajali funksiya o’zining aniqlanish sohasida uzluksizdir.  
18-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiya hosilasi” mavzu bo‘yicha tayanch konspekt 
 Reja. 
1. Hosilaga keltiriladigan masalalar haqida.  
2. Funksiya hosilasining ta’rifi.  
3. Hosilaning geometrik ma’nosi.  
4.    Murakkab funksiya hosilasi va hosilalar jadvali.  
5. Yuqori tartibli hosilalar.  
6.Oshkormas va parametrik berilgan funksiyalarning hosilalari.
 
                                      
1. Hosilaga keltiriladigan masalalar haqida  
 Oniy tezlik haqidagi masala.  Amaliyotda har xil jarayonlarni tekshirishda birinchi 
navbatda, shu jarayonning kechishi tezligini aniqlash kerak bo’ladi. Tezlikni aniqlash haqidagi 
masala fan va texnikaning eng asosiy masalalaridan biridir. 
Oniy tezlik tushunchasini qanday aniqlash kerak?                                                           
(2)  tenglikdan ma’lumki, 
t
 o’zgarmas  bo’lganda, 
t
S /
A  dan 
B
  holatgacha 
oraliqdagi o’rtacha tezlik bo’lib, uni 
v
 bilan belgilaymiz. Ma’lumki, (2) da 
t
 qancha kichik 
bo’lsa, 
t
 momentdagi tezlikni shuncha yaxshiroq ifodalaydi. Bundan shunday xulosaga 
kelamizki,  erkin tushayotgan  nuqtaning 
t
 momentidagi oniy tezligi 
v
  ni 
v
 
o’rtacha 
tezlikning 
0
t
 dagi limiti kabi aniqlaymiz, ya’ni  
 
 
 
             
t
v
v
0
lim
 
Shunday qilib, oniy tezlikni hisoblash uchun qo’yidagi ko’rinishdagi limitni hisoblash 
kerak bo’ladi. 
                                         
t
S
v
t
0
lim
   
 
 
 
(3) 
 (3) ko’rinishdagi limitni hisoblashga ko’p sondagi amaliy masalalarni yechishda to’g’ri keladi. 
Umuman, o’zgaruvchi miqdor o’zgarish tezligini topish masalasi, matematika fanining 
eng ahamiyatli tushunchalaridan biri - hosila tushunchasiga olib keladi. 
Shuning uchun (3) ko’rinishdagi limitlarni hisoblashni umumiy holda qarash zarur 
bo’ladi. 
2. Funksiya hosilasining ta’rifi.    1-ta’rif.  
)
(x
f
y
 funksiya 
)
,
(
b
a
 intervalda aniqlangan 
bo’lib, 
0
x
  nuqtadagi  funksiya 
y
orttirmasining 
x
  argument  orttirmasiga  nisbatining, 
argument orttirmasi nolga intilgandagi limitiga, 
)
(x
f
y
 funksiyaning 
0
x
 nuqtadagi hosilasi 
deyiladi. Bu limit 
 
 
                              
dx
df
dx
dy
x
f
y
,
),
(
,
0
 
simvollardan biri bilan belgilanadi. 
Shunday qilib, ta’rifga asosan 
            
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
)
(
)
(
lim
lim
)
(
0
0
0
0
0
 

 
322
bo’ladi, bu limit mavjud bo’lsa, hosila 
0
x
 nuqtada mavjud deyiladi. 
Hosilani topish jarayoni differensiallash deb ataladi. 
Biz o’rganayotgan 
)
(x
f
y
 funksiya orqali qanday jarayon tavsiflan-masin, uning 
hosilasi 
)
(x
f
y
 fizik nuqtai nazardan shu jarayon kechishining tezligini ifodalaydi. 
Chunonchi, 
 vaqt, 
Q
 biror reaksiya natijasida olingan moddaning 
  momentdagi 
miqdori  bo’lsa,  demak 
Q
 
  ning  funksiyasi bo’ladi. 
Q
 dan olingan hosila, reaksiya 
kechishining tezligini ifodalaydi. 
  vaqt, 
Q
 biror o’tkazgich kesim yuzidan vaqt birligida 
o’tayotgan elektr miqdori bo’lsa, 
Q
 hosila tok kuchining o’zgarish tezligini ifodalaydi. 
Q
 
isitilayotgan  jismning  o’zgaruvchi  temperaturasini  tavsiflasa, 
Q
  hosila  isish  tezligini 
ifodalaydi. 
Funksiya hosilasini hosila ta’rifiga asosan topishga bir necha misollar qaraymiz: 
Umuman, 
x
  va 
y
 o’zgaruvchilarning fizik, iqtisodiy, kimyoviy ma’nolaridan voz 
kechsak, 
y
 dan 
x
 bo’yicha olingan hosila, 
y
 ning 
x
 ga bog’liq bo’lib o’zgarishining tezligini 
ifodalaydi. 
3.  Hosilaning geometrik ma’nosi. Hosila muhim geometrik ma’noga ega. Bu 
funksiyaning 
0
x
 nuqtadagi hosilasi uning grafigiga 
))
(
,
(
0
0
x
f
x
M
  nuqtada  o’tkazilgan 
urinmaning 
OX
 o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagining tangensiga teng. 
)
(x
f
y
 egri chiziqqa 
)
,
(
0
0
0
y
x
M
 nuqtadan o’tkazilgan urinma tenglamasi 
 
 
              
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
 
bo’ladi,  bunda 
)
(
0
0
x
f
y
.   Funksiya grafigiga urinish  nuqtasi 
)
,
(
0
0
0
y
x
M
  da 
o’tkazilgan normalning tenglamasi 
                   
)
0
)
(
(
),
(
)
(
1
0
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
y
   
bo’ladi.  
4.    Murakkab funksiya hosilasi va hosilalar jadvali
 
   1).  Agar 
)
(u
f
y
, 
)
(x
u
,  ya’ni 
)
(x
f
y
   
murakkab  funksiya  bo’lsa, 
)
(u
f
y
 funksiyaning 
 o’zgaruvchi bo’yicha hosilasi 
 
                                        
u
u
f
y
)
(
 
bo’ladi. 
        Agar 
)
(x
f
y
 va 
)
( y
x
 lar o’zaro teskari funksiyalar bo’lsa,  
                                              
)
(
1
)
(
y
x
f
 
bo’ladi.  
  2). Differensiallash qoidalarini eslatib o’tamiz: 
x
 erkli o’zgaruvchi, 
)
(x
u
u
 va 
)
(x
v
v
 uning differensiallanuvchi funksiyalari 
bo’lsin. 
1.,
0
 
C o’zgarmas miqdor.                2. 
1
x
.                3. 
v
u
v
u
)
(
. 
4. 
v
u
v
u
v
u
)
(
.                       5. 
u
c
cu)
(
.         6. 
2
v
v
u
v
u
v
u
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3). Murakkab funksiya uchun hosilalar jadvali quyidagicha bo’ladi: 

 
323
             1) 
0
,
)
(
1
u
R
n
u
nu
u
n
n
; 
 2) 
;
1
)
(
u
na
a
a
u
u
 
 3) 
;
)
(
u
e
e
u
u
 
 4) 
u
na
u
u
a
1
1
)
(log
;  
5) 
u
u
u
1
)
(ln
; 
6)
u
u
u
cos
sin
; 
7) 
u
u
u
sin
)
(cos
; 
8) 
u
u
u
tg
2
cos
1
)
(
; 
9) 
u
u
u
ctg
2
sin
1
)
(
; 
10) 
u
u
u
2
1
1
)
(arcsin
; 
11) 
u
u
u
2
1
1
)
(arccos
; 
12) 
u
u
u
arctg
2
1
1
)
(
; 
13) 
u
u
u
arcctg
2
1
1
)
(
; 
14) 
v
nu
u
u
vu
u
v
v
1
)
(
1
. 
5. Yuqori tartibli hosilalar. 
)
(x
f
y
 funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deb, 
uning   hosilasidan olingan hosilaga,  ya’ni 
)
( y
 ga aytiladi.  Ikkinchi tartibli hosila 
quyidagilarning biri bilan belgilanadi:               
                                 
2
2
/
),
(
,
dx
y
d
x
f
y
.  
)
(x
f
y
  funksiyaning 
n
-tartibli hosilasi deb uning 
)
1
(n
 tartibli hosilasidan 
olingan hosilaga aytiladi va quyidagilarning                                              biri bilan belgilanadi 
)
(n
y
,  
)
(
)
(
x
f
n
, 
n
n
dx
y
d
/
. Ta’rifga ko’ra 
)
1
(
)
(
n
n
y
y
.
 
6.Oshkormas  va  parametrik  berilgan  funksiyalarning  hosilalari  1). 
x
 
o’zgaruvchining 
y
  funksiyasi  oshkormas ko’rinishda 
0
)
,
(
y
x
F
  berilgan bo’lsa, 
y
 
hosilani topish uchun 
0
)
,
(
y
x
F
 tenglikni 
x
 bo’yicha differensiallab, so’ngra hosil bo’lgan 
tenglamadan 
y
 ni topamiz. Ikkinchi va undan yuqori tartibli hosilalar ham shu kabi topiladi. 
2). Funksional bo-lanish parametrik 
                  
t
y
y
t
x
x
  

 
324
ko’rinishda berilgan bo’lsa,  
2
2
,
dx
y
d
dx
dy
  hosilalar 
             
3
2
2
2
2
2
2
,
dt
dx
dt
dy
dt
x
d
dt
dx
dt
y
d
dx
y
d
dt
dx
dt
dy
dx
dy
(1) 
formula bilan topiladi.  
 
19-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiyaning differensiali va uning taqribiy hisoblashdagi 
tadbiqlari” mavzu bo‘yicha tayanch konspekt 
Reja 
1. Funksiyaning differensiali. 
2. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi. 
3. Differensial hisobning asosiy teoremalari 
                                                                                                                                                                                                                                                                                        
1.  Funksiyaning differensiali. 
)
(x
f
y
  funksiya 
0
x
 nuqtada differensiallanuvchi, ya’ni 
hosilaga ega bo’lsa, ya’ni 
    
0
0
,
,
0
x
y
x
y
y
x
y
im
x
      
lib, bunda 
 cheksiz kichik funksiya bo’ladi. Demak,  
                            
x
x
y
y
                                      (1) 
ladi. (1) formulaga funksiya orttirmasi uchun formula deyiladi. 
1-ta’rif. Funksiya orttirmasining 
x
y
 bosh qismiga funksiya differensiali deyiladi va  
dy
  bilan belgilanadi. 
Ta’rifga asosan, 
                                         
x
y
dy
                          (2) 
(2) formulada 
x
y
 bo’lsa, 
x
x
dx
 yoki 
x
dx
  bo’lib, funksiya differesiali 
                                          
dx
y
dy
        
ko’rinishda bo’ladi.  
Elementar funksiyalarning differensiali jadvalini keltiramiz. 
 
1. 
)
0
(
)
(
1
x
dx
nx
x
d
n
n
;                     2. 
);
1
,
0
(
ln
)
(
a
a
dx
a
a
a
d
x
x
 
3. 
)
1
,
0
,
0
(
log
1
)
(log
a
a
x
dx
e
x
x
d
a
a
;      4. 
dx
x
x
d
1
)
(ln
; 
5. 
xdx
x
d
cos
)
(sin
;                                      6. 
xdx
x
d
sin
)
(cos
; 
7. 
dx
x
tgx
d
2
cos
1
)
(
;                                    8. 
dx
x
ctgx
d
2
sin
1
)
(
; 
9. 
dx
x
x
d
2
1
1
)
(arcsin
 ;                          10.
dx
x
x
d
2
1
1
)
(arccos
; 
11. 
dx
x
arctgx
d
2
1
1
)
(
;                      12. 
dx
x
arcctgx
d
2
1
1
)
(
 
 

 
325
2. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi. 
 (1)  formuladan  
dy
y
 taqribiy tenglik kelib chiqadi,  ya’ni 
x
  yetarlicha  kichik 
bo’lganda, funksiya orttirmasi uning differensialiga taqriban teng deyish mumkin. Bunda 
dy
y
 bo’lib, ya’ni 
x
x
f
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
 yoki                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                            
x
x
f
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
              (3) 
 (3) formuladan funksiya qiymatini taqribiy hisoblashlarda foydalaniladi. 
 2-ta’rif. 
)
(x
f
y
  funksiyaning  ikkinchi tartibli differensiali  deb  funksiya 
differensialidan olingan differensialga aytiladi va 
                         
2
2
)
(
)
(
dx
y
dx
y
d
dy
d
y
d
 
bilan belgilanadi. 
Xuddi shunday,
n
n
n
dx
y
y
d
dx
y
y
d
)
(
3
3
,
...
,
  differensiallar  ham 
aniqlanadi. 
3. Differensial hisobning asosiy teoremalari 
   Biror funksiyaning hosilasini bilish funksional bog’lanish haqida xulosa chiqarishga imkoniyat 
yaratadi. Hosila tushunchasining har xil tatbiqlari, xususan iqtisodga qo’llanilishida sodda lekin 
muhim bo’lgan teoremalar va formulalar yotadi. Bu teoremalardan ayrimlarini isbotsiz 
keltiramiz. 
1. Ferma teoremasi. (1602-1665y. - atoqli fransuz matematigi). 
)
(x
f
 funksiya  birorta 
X
 
oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki 
c
 nuqtasida eng katta (eng kichik) qiymatga ega 
bo’lib, hamda bu nuqtada chekli 
)
(c
f
 hosila mavjud bo’lsa, 
                           
0
)
( c
f
 
 tenglik o’rinli bo’lishi zarur.  
Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. Teorema shartlari bajarilganda 
X
 
oraliqda shunday 
c
 nuqta mavjud bo’ladiki, bu nuqtadan funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma 
OX
 o’qiga parallel bo’ladi(1-chizma).                      
 
 
 
 
 
 
 
                  1-chizma                                                              2-chizma 
 
2.     Roll teoremasi. (Mishel Roll (1652-1719) fransuz matematigi). 1) 
)
(x
f
  
funksiya 
b
a,
  kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli 
b
a,
  oraliqda 
)
(x
f
 chekli hosila 
mavjud; 3) oraliqning chetki nuqtalarida funksiya teng
)
(
)
(
b
f
a
f
  qiymatlarni qabul qilsa, 
a
 va 
b
 orasida shunday 
c
 nuqta topiladiki, 
                                             
0
)
(c
f
 
tenglik bajariladi 
.
b
c
a
 
Geometrik nuqtasi nazardan Roll teoremasi quyidagini bildiradi: 
)
(x
f
y
 
funksiyaning chetki ordinatalari teng bo’lsa, egri chiziqda shunday nuqta topiladiki, undan egri 
chiziqqa o’tkazilgan o’rinma, 
OX
 o’qiga parallel bo’ladi (2-chizma). 
y 
x 
O 
c 
y 
x 
O 
A 
B 
a  
b
 
c  

 
326