O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev
Download 1.15 Mb. Pdf ko'rish
|
4. Farmanov Sh va boshqalar ENvaMS
- Bu sahifa navigatsiya:
- 6.6-§. Nuqtaviy baholarni topish usullari
- 2. Haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli ( HKO‘U
- Eng kichik kvadratlar usuli ( EKKU
Teorema . Agar θ ∗ baho θ parametr uchun siljimagan baho va n → ∞ da 0 D θ ∗ → bo‘lsa, u holda * θ asosli baho bo‘ladi. Bu teoremani Chebishev tengsizligi yordamida oson isbotlash mumkin. Baholanayotgan parametr uchun bir nechta baho taklif etish mumkin. U holda ularning orasidan “eng yaхshisini” tanlash masalasi kelib chiqadi. Тabiiyki, statistik baho dispersiyasining kichik bo‘lishini ta’minlashga harakat qilishimiz kerak. Shu maqsadda effektiv baho tushunchasini kiritamiz. Berilgan n hajmli 181 tanlanma to‘plamdagi eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan siljimagan statistika effektiv baho deyiladi. Effektiv baholar odatda Rao-Kramer tengsiligidan foydalanib topiladi, ya’ni: ( ) 1 D nI θ θ ∗ ≥ , (*) bu yerda ( ) I θ – Fisher informatsiyasi bo‘lib, uni quyidagicha aniqlanadi: diskret hol uchun ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , ln , , , n k k k k p x I E p p x p x θ θ θ ξ θ θ θ θ = ⎡ ⎤ ′ ∂ ⎡ ⎤ = = ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ , bu yerda ( ) { } , p x P x θ ξ = = ; uzluksiz hol uchun ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , ln , , , f x I E p f x dx f x θ θ θ ξ θ θ θ θ ∞ −∞ ⎡ ⎤ ′ ∂ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ , bu yerda ( ) , f x θ – ξ tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi. Rao-Kramer tengsizligi (*) dan ko‘rinadiki * θ baho effektiv bo‘lishligi uchun ( ) 1 D nI θ θ ∗ = bo‘lishligi yetarli va zaruriy shart. Agar ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 1 2 2 * 1 2 * , ,..., lim 1 inf , ,..., i n n i n E x x x E x x x θ θ θ θ θ →∞ − = − bo‘lsa, * θ baho asimptotik effektiv baho deyiladi. Statistik baholar ikki хil – nuqtaviy va intervalli bo‘ladi. Bitta miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho nuqtaviy baho deyiladi. Baholanayotgan parametrni qoplaydigan intervalning chegaralarini bildiruvchi ikki miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho intervalli baho deyiladi. Endi ba’zi statistik baholar va ularning хossalarini keltiramiz. 182 ξ tasodifiy miqdorning kuzatilgan qiymatlari, ya’ni tanlanma 1 2 , , ..., n x x x bo‘lsin. Tanlamaning o‘rta qiymati x bosh to‘plam matematik kutilmasining siljimagan va asosli bahosi bo‘ladi. Buni tekshirish qiyin emas, ya’ni i E Ex a ξ = = , i D Dx ξ = ( ) 1, i n = desak, 1 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i i Ex E x E x Ex na E n n n n ξ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = = ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ . Demak, x baho E ξ uchun siljimagan baho bo‘ladi. Katta sonlar qonuniga asosan har qanday 0 ε > uchun n → ∞ da ( ) 0 P x E ξ ε − > → va x baho E ξ uchun asosli baho boladi.. Хususan, agar ξ normal taqsimlangan bo‘lsa, u holda x qiymati E ξ uchun effektiv baho bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Тanlanma dispersiya ( ) 1 2 1 n i i T D x x n = = − ∑ bosh to‘plam dispersiyasining siljigan bahosi bo‘ladi, chunki 1 T n ED D n ξ − = . Haqiqatan ham, quyidagi tengliklarni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 n n n i i i n i n i T i i i i i D x E x E x E x E x E n n n n x E x E x E x E n x E n n n x E x E n ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = = = = = = − − − = − − − − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + − = − − − − + − = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ va ( ) 2 1 x E Dx D n ξ ξ Ε − = = ekanligini e’tiborga olsak, ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 n i T i n ED E x E E x E D D D n n n ξ ξ ξ ξ ξ = − = − − − = − = ∑ 183 bo‘ladi. Shu sababli, bosh to‘plam dispersiyasi D ξ uchun quyidagi “tuzatilgan” dispersiya ( ) 2 2 1 1 1 1 n T i i n S D x x n n = = = − − − ∑ siljimagan baho bo‘ladi, chunki 2 ES D ξ = . Тanlanma dispersiyasining n → ∞ da D ξ uchun asosli baho ekanligini ko‘rsatish mumkin. Тanlanma dispersiyasini hisoblaganda quyidagi formuladan foydalanish qulay: 1 2 2 1 n i T i D x x n = = − ∑ . Tanlanma dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga T T D σ = tanlanmaning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi. Tanlanmaning “tuzatilgan” dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga 1 T n S D n = − tanlanmaning “tuzatilgan” o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi. Empirik taqsimot funksiyasi ( ) * n F x taqsimot funksiya ( ) ( ) F x P x ξ = < uchun siljimagan va asosli baho bo‘ladi. 6.6-§. Nuqtaviy baholarni topish usullari Nuqtaviy baholarni topishning juda ko‘p usullari mavjud. Biz ko‘p tarkalgan usullar: momentlar usuli, haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli va eng kichik kvadratlar usuliga to‘xtalib o‘tamiz. 1 . Momentlar usuli . Momentlar usuli yordamida baho toppish uchun taqsimotning nazariy momentlari tanlanma to‘plam yordamida topilgan mos empirik momentlar bilan tenglashtiriladi. 184 Demak, agar taqsimot bitta parametr θ ga bog‘liq bo‘lsa, u holda E x ξ = tenglamani θ nisbatan yechish kerak bo‘ladi. Agar taqsimot ikkita parametr 1 2 , θ θ ga bog‘liq bo‘lsa, u holda , T E x D D ξ ξ = ⎧ ⎨ = ⎩ tenglamalar sistemasini 1 2 , θ θ ga nisbatan yechish kerak bo‘ladi. Va nihoyat, agar taqsimot n ta parametr 1 2 , ,..., n θ θ θ ga bog‘liq bo‘lsa, u holda 1 2 2 1 1 1 , 1 , . . . 1 n i i n i i n k k i i E x n E x n E x n ξ ξ ξ = = = ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪⎩ ∑ ∑ ∑ yoki ( ) ( ) 1 , , . . . 1 T n k k i i E x D D E E x x n ξ ξ ξ ξ = = ⎧ ⎪ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ − = − ⎪⎩ ∑ tenglamalar sistemasining bittasini yechish kerak bo‘ladi. Odatda momentlar usuli yordamida topilgan baho asosli bo‘ladi. 1-misol. Momentlar usuli yordamida normal taqsimlangan ξ tasodifiy miqdor parametrlarining bahosi topilsin. Berilganga ko‘ra, 1 2 , ,..., n x x x tanlanma yordamida 1 a E ξ θ = = va 2 2 D σ ξ θ = = parametrlar uchun nuqtaviy baho topish kerak. Momentlar usuliga ko‘ra , T E x D D ξ ξ = ⎧ ⎨ = ⎩ ya’ni 2 , T a x D σ = ⎧ ⎨ = ⎩ bo‘ladi. Demak, normal taqsimot parametrlari uchun momentlar usuli yordamida topilgan baholar * 1 x θ = va * 2 T D θ = . 2. Haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli ( HKO‘U ). Ayataylik ξ tasodifiy miqdor ustida n ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazib, 1 2 , ,..., n x x x tanlanma olingan bo‘lsin. 185 Ushbu tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining ko‘rinishi ( ) , f x θ ma’lim, lekin θ parametr noma’lum. Tanlanma yordamida θ parametrni baholash talab etiladi. HKO‘U asosida, haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi tushunchasi yotadi. Tanlanma 1 2 , ,..., n x x x yordamida qurilgan haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi deb, quyidagi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , ,..., , , , ... , n n L x L x x x f x f x f x θ θ θ θ θ = = ⋅ ⋅ ⋅ ko‘rinishdagi θ argumentning funksiyaga aytiladi. Agar ξ tasodifiy miqdor diskret tipda bo‘lsa, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , ... , n L x p x p x p x θ θ θ θ = ⋅ ⋅ ⋅ ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda ( ) { } , p x P x θ ξ = = . HKO‘U ko‘ra θ parametrning nuqtaviy bahosi sifatida θ ning shunday qiymati olinadiki, bu qiymatda haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi maksimumga erishadi. Bunday yo‘l bilan topilgan baho haqiqatga eng katta o‘xshash baho deb ataladi va u ( ) , 0 dL x d θ θ = tenglamaning yechimi bo‘ladi. Ushbu ( ) , L x θ va ( ) ln , L x θ funksiyalar θ ning bir xil qiymatida maksimumga erishishini e’tiborga olib, qulaylik uchun ( ) , L x θ funksiya o‘rniga ( ) ln , L x θ funksiya maksimumi topiladi. Shunday qilib, haqiqatga eng katta o‘xshash bahosini topish uchun: 1. Haqiqatga o‘xshashlik tenglamasi ( ) ( ) ln , 0 d L x d θ θ = ni yechish; 2. Yechimlar ichidan ( ) ln , L x θ ga maksimum qiymat beradiganini ajratib olish. Buning uchun ikkinchi tartibli hosilasidan foydalanishi qulay, ya’ni agar 186 ( ) ( ) * 2 2 ln , 0 d L x d θ θ θ θ = < bo‘lsa, u holda * θ θ = maksimum nuqtasi bo‘ladi. Agar taqsimot qonuni n ta 1 2 , , ..., n θ θ θ parametrlarga bog‘liq bo‘lsa, u holda * * * 1 2 , , ..., n θ θ θ baholar ( ) ( ) 1 ln 0, . . . ln 0 n d L d d L d θ θ ⎧ = ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪⎩ tenglamalar sistemasi yechimlari orqali aniqlanadi. 2-misol. HKO‘U yordamida Puasson taqsimotining λ parametri uchun baho topilsin. Bu holda { } ! k P k e k λ λ ξ − = = . Shuning uchun i x ∈N da ( ) , ! i x i i p x e x θ θ θ − = . Haqiqatga o‘xshashlik funksiyasini topamiz ( ) 1 2 1 1 2 1 1 , ... ! ! ! ! ... ! n n i i x x x x n n n e e e L x e x x x x x θ θ θ θ θ θ θ θ θ = − − − − ∑ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . U holda ( ) 1 1 1 ln , ln ln ! ... ! n i i n L x n x x x θ θ θ = ⎛ ⎞ = − + ⋅ − ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ∑ va ( ) 1 ln , 1 n i i d L x n x d θ θ θ = = − + ∑ . Haqiqatga o‘xshashlik tenglamasi quyidagi ko‘rinishiga ega: * 1 1 0 n i i n x θ θ θ = = ⎛ ⎞ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ . 187 Bu yerdan * 1 1 n i i x x n θ = = = ∑ ekanligini topamiz. Endi ( ) * * 2 2 2 1 1 ln , 1 1 0 n n i i i i d L x d n x x d d θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = = ⎛ ⎞ = − + = − < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ekanligini aniqlaymiz. Demak * x θ = haqiqatga eng katta o‘xshash baho bo‘ladi. 3. Eng kichik kvadratlar usuli ( EKKU ). Noma’lum parametr θ uchun, tanlanma qiymatlarining izlanayotgan bahodan chetlanishi kvadratlarining yig‘indisini minimallashtirish asosida baho topish usuli eng kichik kvadratlar usuli deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, EKKUda * θ ning ushbu ( ) ( ) 2 1 min n i i G x θ θ = = − → ∑ yig‘indini minimallashtiruvchi qiymatini topish talab etiladi. 3-misol. EKKU yordamida Puasson taqsimotining λ parametri uchun baho topilsin. Buning uchun ( ) ( ) 2 1 n i i G x θ θ = = − ∑ funksiyaning minimum nuqtasini topamiz: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 n i i G x θ θ = ′ = − ⋅ − ∑ . Endi ( ) 0 G θ ′ = tenglamadan kritik nuqtani aniqlamiz: 1 1 0 n n i i i x θ = = − = ∑ ∑ , bu yerdan 1 n i i x n θ = = ∑ va 1 1 n kr i i x n θ = = ∑ . Bu nuqta minimum nuqtasi bo‘lishi uchun ( ) 0 kr G θ ′′ > ekanligini ko‘rsatishimiz kerak, ya’ni 188 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 0 n n kr i i i G x n θ θ = = ′ ⎛ ⎞ ′′ = − − = − − = > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ . Demak, ( ) G θ funksiyaning minimum nuqtasi 1 1 n kr i i x n θ = = ∑ ekan va * 1 1 n i i x n θ = = ∑ baho λ parametr uchun EKKU yordamida topilgan baho bo‘ladi. 6.7-§. Intervalli baholash. Ishonchlilik intervallari Oldingi paragrafda ko‘rib chiqilgan baholarning hammasi nuqtaviy baholar edi. Agar tanlanmaning hajmi kichik bo‘lsa, u holda nuqtaviy baho baholanayotgan parametrdan sezilarli farq qilishi mumkin. Shu sababli tanlanma hajmi kichik bo‘lganida bahoning aniqligi va ishonchliligini yaхshiroq ta’minlaydigan interval baholardan foydalanish o‘rinliroqdir. Avvalgidek, ( ) * * 1 2 , ,... n x x x θ θ = statistik baho θ noma’lum parametrning bahosi bo‘lsin. Тushunarliki, * θ θ − ayirma qanchalik kichkina bo‘lsa, * θ statistik baho θ parametrni shuncha aniq baholaydi. Statistik metodlar * θ baho * θ θ δ − < tengsizlikni albatta qanoatlantiradi deb tasdiqlashga to‘la imkon bermaydi, shu sababli bu tengsizlik amalga oshishi mumkin bo‘lgan ehtimollik haqida gapirish mumkin. Agar * θ θ δ − < tengsizlik γ ehtimollik bilan o‘rinli, ya’ni ( ) * P θ θ δ γ − < = bo‘lsa, u holda γ ehtimollikni θ parametr uchun * θ statistik bahoning ishonchlilik ehtimolligi deyiladi. Odatda bahoning ishonchlilik ehtimolligi oldindan berilgan bo‘ladi va birga yaqin qilib olinadi, masalan: 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. Faraz qilaylik, ( ) * P θ θ δ γ − < = tenglik bajarilgan bo‘lsin, u holda bu ifoda ( ) * * P θ δ θ θ δ γ − < < + = 189 bilan teng kuchlidir, ya’ni ( ) * * , θ δ θ δ − + oraliq (interval) θ noma’lum parametrni o‘z ichiga olish ehtimolligi γ ga teng. Noma’lum θ parametrni berilgan γ ishonchlilik ehtimolligi bilan o‘z ichiga olgan ( ) * * , θ δ θ δ − + oraliq ishonchlilik intervali deyiladi. Ishonchlilik intervalini topishga doir misol tariqasida quyidagi masalani ko‘ramiz. ξ tasodifiy miqdor ( ) 2 , a σ parametrlar bilan normal qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsin, ya’ni ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 , , 2 u a x P x e du x σ ξ σ π − − −∞ < = ∈ −∞ ∞ ∫ . Bu taqsimotning a parametri uchun 2 σ ma’lum bo‘lgan holda ishonchlilik intervalini topamiz. a noma’lum parametrning bahosi sifatida 1 1 n k k x x n = = ∑ ni olamiz, bu yerda 1 2 , ,..., n x x x – tanlanmaning variantalari – ( ) 2 , a σ parametrlar bilan normal taqsimlangan ξ tasodifiy miqdorning bog‘liqsiz kuzatish natijalaridan iborat. Demak, bu holda normal taqsimotning asosan 1 1 n k k x x n = = ∑ baho 2 , a n σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ parametrlar bilan normal taqsimlangan bo‘ladi. Shuning uchun ham 2 2 1 2 u x a P e du n δ δ δ σ π − − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ < = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . Ishonchlilik ehtimolligi γ berilsa, normal qonun jadvali (ilovadagi 2-jadval) dan γ δ ni shunday tanlaymizki, 190 ( ) 2 2 0 1 2 2 u e du γ γ δ γ δ γ δ π − − = = Φ ∫ bo‘lsin, bu yerda ( ) 2 2 0 0 1 2 x u x e du π − Φ = ∫ – Laplas funksiyasi. U holda , x x n n γ γ σ σ δ δ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ oraliq a parametr uchun ishonchlilik ehtimolligi γ bo‘lgan ishonchlilik intervali bo‘ladi, ya’ni x a P x a x P n n n γ γ σ σ δ δ δ γ σ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − < < + = < = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Download 1.15 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling