O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev
-§. Statistik gipotezalar nazariyasi elementlari
Download 1.15 Mb. Pdf ko'rish
|
4. Farmanov Sh va boshqalar ENvaMS
- Bu sahifa navigatsiya:
- Kriteriylar
- Pirsonning хi-kvadrat kriteriysi
- 6.9-§. Styudent taqsimoti ( t -taqsimot) va uning qo‘llanilishi
6.8-§. Statistik gipotezalar nazariyasi elementlari Тajribada kuzatiladigan tasodifiy miqdorning taqsimoti haqida aytiladigan har qanday taхminga statistik gipoteza deyiladi. Bunday taхminlarni nazariy mulohazalar yoki boshqa kuzatuvlarning statistik tahliliga asoslanib aytish mumkin. Masalan asli qiymati « a » noma’lum bo‘lgan fizik kattalikni o‘lchash tajribasini ko‘raylik (masalan, a – biror samoviy jism diametri). Тajriba natijalariga bir qancha tasodifiy faktorlar ta’sir qiladi (o‘lchash asbobining aniqligi, muhit harorati, va h.k.). Shuning uchun k -o‘lchash natijasi (kuzatuv) k k X a ε = + ko‘rinishda bo‘lib bu yerda k ε – o‘lchashda yo‘l qo‘yiladigan tasodifiy хatolikdir. Odatda, yuqorida aytilgan tasodifiy ta’sirlarni inobatga olinganida, k ε ko‘p sondagi har biri juda katta bo‘lmagan tasodifiy хatolar yig‘indisi ko‘rinishida bo‘ladi. Shuning uchun markaziy limit teorema asosida k X ni taqriban normal taqsimotga ega degan taхminni ayta olamiz. 191 Aniqlanishi kerak bo‘lgan noaniqlik haqida aytilgan va tekshirilishi lozim bo‘lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi (odatda uni nolinchi gipoteza deb atalib, 0 H bilan belgilanadi). Statistik gipotezalarni tekshirish deganda biz shunday qoidani tuzishimiz kerakki, bu qoidaga binoan tanlanma natijalariga asoslanib asosiy gipoteza 0 H ni yo qabul qilishimiz yoki rad etishimiz kerak. Asosiy gipoteza 0 H ni qabul qilishni yoki rad etishni aniqlovchi qoida statistik kriteriy deyiladi. Bunday qoidalarni (kriteriylarni) ishlab chiqish va ularni optimallashtirish usullarini aniqlash – statistik gipotezalar nazariyasining masalalaridir. Asosiy gipotezadan farqli bo‘lgan har qanday statistik gipoteza alternativ (qarshi) gipoteza deyiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan misolda { } 0 0 H a a = = asosiy gipotezaga { } 1 0 H a a = ≠ gipoteza alternativ bo‘ladi. Agar statistik gipoteza noma’lumni bir qiymatli aniqlasa, bunday gipotezaga sodda gipoteza deyiladi. Aks holda u murakkab gipoteza deyiladi (keltirilgan misolda 0 H – sodda, 1 H – murakkab gipoteza). Statistik gipotezaga misollar keltiraylik. 1-misol (taqsimot haqida gipoteza). Faraz qilaylik, taqsimot funksiyasi ( ) F x ξ noma’lum bo‘lgan tasodifiy miqdor ξ ustida hajmi n bo‘lgan kuzatuvlar olib borilgan bo‘lsin. Тekshirilishi lozim bo‘lgan gipoteza 0 H : ( ) ( ) F x F x ξ = , bu yerda ( ) F x – to‘la to‘kis berilgan (ma’lum), masalan, ( ) ( ) F x x ξ = Φ – normal taqsimot funksiyasi, yoki 0 H : F ξ ∈F , bu yerda F – berilgan taqsimot funksiyalar oilasi. Ko‘p holda, odatda F parametrik taqsimot funksiyalar oilasi bo‘ladi: ( ) { } , , F H θ θ = ⋅ ∈ F . Misol uchun ( ) ( ) { } : 0, θ θ = Π ∈ ∞ F , ( ) θ Π – parametri θ bo‘lgan Puasson taqsimot funksiyasi. Keltirilgan gipoteza taqsimot ko‘rinishi haqidagi gipoteza deyiladi. 192 2–misol (bir jinslilik gipotezasi). Natijalari ( ) 1 ,..., i i in x x , 1,..., i k = bo‘lgan k ta bog‘liqsiz kuzatuvlar seriyalari o‘tkazilgan bo‘lsin. Bu kuzatuvlar bitta tasodifiy miqdor ustida olib borilganligiga asos bormi, ya’ni kuzatuvlar taqsimoti seriyadan seriyaga o‘zgarmaydimi? Agar javob “ha” bo‘lsa, bu tanlanmalar bir jinsli deyiladi. Agar ( ) l F x deb l -seriyada kuzatilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini belgilasak, bir jinslilik haqidagi asosiy gipoteza ( ) ( ) 0 1 : ... k H F x F x = = ko‘rinishda bo‘ladi. 3-misol (bog‘liqsizlik gipotezasi). Тajribada ( ) , X Y ikki o‘lchovli tasodifiy vektor kuzatilib, uning taqsimot funksiyasi ( ) ( ) , , X Y F u v noma’lum bo‘lsin. Agar , X Y larni bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar deyishga asos mavjud bo‘lsa, asosiy gipoteza ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , : , X Y X Y H F u v F u F v = ko‘rinishda bo‘ladi (bu yerda ( ) X F u , ( ) Y F v – mos ravishda X va Y tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari). Тabiiyki bu keltirilgan misollar amaliyotda uchraydigan barcha hollarni o‘z ichiga olmaydi. Хususan, talaygina hollarda noaniqlik taqsimot funksiya bog‘liq bo‘lgan parametrda (yoki parametrlarda) bo‘ladi, ya’ni parametr noma’lum (masalan, bosh to‘plamning o‘rta qiymati yoki dispersiya va h.k.). Statistik gipoteza shu parametr ma’lum qiymatga tengligidan ( ) 0 0 : H θ θ = yoki berilgan sonli to‘plamga tegishligidan ( ) 0 : H θ ∈Θ iborat bo‘ladi. Bunday gipotezalarga parametrik gipotezalar deyiladi. Kriteriylar Faraz qilaylik, 1 ,..., n X X kuzatuvlar olib borilgan tasodifiy miqdor X dagi mavjud bo‘lgan noaniqlik haqida 0 H gipoteza (taxmin) qabul qilingan bo‘lsin. Bu gipotezani tekshirish quyidagi qadamlarda amalga oshiriladi. Avvalo empirik ma’lumotlarni (tanlanmani) 0 H gipotezadagidan farqini хarakterlovchi statistika ( ) 1 ,..., n T T X X = tanlanadi. Odatda bunday statistika manfiy bo‘lmaydi va uning taqsimotini 0 H da aniq yoki taхminan topish mumkin bo‘ladi. Хususan, agar 0 H 193 murakkab bo‘lsa, T ning taqsimoti 0 H ni tashkil etuvchi barcha gipotezalar uchun bir хil bo‘ladi. Faraz qilaylik, bunday statistika ( ) 1 ,..., n T T X X = tanlangan bo‘lib, uning qabul qiladigan qiymatlari to‘plami J , ya’ni ( ) { } 1 1 : ,..., , ,..., n n J t t T x x x x = = ∈Ψ , bu yerda Ψ – kuzatilayotgan tasodifiy miqdorning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Oldindan yetarlicha kichik 0 α > olib, J ni shunday qismi 1 J α ( ) 1 J J α ⊂ ni ajratamizki, agar asosiy gipoteza 0 H o‘rinli bo‘lsa ( ) 1 1 ,..., n T X X J α ∈ hodisaning ehtimolligi (bunday ehtimollikni ( ) { } 1 1 0 ,..., / n P T X X J H α ∈ ko‘rinishda yozamiz) α dan katta bo‘lmasin: ( ) { } 1 1 0 ,..., / n P T X X J H α α ∈ ≤ . Bunda 0 H ni tekshirish qoidasi quyidagicha bo‘ladi. Faraz qilaylikki, n ta tajriba o‘tkazilib 1 , ..., n x x natijalar olindi va ( ) 1 ,..., n T X X statistikaning mos qiymati ( ) 1 ,..., n t T x x = bo‘lsin. Agar 1 t J α ∈ bo‘lsa, u holda 0 H gipotezada ehtimolligi kichik ( ) α bo‘lgan hodisa ro‘y bergan bo‘lib, 0 H gipoteza rad etilishi kerak (chunki tajribalar natijalari uni tasdiqlamadi). Aks holda, ya’ni agar 1 t J α ∉ bo‘lsa, 0 H gipotezani qabul qilishga asos bor, chunki tajriba natijalari uni tasdiqlayapti. Shuni aytish kerakki, 1 t J α ∉ (ya’ni 1 \ t J J α ∈ ) bo‘lsa, albatta 0 H ni qabul qilish kerak degan qat’iy fikr aytilmaydi, faqatgina shu konkret tajribalar natijalari 0 H ni tasdiqlayapti va uni qabul qilishga asos bor deyiladi, хolos. Aytilgan qoidadagi ( ) 1 ,..., n T X X statistika kriteriy statistikasi, 1 J α to‘plam kritik to‘plam, α esa muhimlilik darajasi deyiladi. Bunda ikki turdagi хatoga yo‘l quyilishi mumkin: Aslida asosiy gipoteza 0 H to‘g‘ri bo‘lganda uni rad etishdan hosil bo‘lgan хato, ya’ni aslida 0 H to‘g‘ri, lekin ( ) 1 1 ,..., n t T x x J α = ∈ bo‘ldi. Bunday хato birinchi turdagi хato deyiladi. Demak birinchi turdagi хato ehtimolligi α dan 194 oshmasligi kerak. Ikkinchi holda – aslida asosiy gipoteza 0 H noto‘g‘ri bo‘lganda uni qabul qilishdan hosil bo‘lgan хato, ya’ni aslida 0 H noto‘g‘ri, ammo tajriba natijalari 1 ,..., n x x da ( ) 1 1 ,..., n t T x x J α = ∉ bo‘ldi va 0 H qabul qilindi. Bunday хatoni ikkinchi turdagi хato deyiladi. Odatda bu хatoliklarga yo‘l qo‘yish ehtimolliklari mos ravishda birinchi va ikkinchi turdagi хatolik ehtimolliklari deyiladi. Yuqorida aytilganidek, asosiy gipoteza 0 H dan farqli bo‘lgan har qanday 1 H gipoteza qarshi (alternativ) gipoteza deyiladi, va ( ) { } 1 1 1 ,..., / n P T X X J H α ∈ ehtimollikni kriteriy quvvati deyiladi. Umuman ( ) { } ( ) 1 1 ,..., / n P T X X J H W H α ∈ = ehtimollik gipoteza H ning funksiyasi sifatida qaralib, kriteriyning quvvat funksiyasi deyiladi va 1 H H = bo‘lganda ( ) 1 W H ehtimollik aslida asosiy gipoteza noto‘g‘ri bo‘lganida uni rad etish ehtimolligini beradi. Kritik to‘plam 1 J α ni ko‘rinishiga qarab kriteriy uch turga bo‘linadi: agar { } 1 : J t t C α α = > bo‘lsa o‘ng tomonlama, { } 1 : J t t C α α = < bo‘lsa chap tomonlama, { } 1 1 2 : J t C t C α α α = < < bo‘lsa ikki tomonlama kriteriy deyiladi. 1 2 , , C C C α α α larga kritik nuqtalar deyiladi. Shuni aytish kerakki, kritik nuqtani aniqlash uchun, yuqorida aytilganga ko‘ra ( ) { } 1 1 0 ,..., / n P T X X J H α α ∈ = tenglamani yechish kerak (aniqlik uchun o‘ng tomonli kriteriyni ko‘ramiz). Buning uchun esa o‘z navbatida kriteriy statistikasining taqsimot funksiyasini bilish kerak. Ammo amaliyotda ko‘p hollarda statistikaning taqsimotini aniqlab bo‘lmaydi. Shuning uchun statistika taqsimoti uchun limit teoremalardan foydalaniladi, ya’ni ma’lum shartlarda ( ) { } ( ) 1 0 0 ,..., / n P T X X C H C α α > Φ ∼ ekanligi ko‘rsatiladi, bunda ( ) 0 x Φ ma’lum funksiya ( ( ) 0 x Φ funksiyaning qiymatlari 2-ilovadagi jadvalda keltirilgan). Kritik nuqta C α quyidagi ( ) C α α Φ = tenglamaning yechimi sifatida olinadi. 195 Yuqoridagi 1-misolda ko‘rdikki, ko‘p hollarda kuzatishlar natijasiga ko‘ra noma’lum taqsimot qonini haqidagi gipotezalarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. Noma’lum taqsimot qonuni haqidagi gipotezani tekshirish uchun qo‘llaniladigan statistik kriteriyga moslik kriteriysi deyiladi. Turli moslik kriteriylari mavjud, ya’ni Pirson, Kolmogorov, Fishear va boshqalarning moslik kriteriylari. Amaliyotda Pirsonning moslik kriteriysi eng ko‘p qo‘llaniladi. Shuning uchun bu kriteriy haqida batafsil to‘xtalib o‘tamiz. Pirsonning хi-kvadrat kriteriysi Faraz qilaylik, kuzatilayotgan ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ( ) F x ξ noma’lum bo‘lsin. Asosiy gipoteza sifatida ( ) ( ) 0 : H F x F x ξ = olaylik, bu yerda ( ) F x – ma’lum taqsimot funksiya, demak 0 H – sodda gipoteza. Тasodifiy miqdor ξ ni qiymatlar to‘plamini A orqali belgilaylik. A ni k ta kesishmaydigan qismlar (oraliq)lar 1 2 , , ..., k ε ε ε ga bo‘lamiz: 1 , k ε ε ε = ∩ = ∅ ∪ i i j i A = , , , 1,..., i j i j k ≠ = . i υ deb ε i oraliqga tushgan kuzatuvlar sonini belgilaymiz, ya’ni 1 ,..., n X X tanlanmadan ε i oraliqga tegishli bo‘lganlar soni. i υ ga ε i oraliq chastotasi, ( ) 1 ,..., k υ υ υ = chastotalar vektori deyiladi. Chastotalar vektori υ tanlanma vektor 1 ,..., n X X orqali bir qiymatli aniqlanadi va 1 ... k n υ υ + + = bo‘ladi. Asosiy gipoteza 0 H o‘rinli degan shart ostida iхtiyoriy kuzatuvni ε i oraliqdan olingan bo‘lish shartli ehtimolligini 0 i P orqali belgilaylik: { } 0 0 / i i P P X H ε = ∈ , 1,..., . i k = Kriteriy statistikasi sifatida ( ) 2 2 0 1 0 k i i n i i nP X nP υ = − = ∑ (*) 196 olinadi. Ehtimollikning statistik ta’rifiga ko‘ra (yoki katta sonlar qonunining Bernulli formasiga ko‘ra) agar 0 H o‘rinli bo‘lsa i n υ nisbiy chastota 0 i P ehtimollikga yaqin bo‘lishi kerak. Demak, agar 0 H o‘rinli bo‘lsa, 2 n X statistika katta bo‘lmasligi kerak. Shunday qilib Pirsonning 2 χ kriteriysi 2 n X statistikaning katta qiymatlarida asosiy gipoteza 0 H ni rad etadi, ya’ni kritik to‘plam o‘ng tomonli bo‘lib { } 1 : J t t C α α = > ko‘rinishda bo‘ladi. Pirson teoremasiga ko‘ra (*) statistika n → ∞ da ozodlik darajasi 1 k − bo‘lgan 2 χ taqsimot bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi. Agar ( ) F x taqsimot funksiyasi ( ) 1 2 , ,..., m θ θ θ θ = noma’lum m ta parametrga bog‘liq bo‘lsa, ( ) 0 0 i i P P θ = ehtimolliklar ham θ parametrlarga bog‘liq bo‘ladi. Bunday vaziyatda ( ) 0 i P θ ehtimolliklarni hisoblashda θ parametrlar ularning baholari bilan almashtiriladi (masalan, HKO‘U orqali topilgan baholar). Bu holda 2 χ taqsimotning ozodlik darajasi parametrlar soni m ga kamaytiriladi, ya’ni ozodlik darajasi 1 k m − − bo‘ladi. Xususan, agar normal taqsimot haqidagi gipoteza qaralsa, 2 m = bo‘ladi. Amaliyotda Pirson teoremasini 50 n ≥ , 5 i υ ≥ bo‘lganda qo‘llash mumkin. Bunda kritik nuqta C α ni berilgan α muhimlilik darajasi bo‘yicha 2 χ taqsimot jadvali orqali topiladi. Demak kuzatuv natijalariga ko‘ra 2 n X C α > bo‘lsa 0 H gipoteza rad etiladi. Aksincha, agar 2 n X C α ≤ bo‘lsa, 0 H gipotezani qabul qilishga asos bor deyiladi. 6.9-§. Styudent taqsimoti (t-taqsimot) va uning qo‘llanilishi Faraz qilaylik, X parametrlari ( ) 2 , a σ bo‘lgan normal taqsimotga ega bo‘lsin. Statistika terminlarida oxirgi jumla bosh to‘plam ( X ning qiymatlari) 197 berilgan parametrlar bilan normal taqsimlanganligini ifodalaydi. Oldingi paragraflarda keltirilgan faktlardan kelib chiqadiki, 1 ... n x x x n + + = statistika noma’lum parametr a EX = ucun eng yaxshi baho bo‘ladi (bu yerda 1 , x 2 , x …, n x – normal taqsimotga ega bo‘lgan bosh to‘plamdan hajmi n ga teng qilib olingan tanlanma). Juda oson ko‘rish mumkinki, x a Z n σ − = ⋅ statistika standart normal taqsimotga ega bo‘ladi, ya’ni ( ) ( ) 2 2 1 . 2 x u P Z x x e du π − −∞ < = Φ = ∫ Bu holda tanlanma o‘rta qiymat x ning noma’lum parametr a dan qanchalik chetlanishi haqida to‘la ma’lumotga ega bo‘lamiz. Lekin ko‘p hollarda bosh to‘plamning dispersiyasi 2 σ noma’lum miqdor bo‘ladi. Shuning uchun ham x a t n S − = ⋅ statistikaning taqsimotini o‘rganish katta amaliy ahamiyatga ega bo‘ladi. Bu yerda ( ) 2 2 1 1 1 n i i S x x n = = − − ∑ noma’lum parametr 2 σ uchun siljimagan, asosli optimal baho. Matematik statistika bo‘yicha adabiyotlarda isbot etilganki ( ) ( ) , , x P t x S u n du −∞ < = ∫ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 , . 1 1 1 2 1 n n S x n n n x n π ⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⋅ ⋅ − ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ (1) Keltirilgan (1) formula ko‘rinishidagi zichlik funksiyasiga ega bo‘lgan taqsimotni ozodlik darajasi 1 n − ga teng bo‘lgan Styudent taqsimoti (yoki t -taqsimot) 198 deyiladi. Yana (1) formuladan ko‘rinadiki t -taqsimot noma’lum parametrlar a va 2 σ larga bog‘liq bo‘lmasdan, faqatgina tanlanma hajmi n orqali aniqlanadi. Shuning uchun ham bu taqsimot matematik statistikaning amaliy masalalarida juda muhim rol o‘ynaydi va matematik statistika bo‘yicha yozilgan kitoblarda ( ) , S x n funksiyaning qiymatlari jadvali keltirilgan. Endi Styudent taqsimotining statistik gipotezalarni tekshirish masalalariga tadbiqi haqida to‘xtaymiz. Ko‘p amaliy tadqiqotlarda ikkita taqsimotning o‘rta qiymatlari tengligi haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish kerak bo‘ladi. Aytilgan fikrni statistik masala ko‘rinishida umumiy holatda keltiramiz. Faraz qilaylik, X va Y tasodifiy miqdorlar normal taqsimotga ega bo‘lsin. O‘z navbatida 1 1 2 , ,..., n X X X va 2 1 2 , ,..., n Y Y Y tanlanmalar mos ravishda X va Y bosh to‘plamlardan olingan bo‘lsin. Bu tanlanmalar asosida 0 : H EX EY = va unga alternativ bo‘lgan 1 : H EX EY ≠ ( 0 EX EY − > ) gipotezalarni tekshirish masalasini ko‘ramiz. Noma’lum miqdorlar EX va EY lar uchun 1 1 1 ... , n X X X n + + = 2 1 2 ... n Y Y Y n + + = statistikalar eng yaxshi baho bo‘ladi. X va Y miqdorlarning dispersiyalari uchun 2 2 2 X Y DX DY σ σ σ = = = = (2) shartni qabul qilamiz va bu yerda 2 σ ni noma’lum parametr deb hisoblaymiz (keyingi mulohazalar ko‘rsatadiki, (2) tenglik deyarli umumiylikni chegaralamaydi). Oldingi paragraflarda keltirilgan natijalardan kelib chiqadiki ( ) 1 2 2 1 1 1 , 1 n X i i S X X n = = − − ∑ ( ) 2 2 2 1 2 1 1 n Y i i S Y Y n = = − − ∑ statistikalar mos ravishda ( ) 1 1 2 , ,..., n X X X va ( ) 2 1 2 , ,..., n Y Y Y tanlanmalar bo‘yicha 2 σ uchun siljimagan baholar bo‘ladi. Lekin X va Y bosh to‘plamlar umumiy dispersiya 2 σ ga ega bo‘lganlari uchun noma’lum 2 σ ni baholashda har ikki 199 tanlanmadan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Qiyin bo‘lmagan mulohazalar ko‘rsatadiki ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 , 1 2 1 1 2 X Y X Y S n S n S n n − + − = + − statistika 2 σ uchun eng yaxshi baho bo‘ladi (siljimagan, eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan statistik baho). Agar 0 H gipoteza o‘rinli bo‘lsa, X Y − tasodifiy miqdor o‘rta qiymati 0 va dispersiyasi 2 1 2 1 1 n n σ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ bo‘lgan normal taqsimotga ega bo‘ladi. Haqiqat ham ( ) 0, E X Y E X EY − = − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 1 . D X Y D X D Y n n n n σ σ σ ⎛ ⎞ − = + = + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Bevosita hisoblash yo‘li bilan quyidagi tengliklarni to‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilamiz: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 , , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 X Y X Y X Y S n S n E S ES E n n n n n n n n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + = + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 X Y n ES n ES n n n n n n n n n n σ σ − + − − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 1 1 . n n σ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Demak X Y − tasodifiy miqdorning dispersiyasi ( ) D X Y − uchun ( ) 2 2 , 1 2 1 1 X Y X Y S S n n − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ statistika yaxshi baho sifatida qabul qilinishi mumkin ekan. Aytib o‘tilganlardan kelib chiqadiki ( ) 2 X Y X Y E X Y t S − − − − = 200 statistika (tasodifiy miqdor) ozodlik darajasi 1 2 2 k n n = + − bo‘lgan Styudent taqsimotiga ega bo‘lar ekan. Agar 0 H gipoteza o‘rinli bo‘lsa, t statistikani ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 X Y X Y t n S n S n n n n − = − + − ⎛ ⎞ + ⋅ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ (3) ko‘rinishida yozish mumkin. Aytib o‘tilgan fikrlarni umumlashtirib, quyidagi teoremaning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Download 1.15 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling