O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev

Teorema
. Agar 
θ
∗
 baho 
θ
 parametr uchun siljimagan baho va 
n
→ ∞  da 
0
D
θ
∗
→  bo‘lsa, u holda 
*
θ
 asosli baho bo‘ladi. 
Bu teoremani Chebishev tengsizligi yordamida oson isbotlash mumkin. 
Baholanayotgan parametr uchun bir nechta baho taklif etish mumkin. U 
holda ularning orasidan “eng yaхshisini” tanlash masalasi kelib chiqadi. Тabiiyki, 
statistik baho dispersiyasining kichik bo‘lishini ta’minlashga harakat qilishimiz 
kerak. Shu maqsadda effektiv baho tushunchasini kiritamiz. Berilgan  n  hajmli 

 181
tanlanma to‘plamdagi eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan siljimagan statistika 
effektiv baho deyiladi.  
Effektiv baholar odatda Rao-Kramer tengsiligidan foydalanib topiladi, ya’ni: 
( )
1
D
nI
θ
θ
∗
≥
, 
 
 
 
 
  (*) 
bu yerda 
( )
I
θ
 – Fisher informatsiyasi bo‘lib, uni quyidagicha aniqlanadi: diskret 
hol uchun 
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
1
,
ln
,
,
,
n
k
k
k
k
p x
I
E
p
p x
p x
θ
θ
θ
ξ θ
θ
θ
θ
=
⎡
⎤
′
∂
⎡
⎤
=
=
⋅
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
⎣
⎦
∑
, 
bu yerda 
( )
{
}
,
p x
P
x
θ
ξ
=
=
; uzluksiz hol uchun 
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
,
ln
,
,
,
f x
I
E
p
f x
dx
f x
θ
θ
θ
ξ θ
θ
θ
θ
∞
−∞
⎡
⎤
′
∂
⎡
⎤
=
= ⎢
⎥
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
⎣
⎦
∫
,  
bu yerda 
( )
,
f x
θ
 – 
ξ
 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi. 
 
Rao-Kramer tengsizligi (*) dan ko‘rinadiki 
*
θ
 baho effektiv bo‘lishligi 
uchun 
( )
1
D
nI
θ
θ
∗
=
 bo‘lishligi yetarli va zaruriy shart. 
Agar 
(
)
(
)
(
)
(
)
*
2
1
2
2
*
1
2
*
, ,...,
lim
1
inf
, ,...,
i
n
n
i
n
E
x x
x
E
x x
x
θ
θ
θ
θ
θ
→∞
−
=
−
 
bo‘lsa, 
*
θ
 baho 
asimptotik effektiv baho deyiladi. 
Statistik baholar ikki хil – nuqtaviy va intervalli bo‘ladi. 
Bitta miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho 
nuqtaviy baho 
deyiladi. 
Baholanayotgan parametrni qoplaydigan intervalning chegaralarini 
bildiruvchi ikki miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho 
intervalli baho 
deyiladi.   
Endi ba’zi statistik baholar va ularning хossalarini keltiramiz. 

 182
ξ
 tasodifiy miqdorning kuzatilgan qiymatlari, ya’ni tanlanma 
1
2
, , ...,
n
x x
x  
bo‘lsin. Tanlamaning o‘rta qiymati 
x
 bosh to‘plam matematik kutilmasining 
siljimagan va asosli bahosi bo‘ladi. Buni tekshirish qiyin emas, ya’ni 
i
E
Ex
a
ξ
=
= , 
i
D
Dx
ξ
=
 
(
)
1,
i
n
=
 desak, 
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
i
i
i
i
i
i
Ex E
x
E
x
Ex
na E
n
n
n
n
ξ
=
=
=
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
=
= ⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
. 
Demak, 
x
 baho 
E
ξ
 uchun siljimagan baho bo‘ladi. Katta sonlar qonuniga 
asosan har qanday 
0
ε
>  uchun  n → ∞  da   
(
)
0
P x E
ξ ε
−
>
→  
va 
x
 baho 
E
ξ
 uchun asosli baho boladi.. 
Хususan, agar 
ξ
 normal taqsimlangan bo‘lsa, u holda 
x
 qiymati 
E
ξ
 uchun 
effektiv baho bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. 
Тanlanma dispersiya   
(
)
1
2
1
n
i
i
T
D
x
x
n
=
=
−
∑
 
bosh to‘plam dispersiyasining siljigan bahosi bo‘ladi, chunki 
1
T
n
ED
D
n
ξ
−
=
. 
Haqiqatan ham, quyidagi tengliklarni 
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
) (
)
(
) (
)
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
i
i
i
n
i
n
i
T
i
i
i
i
i
D
x
E
x E
x
E
x E
x
E
n
n
n
n
x E
x
E
x E
x E n
x E
n
n
n
x
E
x E
n
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
=
=
=
=
=
=
−
−
−
=
−
−
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
+
−
=
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
∑
∑
∑
∑
∑
 
va  
(
)
2
1
x E
Dx
D
n
ξ
ξ
Ε
−
=
=
 
ekanligini e’tiborga olsak, 
(
)
(
)
1
2
2
1
1
1
n
i
T
i
n
ED
E
x
E
E x E
D
D
D
n
n
n
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
=
−
=
−
−
−
=
−
=
∑
 

 183
bo‘ladi. 
Shu sababli, bosh to‘plam dispersiyasi  D
ξ
 uchun quyidagi “tuzatilgan” 
dispersiya  
(
)
2
2
1
1
1
1
n
T
i
i
n
S
D
x
x
n
n
=
=
=
−
−
−
∑
 
siljimagan baho bo‘ladi, chunki 
2
ES
D
ξ
=
. 
Тanlanma dispersiyasining  n
→ ∞  da  D
ξ
 uchun asosli baho ekanligini 
ko‘rsatish mumkin. 
Тanlanma dispersiyasini hisoblaganda quyidagi formuladan foydalanish 
qulay:  
1
2
2
1
n
i
T
i
D
x
x
n
=
=
−
∑
. 
Tanlanma dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga 
T
T
D
σ
=
 tanlanmaning 
o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi.  
Tanlanmaning “tuzatilgan” dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga 
1
T
n
S
D
n
=
−
 tanlanmaning “tuzatilgan”  o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb 
ataladi. 
Empirik taqsimot funksiyasi 
( )
*
n
F x  taqsimot funksiya 
( )
(
)
F x
P
x
ξ
=
<
 
uchun siljimagan va asosli baho bo‘ladi. 
 
6.6-§. Nuqtaviy baholarni topish usullari 
 
 
Nuqtaviy baholarni topishning juda ko‘p usullari mavjud. Biz ko‘p tarkalgan 
usullar: momentlar usuli, haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli va eng kichik 
kvadratlar usuliga to‘xtalib o‘tamiz. 
 
1
. 
Momentlar usuli
. Momentlar usuli yordamida baho toppish uchun 
taqsimotning nazariy momentlari tanlanma to‘plam yordamida topilgan mos 
empirik momentlar bilan tenglashtiriladi. 

 184
 
Demak, agar taqsimot bitta parametr 
θ
 ga bog‘liq bo‘lsa, u holda 
E
x
ξ
=
 
tenglamani 
θ
 nisbatan yechish kerak bo‘ladi. Agar taqsimot ikkita parametr 
1
2
,
θ θ
 
ga bog‘liq bo‘lsa, u holda  
,
T
E
x
D
D
ξ
ξ
=
⎧
⎨
=
⎩
 
tenglamalar sistemasini 
1
2
,
θ θ
 ga nisbatan yechish kerak bo‘ladi. Va nihoyat, agar 
taqsimot  n ta parametr 
1
2
, ,...,
n
θ θ
θ
 ga bog‘liq bo‘lsa, u holda  
1
2
2
1
1
1
,
1
,
. . .
1
n
i
i
n
i
i
n
k
k
i
i
E
x
n
E
x
n
E
x
n
ξ
ξ
ξ
=
=
=
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
=
⎪⎩
∑
∑
∑
        yoki      
(
)
(
)
1
,
,
. . .
1
T
n
k
k
i
i
E
x
D
D
E
E
x
x
n
ξ
ξ
ξ
ξ
=
=
⎧
⎪
=
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
−
=
−
⎪⎩
∑
 
tenglamalar sistemasining bittasini yechish kerak bo‘ladi. 
 
Odatda momentlar usuli yordamida topilgan baho asosli bo‘ladi. 
 
1-misol. Momentlar usuli yordamida normal taqsimlangan 
ξ
 tasodifiy 
miqdor parametrlarining bahosi topilsin. 
 Berilganga 
ko‘ra, 
1
2
, ,...,
n
x x
x  tanlanma yordamida 
1
a E
ξ θ
=
=  va 
2
2
D
σ
ξ θ
=
=  parametrlar uchun nuqtaviy baho topish kerak. 
 
Momentlar usuliga ko‘ra 
,
T
E
x
D
D
ξ
ξ
=
⎧
⎨
=
⎩
       ya’ni       
2
,
T
a x
D
σ
=
⎧
⎨
=
⎩
 
bo‘ladi. 
 
Demak, normal taqsimot parametrlari uchun momentlar usuli yordamida 
topilgan baholar 
*
1
x
θ
=  va 
*
2
T
D
θ
=
. 
2. Haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli
 (
HKO‘U
). Ayataylik 
ξ
 tasodifiy 
miqdor ustida  n ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazib, 
1
2
, ,...,
n
x x
x  tanlanma olingan bo‘lsin. 

 185
Ushbu tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining ko‘rinishi 
( )
,
f x
θ
 ma’lim, lekin 
θ
 
parametr noma’lum. Tanlanma yordamida 
θ
 parametrni baholash talab etiladi. 
 
HKO‘U asosida, haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi tushunchasi yotadi. 
 Tanlanma 
1
2
, ,...,
n
x x
x  yordamida qurilgan haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi 
deb, quyidagi 
( )
(
)
(
) (
)
(
)
1
2
1
2
,
, ,..., ,
,
,
...
,
n
n
L x
L x x
x
f x
f x
f x
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
⋅
⋅ ⋅
 
ko‘rinishdagi 
θ
 argumentning funksiyaga aytiladi.  
 Agar 
ξ
 tasodifiy miqdor diskret tipda bo‘lsa, 
( )
(
) (
)
(
)
1
2
,
,
,
...
,
n
L x
p x
p x
p x
θ
θ
θ
θ
=
⋅
⋅ ⋅
 
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda 
( )
{
}
,
p x
P
x
θ
ξ
=
=
. 
 HKO‘U 
ko‘ra 
θ
 parametrning nuqtaviy bahosi sifatida 
θ
 ning shunday 
qiymati olinadiki, bu qiymatda haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi maksimumga 
erishadi.  
 
Bunday yo‘l bilan topilgan baho haqiqatga eng katta o‘xshash baho deb 
ataladi va u  
( )
,
0
dL x
d
θ
θ
=  
tenglamaning yechimi bo‘ladi. 
 Ushbu 
( )
,
L x
θ
 va 
( )
ln
,
L x
θ
 funksiyalar 
θ
 ning bir xil qiymatida 
maksimumga erishishini e’tiborga olib, qulaylik uchun 
( )
,
L x
θ
 funksiya o‘rniga 
( )
ln
,
L x
θ
 funksiya maksimumi topiladi. 
 
Shunday qilib, haqiqatga eng katta o‘xshash bahosini topish uchun: 
1. Haqiqatga o‘xshashlik tenglamasi 
( )
(
)
ln
,
0
d
L x
d
θ
θ
=  ni yechish; 
2. Yechimlar ichidan 
( )
ln
,
L x
θ
 ga maksimum qiymat beradiganini ajratib 
olish. Buning uchun ikkinchi tartibli hosilasidan foydalanishi qulay, ya’ni agar  

 186
( )
(
)
*
2
2
ln
,
0
d
L x
d
θ θ
θ
θ
=
<  bo‘lsa, 
u holda 
*
θ θ
=  maksimum nuqtasi bo‘ladi. 
 
Agar taqsimot qonuni  n  ta 
1
2
, , ...,
n
θ θ
θ
 parametrlarga bog‘liq bo‘lsa, u 
holda 
*
*
*
1
2
,
, ...,
n
θ θ
θ
 baholar  
(
)
(
)
1
ln
0,
. . .
ln
0
n
d
L
d
d
L
d
θ
θ
⎧
=
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
=
⎪⎩
 
tenglamalar sistemasi yechimlari orqali aniqlanadi. 
 
2-misol. HKO‘U yordamida Puasson taqsimotining 
λ
 parametri uchun baho 
topilsin. 
 Bu 
holda 
{
}
!
k
P
k
e
k
λ
λ
ξ
−
=
=
. Shuning uchun 
i
x
∈N  da  
(
)
,
!
i
x
i
i
p x
e
x
θ
θ
θ
−
=
. 
Haqiqatga o‘xshashlik funksiyasini topamiz 
( )
1
2
1
1
2
1
1
,
...
!
!
!
! ...
!
n
n
i
i
x
x
x
x
n
n
n
e
e
e
L x
e
x
x
x
x
x
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
−
−
−
−
∑
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
. 
U holda 
( )
1
1
1
ln
,
ln
ln
! ...
!
n
i
i
n
L x
n
x
x
x
θ
θ
θ
=
⎛
⎞
= −
+
⋅
− ⎜
⎟
⋅ ⋅
⎝
⎠
∑
 
va  
( )
1
ln
,
1
n
i
i
d
L x
n
x
d
θ
θ
θ
=
= − +
∑
. 
Haqiqatga o‘xshashlik tenglamasi quyidagi ko‘rinishiga ega: 
*
1
1
0
n
i
i
n
x
θ θ
θ
=
=
⎛
⎞
− +
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
. 

 187
Bu yerdan  
*
1
1
n
i
i
x
x
n
θ
=
=
=
∑
 
ekanligini topamiz. 
Endi 
( )
*
*
2
2
2
1
1
ln
,
1
1
0
n
n
i
i
i
i
d
L x
d
n
x
x
d
d
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=
=
⎛
⎞
=
− +
= −
<
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
 ekanligini aniqlaymiz. 
Demak 
*
x
θ
=  haqiqatga eng katta o‘xshash baho bo‘ladi. 
 3. 
Eng kichik kvadratlar usuli
  (
EKKU
).  Noma’lum parametr 
θ
 uchun, 
tanlanma qiymatlarining izlanayotgan bahodan chetlanishi kvadratlarining 
yig‘indisini minimallashtirish asosida baho topish usuli eng kichik kvadratlar usuli 
deyiladi. 
 
Boshqacha qilib aytganda, EKKUda 
*
θ
 ning ushbu  
( )
(
)
2
1
min
n
i
i
G
x
θ
θ
=
=
−
→
∑
 
yig‘indini minimallashtiruvchi qiymatini topish talab etiladi. 
 
3-misol. EKKU yordamida Puasson taqsimotining 
λ
 parametri uchun baho 
topilsin. 
 Buning 
uchun 
( )
(
)
2
1
n
i
i
G
x
θ
θ
=
=
−
∑
 funksiyaning minimum nuqtasini 
topamiz: 
( )
(
) ( )
1
2
1
n
i
i
G
x
θ
θ
=
′
=
−
⋅ −
∑
. 
Endi 
( )
0
G
θ
′
=  tenglamadan kritik nuqtani aniqlamiz: 
1
1
0
n
n
i
i
i
x
θ
=
=
−
=
∑ ∑
, 
bu yerdan 
1
n
i
i
x
n
θ
=
=
∑
 va 
1
1
n
kr
i
i
x
n
θ
=
=
∑
. Bu nuqta minimum nuqtasi bo‘lishi uchun 
( )
0
kr
G
θ
′′
>  ekanligini ko‘rsatishimiz kerak, ya’ni  

 188
( )
(
)
( )
1
1
2
2
1
2
0
n
n
kr
i
i
i
G
x
n
θ
θ
=
=
′
⎛
⎞
′′
= −
−
= −
− =
>
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
. 
Demak, 
( )
G
θ
 funksiyaning minimum nuqtasi 
1
1
n
kr
i
i
x
n
θ
=
=
∑
 ekan va 
*
1
1
n
i
i
x
n
θ
=
=
∑
 
baho 
λ
 parametr uchun EKKU yordamida topilgan baho bo‘ladi. 
 
6.7-§. Intervalli baholash. Ishonchlilik intervallari 
 
Oldingi paragrafda ko‘rib chiqilgan baholarning hammasi nuqtaviy baholar 
edi. Agar tanlanmaning hajmi kichik bo‘lsa, u holda nuqtaviy baho baholanayotgan 
parametrdan sezilarli farq qilishi mumkin. Shu sababli tanlanma hajmi kichik 
bo‘lganida bahoning aniqligi va ishonchliligini yaхshiroq ta’minlaydigan interval 
baholardan foydalanish o‘rinliroqdir. 
Avvalgidek, 
(
)
*
*
1
2
, ,...
n
x x
x
θ
θ
=
 statistik baho 
θ
 noma’lum parametrning 
bahosi bo‘lsin. Тushunarliki, 
*
θ
θ
−
 ayirma qanchalik kichkina bo‘lsa, 
*
θ
 
statistik baho 
θ
 parametrni shuncha aniq baholaydi. Statistik metodlar 
*
θ
 baho 
*
θ
θ
δ
−
<
 tengsizlikni albatta qanoatlantiradi deb tasdiqlashga to‘la imkon 
bermaydi, shu sababli bu tengsizlik amalga oshishi mumkin bo‘lgan ehtimollik 
haqida gapirish mumkin. Agar 
*
θ
θ δ
− <
 tengsizlik 
γ
 ehtimollik bilan o‘rinli, 
ya’ni 
(
)
*
P
θ
θ δ
γ
− <
=  bo‘lsa, u holda 
γ
 ehtimollikni 
θ
 parametr uchun 
*
θ
 
statistik bahoning ishonchlilik ehtimolligi deyiladi. Odatda bahoning ishonchlilik 
ehtimolligi oldindan berilgan bo‘ladi va birga yaqin qilib olinadi, masalan: 
0,9;    0,95;    0,99;    0,999. 
Faraz qilaylik, 
(
)
*
P
θ
θ δ
γ
− <
=  tenglik bajarilgan bo‘lsin, u holda bu 
ifoda 
(
)
*
*
P
θ
δ θ θ
δ
γ
− < <
+
=  

 189
bilan teng kuchlidir, ya’ni 
(
)
*
*
,
θ
δ θ
δ
−
+
 oraliq (interval) 
θ
 noma’lum 
parametrni o‘z ichiga olish ehtimolligi 
γ
 ga teng.  
Noma’lum 
θ
 parametrni berilgan 
γ
 ishonchlilik ehtimolligi bilan o‘z ichiga 
olgan 
(
)
*
*
,
θ
δ θ
δ
−
+
oraliq ishonchlilik intervali deyiladi. 
Ishonchlilik intervalini topishga doir misol tariqasida quyidagi masalani 
ko‘ramiz. 
ξ
 tasodifiy miqdor 
(
)
2
,
a
σ
 parametrlar bilan normal qonun bo‘yicha 
taqsimlangan bo‘lsin, ya’ni  
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
,
,
2
u a
x
P
x
e
du x
σ
ξ
σ
π
−
−
−∞
<
=
∈ −∞ ∞
∫
. 
Bu taqsimotning  a  parametri uchun 
2
σ
 ma’lum bo‘lgan holda ishonchlilik 
intervalini topamiz. 
a  noma’lum parametrning bahosi sifatida  
1
1
n
k
k
x
x
n
=
=
∑
 
ni olamiz, bu yerda 
1
2
, ,...,
n
x x
x  – tanlanmaning variantalari – 
(
)
2
,
a
σ
 parametrlar 
bilan normal taqsimlangan 
ξ
 tasodifiy miqdorning bog‘liqsiz kuzatish 
natijalaridan iborat. Demak, bu holda normal taqsimotning asosan 
1
1
n
k
k
x
x
n
=
=
∑
 
baho 
2
,
a
n
σ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 parametrlar bilan normal taqsimlangan bo‘ladi. Shuning uchun ham 
2
2
1
2
u
x a
P
e
du
n
δ
δ
δ
σ
π
−
−
⎛
⎞
−
⎜
⎟
<
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
. 
Ishonchlilik ehtimolligi 
γ
 berilsa, normal qonun jadvali (ilovadagi 2-jadval) 
dan 
γ
δ
 ni shunday tanlaymizki, 

 190
( )
2
2
0
1
2
2
u
e
du
γ
γ
δ
γ
δ
γ
δ
π
−
−
=
= Φ
∫
 
bo‘lsin, bu yerda  
( )
2
2
0
0
1
2
x
u
x
e
du
π
−
Φ
=
∫
 – Laplas funksiyasi. U holda  
,
x
x
n
n
γ
γ
σ
σ
δ
δ
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
oraliq  a  parametr uchun ishonchlilik ehtimolligi 
γ
 bo‘lgan ishonchlilik intervali 
bo‘ladi, ya’ni  
x a
P x
a x
P
n
n
n
γ
γ
σ
σ
δ
δ
δ
γ
σ
⎛
⎞
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
< < +
=
<
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
.